高中數學解題教學模式初探
——以一道函數與導數綜合題為例

浙江省諸暨市諸暨中學(311800) 閆二路

浙江省諸暨市草塔中學(330681) 何百惠

1 解題教學背景

波利亞[1]的《怎樣解題》,對我國的數學教學觸動很大,激起了我國學者和教師深入地研究數學教學,特別是數學解題教學.羅增儒[2]教授的《數學解題學引論》掀起了中國數學解題教學的新篇章.張景中[3],[4]院士提出數學解題教學要講求循序漸進、有章可循的解題通法,落實的關鍵是反思、總結、提煉.

孫維剛[5]老師提出:“一題多解,多解歸一,多題歸一”是非常精彩的、經典的論述.一題多解講的是發散思維,而多解歸一、多題歸一,則是總結、提煉,是收斂思維,兩者實現辯證統一.應該說,孫老師在解題教學時,是教規律,教方法,教應變特點.

顧泠沅[6]教授主持的青浦實驗,最早提出了數學變式教學的概念.在數學習題教學中,又稱變式練習,張奠宙[7]教授評價道,變式練習是中國數學教育的一個創造.通過變式練習,教師為學生的思維發展提供了一個個階梯,循序漸進但螺旋上升,有利于學生構建完備、系統的新知識.

傅學順[8]教授說:優秀生從不就事論事,決不放過解題過程中的任何“副產品”.因此為了去開發和培養學生的創新能力,教師應該在教學過程中引導學生去尋找解題思路,并嘗試進行一題多解等,這是解題教學的“前半程”,還要能培養學生在解題之后進行反思,反思中收獲一些新的成果,如:會質疑解法;會優化解題過程;會提岀、推廣、拓展問題;會多解歸一,多題歸一;會歸納解法,建立求解模型;會提煉命題等,這是解題教學的“后半程”.

作為一名優秀的教師,解題教學一定要讓學生理解解題背后的“秘訣”,即啟發思考、學會思維.筆者在長期對數學解題理論深入學習的過程中,在對解題教學的探索與實踐中,認識到一套可以系統的培養學生解題能力的經驗——解題教學模式,與同行們一起分享.

2 解題教學模式

2.1 解題教學模型

圖1

2.2 解題教學模型注釋

下面對模型中的(1)-(5)進行解釋:

(1)問題與驅動:設計“提出問題——解決問題”的教學鏈,讓學生以問題鏈為紐帶啟發解題.在問題鏈設計時,應設計能夠多維度思考且具有啟發性的問題,以此誘發學生的內驅動力,并引導學生在探究與討論中嘗試解決問題,促進學生思維能力的發展.

(2)情感與思維:解題教學要貫穿“教師為主導,學生為主體”的主線,通過問題引領,激發學生行為參與、思維參與和情感參與,強化學生的解題理解和解題體驗,以此進一步增強解題自信.

(3)本質與遷移:解題教學的最終指向是尋找問題的本質,并遷移運用到一類問題.教師引導學生理解解題方法背后的思維邏輯和問題本質,以解題為載體回歸數學的核心概念與原理.

(4)反思與發展:解題教學要能呈現教師和學生的思維過程,引導學生關注解題之后的反思、總結、歸納、推廣、提煉等重要環節,最終體現學生對解題的情感發展與思維發展.

(5)內化與升華:解題教學的終極目標“解題思維的內化與數學思想的升華”,經過長期的解題實踐與積累,實現對解題從“知其然”到“知其所以然”,再到“知何由以知其所以然”,最終潛移默化的呈現核心素養的提升.

3 解題教學模式案例

下面我們以這樣一道函數與導數綜合題為例,呈現本人設計的一個解題教學模式.

問題引入:

(1)嘗試作出y=在(0,+∞)上的圖象(或利用數學工具輔助作圖);

(2)若不等式ax?ln(x+1)>0 對任意x ∈(0,+∞)恒成立,求實數a的取值范圍;

(3)若不等式ax?ln(x+1)>0 對任意x ∈(?1,+∞)恒成立,求實數的取值范圍.

請同學們思考一下上述問題,分組討論并完成.

小組1我們通過Geogebra 得到該函數的圖象,我們發現下列性質:①函數在(0,+∞)上單調遞減,值域為(0,1);②x趨近于0 時,y趨近于1,且y取不到1;③x趨近于無窮時,y趨近于0,即x軸是其漸近線.

