單元整體教學(xué)促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展
——以“二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)”為例

北京師范大學(xué)昌平附屬學(xué)校(102206) 秦虹柳

“函數(shù)”是初中及高中階段的核心內(nèi)容.初中階段主要學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù),高中階段要繼續(xù)學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、冪函數(shù)等.函數(shù)是刻畫變量之間關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型,函數(shù)的學(xué)習(xí)體現(xiàn)了從定量到變量的飛躍,其蘊(yùn)含著“運(yùn)動變化”、“數(shù)形結(jié)合”、“分類討論”、“數(shù)學(xué)建模”等思想方法.雖然函數(shù)的研究對象不同,但是研究方法是相同的,因此,對于函數(shù)的教學(xué)應(yīng)該注重整體設(shè)計(jì),并關(guān)注函數(shù)的研究方法以及函數(shù)學(xué)習(xí)中蘊(yùn)含的思想方法.

在“一次函數(shù)”的基礎(chǔ)上,“二次函數(shù)”的教學(xué)追求內(nèi)容的整體性、方法的普適性和思維的系統(tǒng)性,應(yīng)該幫助學(xué)生對相關(guān)知識形成更上位的認(rèn)識.對于二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的學(xué)習(xí),教材按照從簡單到復(fù)雜的順序進(jìn)行安排,但是,教師應(yīng)挖掘函數(shù)知識的內(nèi)涵,把握函數(shù)的本質(zhì),即函數(shù)中變量間的對應(yīng)關(guān)系;同時(shí),關(guān)注函數(shù)圖象與函數(shù)表達(dá)式間的對應(yīng)關(guān)系,幫助學(xué)生形成函數(shù)思維,對函數(shù)學(xué)習(xí)形成整體認(rèn)識.

為此,我對“二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)”的教學(xué)采取了“總-分-總”的單元整體教學(xué)設(shè)計(jì),其中,第一個(gè)“總”在基于對教學(xué)內(nèi)容整體分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行設(shè)計(jì),幫助學(xué)生對知識形成框架性認(rèn)識,同時(shí)幫助學(xué)生初步建立函數(shù)學(xué)習(xí)的思維邏輯.本課以研究二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)為入手點(diǎn),并通過分析其與一次函數(shù)在“形”和“數(shù)”上的關(guān)系整體把握研究函數(shù)的一般方法,比如類比學(xué)習(xí),從特殊到一般,從簡單到復(fù)雜等,并不斷滲透數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想方法.

1 明確研究路徑,體現(xiàn)教學(xué)的整體性

通過對一次函數(shù)的學(xué)習(xí),學(xué)生已經(jīng)初步具備了研究函數(shù)問題的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),在學(xué)習(xí)二次函數(shù)的概念以后,要研究其圖象和性質(zhì),最后進(jìn)行應(yīng)用.對于二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的學(xué)習(xí),應(yīng)該按照什么樣的順序進(jìn)行研究呢? 應(yīng)該給學(xué)生充分的思考的空間,這個(gè)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)如下:

問題1二次函數(shù)的形式比較復(fù)雜,我們應(yīng)該按照什么順序進(jìn)行研究?

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生類比一次函數(shù)的學(xué)習(xí)過程,回憶研究函數(shù)問題的一般方法.由于二次函數(shù)相對比較復(fù)雜,學(xué)生需要分析不同類型的二次函數(shù)表達(dá)式特征,按照從簡單到復(fù)雜、從特殊到一般的方法確定研究順序.

學(xué)生:回顧不同類型的二次函數(shù)形式,確定研究順序(其中a≠0).如圖1所示.

圖1

通過這個(gè)環(huán)節(jié),學(xué)生分析不用類型的二次函數(shù)表達(dá)式的特點(diǎn),了解它們之間的關(guān)系,為后續(xù)探究進(jìn)行鋪墊,也有助于學(xué)生重視對函數(shù)表達(dá)式的分析.

2 抓住函數(shù)本質(zhì),體現(xiàn)研究方法的普適性

明確研究順序后,首先研究y=ax2(a≠0)的圖象和性質(zhì),學(xué)生能夠想到把a(bǔ)代入具體的數(shù)值,并依據(jù)函數(shù)圖象研究性質(zhì).函數(shù)圖象的直觀性確實(shí)有助于研究函數(shù)性質(zhì),但是,畫出的函數(shù)圖象僅僅是圖象的一部分,并不能反映整體情況.對于二次函數(shù),圖象從何而來呢? 顯然要從函數(shù)表達(dá)式入手,函數(shù)表達(dá)式從數(shù)量的角度揭示了自變量和因變量之間的對應(yīng)關(guān)系,能夠回答自變量的變化如何引起因變量的變化,這正是函數(shù)的本質(zhì).依據(jù)函數(shù)表達(dá)式可以畫出函數(shù)圖象,并進(jìn)一步研究函數(shù)性質(zhì),函數(shù)的性質(zhì)都可以從函數(shù)表達(dá)式中得到解釋.因此,研究二次函數(shù)一定要從表達(dá)式和圖象兩個(gè)角度進(jìn)行,尤其要重視對函數(shù)表達(dá)式中蘊(yùn)含的自變量與因變量之間的對應(yīng)關(guān)系的分析.

