差異教學(xué)理念下的初中幾何解題教學(xué)案例

廣東省中山市第一中學(xué)(528400) 劉浩

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》明確指出“義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程致力于實(shí)現(xiàn)義務(wù)教育階段的培養(yǎng)目標(biāo),使得人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育,不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展,逐步形成適應(yīng)終身發(fā)展需要的核心素養(yǎng)”.為此,在初中幾何解題教學(xué)中對(duì)存在個(gè)體差異的學(xué)生進(jìn)行差異化教學(xué)很有必要.差異化教學(xué)是指在教學(xué)中根據(jù)不同學(xué)生的知識(shí)水平、學(xué)習(xí)能力等因素,教師選擇適合的學(xué)習(xí)材料和方法進(jìn)行針對(duì)性的教學(xué),使學(xué)習(xí)能力強(qiáng)、中、弱的學(xué)生在數(shù)學(xué)方面都得到不同程度的發(fā)展:基礎(chǔ)好的學(xué)生,其數(shù)學(xué)素養(yǎng)更上一層樓,能高效地進(jìn)行高中階段的學(xué)習(xí),乃至更進(jìn)一步的學(xué)習(xí);中等程度的學(xué)生,其學(xué)習(xí)興趣和潛能得到激發(fā),具備繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)和能力;基礎(chǔ)較弱的學(xué)生,能順利地完成初中階段的學(xué)業(yè),具備適應(yīng)今后工作和生活相應(yīng)的數(shù)學(xué)素養(yǎng).下面以一道經(jīng)典的幾何題為例說明在初中幾何解題教學(xué)中如何開展差異化教學(xué).

如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,已知A(6,6),B(12,0),M(3,0),點(diǎn)N在線段MB上,∠MAN=45?.

圖1

(1)判斷?AOB的形狀并說明理由;

(2)求線段AN的長(zhǎng).

大多數(shù)的學(xué)生均可完成第(1) 問,因此可以讓中等偏下水平的學(xué)生進(jìn)行展示,提升他們的信心:?AOB是等腰直角三角形,理由如下:如圖2,過點(diǎn)A作AE⊥x軸,垂足為E,作AF⊥y軸,垂足為F,∴E(6,0),F(0,6).在Rt?AEO中,由勾股定理,AO=6.同理AB=6.∴BO2=AO2+AB2=122.由勾股定理逆定理得:?AOB是直角三角形.∵AO=AB,∴?AOB是等腰直角三角形.

圖2

有一定解題經(jīng)驗(yàn)(中等偏上水平) 的學(xué)生可以識(shí)別出第(2) 問中的半角關(guān)系并順利完成解題.可以請(qǐng)他們進(jìn)行展示,進(jìn)一步發(fā)展他們的思維能力和表達(dá)能力.題中的半角關(guān)系即∠MAN=45?,∠OAB=90?.從而∠MAN旁邊分散開的兩角∠NAB與∠OAM的和為45?.為了利用這一關(guān)系,可以將?ABN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90?得到?AOG(如圖3).∵?AOB是等腰直角三角形,∴∠ABO=∠AOB=45?.∴∠AOG=∠ABO=45?.∴點(diǎn)G在y軸正半軸上,設(shè)N(n,0),則G(0,12?n).連接GM,AG=AN.∠GAM=∠MAN=45?.∴?AGM?ANM(SAS),∴GM=NM=n?3.在Rt?OMG中,由勾股定理得(n?3)2=(12?n)2+32.解得n=8.∴AN=

圖3

為了利用 ∠NAB+∠OAM=45?,還可以將∠MAN分開成兩個(gè)角分別與它們相等.如圖4,作 ∠MAC=∠OAM,AC=AO,連接MC、NC,則∠NAC=∠BAN,AC=AB,可得?OAM?CAM(SAS),?CAN?BAN(SAS),進(jìn)一步知∠NCM=90?.設(shè)N(n,0),在Rt?MCN中,由勾股定理得(n?3)2=(12?n)2+32.解得n=8.∴AN=

圖4

初三的學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了相似的相關(guān)知識(shí),知識(shí)掌握得比較扎實(shí)的學(xué)生會(huì)從題目圖形中發(fā)現(xiàn)∠MAN=∠AOB=∠ABO=45?,從而發(fā)現(xiàn)一些基本的相似圖形.如圖5,?MAB∽?MNA.∴設(shè)N(n,0),則解得n=8.∴AN=在教學(xué)中應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生從多角度去思考和發(fā)現(xiàn),使他們的學(xué)習(xí)興趣和潛能得到激發(fā),進(jìn)一步發(fā)展學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力.