老師小組1 非常棒! 通過我們熟悉的數學工具畫出了函數圖象,并通過圖象直觀總結了這三條重要性質,體現了數形結合的重要性.利用小組的成果,同學們繼續回答(2),(3)兩個問題.

小組2對于問題(2)通過分離參數得,a >對任意x ∈(0,+∞)恒成立,由y=在(0,+∞)上的圖象可知,a≥1.同樣的,我們可得到y=在(?1,0) 上的圖象,可知y在(?1,0) 上單調遞減,又由a <對任意x ∈(?1,0)恒成立,所以可得a≤1,所以得到問題(3)中a的取值范圍為:{1}.

老師小組2 求解得非常完美,考慮得也非常全面,說明同學們的基礎還是比較扎實的.我們繼續深入研究該問題,我們會發現解決(2),(3)的關鍵是端點“x=0”,下面我們一起來探究該類問題的求解策略.

分析上述引入體現了模型中問題驅動下“啟發——解題”的起始環節,該環節聯系學生的最近發展區,并以“鋪墊”的形式展開,啟發學生思考、探究,以此激發學生的內驅動力,并引導學生進入更深入的解題教學環節.

通過上面問題引領,我們激發了學生解題的情感參與和思維參與,初步增強了學生的解題體驗與解題自信,下面我們再深入的去求解該類問題,挖掘其蘊含的本質及思想方法.

問題已知(ex?1)ln(x+1)≥ax2對任意x ∈(0,∞)恒成立,求實數a的取值范圍.

3.1 求解問題,尋法問題

老師同學們,結合上述引例,你們會從哪些角度去解題? 請思考八分鐘,八分鐘后,小組代表分別匯報你們組的解題思路及解題進展.

小組3我們組選擇了從分離參數的角度得到,a≤對x ∈(0,+∞) 恒成立,令h(x)=,x ∈(0,+∞),可轉化為求函數h(x) 在(0,+∞)上的最小值(或下確界),但是我們在求解h(x)在(0,+∞)上的單調性上都不約而同的遇到了困難,還需要更多時間去繼續解答.

老師小組3 的思路是非常清晰的,這也是我們大部分同學的習慣解法(我想還有一部分同學也是這種思路,是不是也遇到了同樣的困難? ) ,我們發現了函數h(x)的分式結構中包含了我們學過的三種初等函數形式:冪函數:x2,指數函數:ex,對數函數:ln(x+1),因此我們在研究h(x) 在(0,+∞)上的單調性肯定會遇到一些困難(這里面需要用到一些放縮思想,同學們課下繼續思考),既然我們遇到了這么大的阻礙,我們能否繞過呢?

小組1我們組在引例的啟發下,運用“極限探路”的思想,先分析,再論證.

當x趨于0 時,ex?1 趨于0,ln(x+1) 趨于x,即得當x趨于0 時,(ex?1)ln(x+1) 趨于x2,當x趨于無窮時,a可取任意值,故猜測必須有a≤1.下面只需證:F(x)=(ex?1)ln(x+1)?x2≥0 對x ∈(0,+∞)恒成立即可.

老師小組1 很好的運用了引例,想法也非常超前,以此體現了數學結論的發現過程:分析——猜測——論證,這種思想方法是值得提倡,更值得欣賞!

小組4在含參函數與導數綜合問題中,不論參數能不能分離,我們都可以從“函數”思想求解——通性通法.令h(x)=(ex?1)ln(1+x)?ax2,x ∈(0,+∞),則有h′(x)=我們可證:exln(1+x)?>0 對x ∈(0,+∞)恒成立,所以h′′(x)>?2a,x ∈(0,+∞),令?(x)=?2a,x ∈(0,+∞),則?′(x)=>0對x ∈(0,+∞) 恒成立,所以?(x) 在(0,+∞) 上遞增,且?(0)=2?2a,下面從分類討論的思路分析論證即可.

老師非常棒! 小組4 總結了對于含參函數與導數問題的“通性通法”解答,體現了同學們扎實的基本功和思維縝密的推理能力,對于一般解法中蘊含的分類討論和層層遞進的分析思想是我們今后的解題保證! 希望同學們以后在解題中多多重視.那么,剩下的小組還有更好的解法嗎? 繼續和同學們分享一下.

小組5發現分離后的函數具有內在的“同構性”,我們可將問題轉化為:令?(x)=,x ∈(0,+∞),那么接下來我們只需要研究函數?(x)在(0,+∞)上的單調性即可.