基于以上認(rèn)識,我進(jìn)行了如下設(shè)計(jì):

問題1如何研究函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象和性質(zhì)?

設(shè)計(jì)意圖類比一次函數(shù)的研究方法,學(xué)生將a帶入具體的數(shù)值,并思考a的意義,對其進(jìn)行分類,分別帶入較簡單的1 和?1 后確定函數(shù)表達(dá)式并進(jìn)行后續(xù)研究,體現(xiàn)了從一般到特殊的學(xué)習(xí)方法.

問題2不畫圖象,你能猜想出圖象有什么特征嗎?

設(shè)計(jì)意圖幫助學(xué)生意識到函數(shù)表達(dá)式的重要性,引導(dǎo)學(xué)生分析函數(shù)表達(dá)式,思考自變量的變化是如何引起因變量的變化的,通過分析函數(shù)表達(dá)式猜想函數(shù)圖象特征,為學(xué)生理解函數(shù)圖象與函數(shù)表達(dá)式之間的對應(yīng)關(guān)系做鋪墊.

活動1請根據(jù)函數(shù)表達(dá)式分析函數(shù)特征,并猜想函數(shù)圖象特點(diǎn),然后畫出函數(shù)圖象,從“數(shù)”和“形”兩個(gè)角度研究二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注自變量和因變量之間的對應(yīng)關(guān)系,重視從“數(shù)”的角度先分析函數(shù)表達(dá)式的代數(shù)特征,對函數(shù)圖象和性質(zhì)有理性感知,再通過畫函數(shù)圖象,將函數(shù)關(guān)系借助函數(shù)圖象直觀體現(xiàn),有助于學(xué)生理解函數(shù)的本質(zhì).

活動2分別從“數(shù)”和“形”的角度歸納性質(zhì).師生共同歸納性質(zhì).如表1所示.

表1 數(shù)和形的歸納

設(shè)計(jì)意圖從“數(shù)”的角度分析函數(shù)表達(dá)式的代數(shù)特征后,又通過函數(shù)圖象直觀表示函數(shù)關(guān)系,引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注函數(shù)表達(dá)式和函數(shù)圖象之間的對應(yīng)關(guān)系并分析函數(shù)性質(zhì),有助于學(xué)生感悟“數(shù)形結(jié)合”思想,這里尤其強(qiáng)調(diào)y=ax2(a≠0)中“平方”的意義,幫助學(xué)生充分理解二次函數(shù)的對稱性.

這個(gè)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)是一次函數(shù)學(xué)習(xí)的延續(xù),雖然研究對象不同,但是,函數(shù)的本質(zhì)相同,關(guān)注自變量和因變量之間的對應(yīng)關(guān)系,重視分析函數(shù)表達(dá)式,這體現(xiàn)了函數(shù)研究的方法具有普適性.

3 重視知識聯(lián)系,體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的一致性

函數(shù)y=ax2(a≠0)是最簡單的二次函數(shù),在此基礎(chǔ)上,對其他類型的二次函數(shù)的研究應(yīng)關(guān)注表達(dá)式之間的關(guān)系,從“數(shù)”的角度揭示其變化規(guī)律,進(jìn)一步理解其圖象和性質(zhì)的變化規(guī)律.從“數(shù)”到“形”不僅是思想方法的體現(xiàn),也是研究同類問題的思想一致性體現(xiàn).

基于以上分析,設(shè)計(jì)如下環(huán)節(jié):

問題1如何進(jìn)一步研究二次函數(shù)y=ax2+k(a≠0)的圖象和性質(zhì)?

活動1對比函數(shù)y=ax2(a≠0)與y=ax2+k(a≠0)的表達(dá)式,研究二次函數(shù)y=ax2+k(a≠0)的圖象和性質(zhì).

師生共同研究.如圖2所示.

圖2

設(shè)計(jì)意圖這個(gè)環(huán)節(jié)不僅強(qiáng)化了研究函數(shù)的一般方法,如從特殊到一般,從具體到抽象,更重要的是引導(dǎo)學(xué)生重視對函數(shù)表達(dá)式的分析,關(guān)注y=ax2+k(a≠0) 與y=ax2(a≠0)之間的關(guān)系,從“數(shù)”的角度分析自變量和因變量之間的對應(yīng)關(guān)系有何聯(lián)系,即點(diǎn)的坐標(biāo)有何關(guān)系,對應(yīng)到“形”的特征,即圖象的形狀和位置有何關(guān)系.通過這樣的設(shè)計(jì),幫助學(xué)生深刻理解圖象的平移是由函數(shù)表達(dá)式的關(guān)系確定的;“形”的關(guān)系是由“數(shù)”的關(guān)系決定的.