老師小組5 將問題轉化的非常巧妙,將問題大大的簡潔化,體現了同學們無限的創造性,同時也體現了問題的優化來源于思維的靈活性與廣闊性,這恰恰表明解題過程能夠開發我們的大腦,即思考可以創造奇跡!

分析上面過程體現了模型中“解題——創造”的環節,該環節充斥著學生們思維與情感的高度參與,同時貫穿“教師為主導,學生為主體”的解題教學主線,為學生提供了廣闊的表現平臺及思維開發的無限空間.

3.2 深挖問題,歸類問題

老師同學們,通過你們的多角度解答,你們發現了什么? 該問題解題關鍵是什么? 命題者考查的方向是什么? 它能反映一類問題嗎? 你們能嘗試描述這類問題的特征嗎?

學生1這是“端點效應”問題,處理關鍵是“端點”處的極限.

學生2命題者從高等角度命題,考查學生從初等知識解答的能力.

學生3這類問題的特征是存在無定義的點,在該點處有極限.

老師通過同學們的回答我們來給出下面一類問題:

已知f(x)≥ag(x)對任意x ∈(x0,+∞)恒成立,不妨設g(x)恒正,滿足:

1.f(x0)=g(x0)=0(或∞);2.=A(A為常數);

令h(x)=且A是h(x)的下確界,求實數a的取值范圍.

我們可建立該類問題的求解思路:

第一步:函數在某點x0處無定義;

第二步:利用極限思想探尋思路;

第三步:回歸高中知識進行分析論證;

第四步:檢驗與完善過程,反思與總結問題.

3.3 拓展問題,完備問題

變式1將問題中的條件“x ∈(0,+∞)”改為“x ∈(?1,0)”,求實數a的取值范圍.

變式2已知(ex?1)ln(x+1)≥ax2對任意a ∈(?∞,1]恒成立,求實數x的取值范圍.

推論已知不等式(ex?1)ln(x+1)≥ax2對任意x ∈(c,d)?(?1,∞),c≤0,d>0 恒成立,則a ∈(?∞,1].

老師同學們,請根據自己的解答,繼續去求解上面問題,你們的解題過程需要哪些改變? 問題的本質有沒有發生變化?

老師通過同學們的解答,我們發現,這三個問題只是將問題一般化、完備化,本質不變.

分析上面過程體現了模型中“創造——實踐”的環節,解題教學要能引導學生發現本質,遷移運用.

3.4 反思問題,實踐問題

老師通過本節課的學習,同學們課下去完成下列任務,并在下節課將詳細步驟展示給同學們.

1.繼續完成課上問題的后續解答,并完成變式1、變式2及推論的證明;

2.已知函數f(x)=(+a)lnx,a ∈R.

(I)當a=1 時,求函數f(x)的單調區間;

(II)設函數f(x)的定義域為A,對任意實數x ∈A,都存在實數t ∈[1,+∞),使得f(x)=t成立,求實數a的取值集合.

分析上面過程體現了模型中“實踐——解題”的環節,引導學生關注解題之后的深度反思、總結、歸納、推廣、提煉等重要環節,最終體現學生對解題的情感發展與思維發展.

3.5 思維內化,思想升華

解題教學的終極目標“解題思維的內化與數學思想的升華”,經過長期的解題實踐與積累,實現對解題從“知其然”到“知其所以然”,再到“知何由以知其所以然”,最終潛移默化的呈現解題核心素養的提升.

4 解題教學模式結語

作為一名優秀的教學者,一個完整的解題教學過程,應該注意以下幾點:

(1)題不在多但求精彩,體現發散性與收斂性相結合;

(2)既要給學生充足的思考與表達時間,又要呈現高效的課堂,體現主體性與主導性相結合;

(3)既要有猜想,又要有論證,體現啟發性與嚴謹性相結合;

(4)鼓勵學生提出、質疑、創新、完備問題,體現發現與探究相結合;

(5)要站得高、看得遠,揭示數學內涵,體現數學的個性與魅力;

(6)既講清問題本身,又激發思維,培養學生內在的數學素養.

在普通高中新課標指導下,為培養“科學精神與創新意識,提升數學學科核心素養”這一宗旨,為實現“人人都能獲得良好的數學教育,不同的人在數學上得到不同的發展[9]”這一目標.在高中解題教學中,我們要重視數學解題模式教學,在模式下培養學生的解題思維,發展學生的核心素養.