活動2研究二次函數(shù)y=a(x?h)2(a≠0)的圖象和性質(zhì).

學(xué)生獨(dú)立研究并總結(jié):如圖3所示.

圖3

設(shè)計(jì)意圖這個(gè)環(huán)節(jié)是在上一環(huán)節(jié)基礎(chǔ)上的自然推進(jìn),在學(xué)生活動方面,從師生共同研究過渡到學(xué)生獨(dú)立研究,雖然函數(shù)形式不同,但是,研究的方法具有一致性,研究路徑和思維方式也都類似.幫助學(xué)生進(jìn)一步形成分析函數(shù)表達(dá)式代數(shù)特征的意識和能力,強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想的一致性.

活動3獨(dú)立研究二次函數(shù)y=a(x?h)2+k(a≠0)的圖形和性質(zhì),并和同伴交流研究過程.如圖4所示.

圖4

設(shè)計(jì)意圖雖然函數(shù)y=a(x?h)2+k(a≠0)的形式比較復(fù)雜,但是,有了前幾個(gè)環(huán)節(jié)的鋪墊,學(xué)生具備了基本的研究問題的能力,將幾種類型的二次函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行對比分析,從多個(gè)角度進(jìn)行研究,深刻體會函數(shù)圖象的變化規(guī)律與函數(shù)表達(dá)式的變化規(guī)律相對應(yīng).隨著圖象位置的變化,頂點(diǎn)坐標(biāo)發(fā)生相應(yīng)變化.通過這樣的設(shè)計(jì),幫助學(xué)生認(rèn)識到二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)不能死記硬背,其核心是函數(shù)的自變量和因變量之間的對應(yīng)關(guān)系,y=ax2(a≠0)的圖象和性質(zhì)是基礎(chǔ),關(guān)注不同函數(shù)表達(dá)式之間的聯(lián)系是研究二次函數(shù)問題的重要方法.

問題2如何研究二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象和性質(zhì)? 它和之前研究的函數(shù)有何關(guān)聯(lián)?

學(xué)生思考并回答.如圖5所示.

圖5

設(shè)計(jì)意圖在之前學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上,學(xué)生知道y=ax2+bx+c(a≠0)可以轉(zhuǎn)化成y=a(x?h)2+k(a≠0)的形式,進(jìn)一步可以得到其性質(zhì).至此,學(xué)生經(jīng)歷完整的研究過程,并對二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)初步形成整體感知.

4 強(qiáng)調(diào)知識結(jié)構(gòu)化,體現(xiàn)思維的系統(tǒng)性

本課的學(xué)習(xí)重點(diǎn)是幫助學(xué)生對二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)形成整體認(rèn)知;突出體現(xiàn)研究函數(shù)問題的一般性方法;關(guān)注函數(shù)本質(zhì),重視分析函數(shù)表達(dá)式的代數(shù)特征及其蘊(yùn)含的變量之間的對應(yīng)關(guān)系;幫助學(xué)生意識到“數(shù)形結(jié)合”思想并不是簡單的根據(jù)函數(shù)表達(dá)式畫圖象.因此,本課的重點(diǎn)不是知識本身,而是學(xué)習(xí)過程及思想方法,本課總結(jié)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)如下:

活動1回憶本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程.如圖6所示.

圖6

活動2總結(jié)研究二次函數(shù)的路徑及蘊(yùn)含的思想方法.如圖7所示.

圖7

設(shè)計(jì)意圖通過本環(huán)節(jié),學(xué)生分別從學(xué)習(xí)過程和思想方法等方面進(jìn)行總結(jié),對研究函數(shù)問題的基本方法以及認(rèn)識函數(shù)問題的本質(zhì)有重要意義,有助于學(xué)生整體把握所學(xué)知識,提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.

知識對學(xué)生來說越學(xué)越多,如果只是孤立的教授學(xué)生知識和具體方法,只能越教越多,學(xué)生越來越累,但是學(xué)習(xí)效果未必如意.教師應(yīng)該有更高的站位,關(guān)注知識間的邏輯關(guān)系,在研究教材和課標(biāo)的基礎(chǔ)上,不拘泥于教材安排,帶著自己的思考設(shè)計(jì)每節(jié)課,在教學(xué)中體現(xiàn)知識的整體性;方法的普適性;思想的一致性;思維的系統(tǒng)性,這樣才有助于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維,幫助學(xué)生成為會學(xué)習(xí)的人.