圖5

在教師的引導(dǎo)下,學(xué)生回憶和梳理求線段長(zhǎng)度有勾股定理、相似(三角函數(shù))、面積、解析等幾大類方法.因此教師鼓勵(lì)學(xué)生繼續(xù)探究是否還有其他解法.思路開闊的學(xué)生可以想到下面的等面積方法:如圖6,過點(diǎn)M作MH⊥AN,垂足為H,設(shè)N(n,0).由(1) 知:AM=3(n?3).∵ ∠MAN=45?,∴等腰直角?AMH中:又∵S?AMN=× MH,∴AN=(n?3).解得n=8 或n=?12(舍去),∴

圖6

對(duì)于學(xué)有余力的學(xué)生,為使其數(shù)學(xué)素養(yǎng)更上一層樓,為高中階段的學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ),還可以引領(lǐng)他們繼續(xù)學(xué)習(xí)以下兩種方法:

如圖6,過點(diǎn)M作MH⊥AN,垂足為H,設(shè)N(n,0).由(1) 可知:AM=∵∠MAN=45?,∴等腰直角?AMH中:AH=MH=. ∵A(6,6),N(n,0),∴直線AN的解析式為:變形為又∵M(jìn)H ⊥AN,M(3,0),由點(diǎn)到直線距離公或得解得:n=8 或n=?12(舍去).∴AN=

由(1) 知A(6,6),M(3,0),直線AM的解析式為:y=2x?6.設(shè)直線AN的解析式為:y=kx+6?6k,(k≠0),∵∠MAN=45?,由夾角公式得=tan 45?=1,解得:k=3.∴直線AN的解析式為:y=?3x+24,它與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(8,0),即N(8,0).∴AN=

對(duì)于基礎(chǔ)較好的學(xué)生,還可在以上一題多解的基礎(chǔ)上,進(jìn)行一題多變的研究,發(fā)展學(xué)生從特殊到一般,發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論和規(guī)律的能力.如對(duì)題目中的特殊的邊、角做以下改變和拓展:(變式1)將點(diǎn)M變成線段OB上的動(dòng)點(diǎn),把“點(diǎn)N在線段MB上”變?yōu)椤包c(diǎn)N在x軸上”,并探究?AMN面積何時(shí)最小;(變式2)把“等腰直角?AOB,∠MAN=45?”變?yōu)椤?AOB是頂角為120?的等腰三角形,且∠MAN=30?”;(變式3)把“等腰直角?AOB,∠MAN=45?”變?yōu)椤?AOB是以∠OAB為頂角的等腰三角形,且∠MAN等于等腰三角形的底角”等.不難發(fā)現(xiàn),將題目條件弱化(即由特殊走向一般后),計(jì)算難度增大,解題思路和方法則基本不變.需要注意的是,條件弱化后,可能需要根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行分類討論,對(duì)答案進(jìn)行取舍.以下給出三種變式的解答.

(變式 1) 如圖 7,在平面直角坐標(biāo)系中,已知A(6,6),B(12,0),M(m,0)(其中0< m <12) ,點(diǎn)N在x軸上,∠MAN=45?.

圖7

(1)求線段AN的長(zhǎng)(用含m的式子表達(dá));

(2)當(dāng)m為何值時(shí),?AMN面積最小.

解設(shè)N(n,0),由(1) 知∠OAB=90?,∠ABO=45?,又∵ ∠MAN=45?∴ ∠MNA=∠NAB+∠ABO=∠NAB+45?=∠NAB+∠MAN=∠MAB.又∵∠AMB=∠AMB∴?MAB∽?MNA.∴即:若N在M右側(cè),即n > m,則若N在M左側(cè),即n < m,則n=AN=

(3)由(2)知,若n>m,則.當(dāng)m=12?時(shí),SAMN有最小值?36.若n

當(dāng)m=12?時(shí),S?AMN有最小值

圖8

(1)請(qǐng)判斷?AOB的形狀并證明;

(2)求線段AN的長(zhǎng);

(3)當(dāng)m為何值時(shí),?AMN面積最小.

解(1) ?AOB是等腰三角形,證明如下:如圖9,過A作AE⊥x軸,垂足為E,則E(6,0),又∵B(12,0),∴AE垂直平分OB,∴AO=AB.∴?AOB是等腰三角形.

圖9

(2) 設(shè)N(n,0),由(1) 知:tan ∠ABO=∴ ∠ABO=30?,∵ ∠MAN=∠ABO=30?,∠BMA=∠AMN,∴ ?MAB∽?MNA,∴即=若N在M右側(cè),即n > m,若N在M左側(cè),即n < m,n=AN=

(3) 由已知:S?AMN=由(2) 知:若

當(dāng)m=12?時(shí),S?AMN有最小值24?若n

當(dāng)m=12?時(shí),S?AMN有最小值24?

綜上,當(dāng)m=時(shí),S?AMN有最小值

(變式 3) 如圖 10,在平面直角坐標(biāo)系中,已知A(a,b)B(2a,0),M(m,0),點(diǎn)N在x軸上,且∠MAN=∠ABC.

圖10

(1)請(qǐng)判斷?AOB的形狀并證明;

(2)求線段AN的長(zhǎng);

(3)當(dāng)m為何值時(shí)?AMN面積最小.

解(1)?AOB是等腰角形,證明如下:如圖11,過A作AE⊥x軸,垂足為E,則E(a,0),又∵B(2a,0),∴AE垂直平分OB,AO=AB,∴?AOB是等腰三角形.

圖11

(2)設(shè)N(n,0),由 (1) 知:∠MAN=∠ABO,∠BMA=∠AMN,∴?MAB∽?MNA,∴即若N在M右側(cè),即n > m,則若N在M左側(cè),即n

(3)由已知:S?AMN=由(2)知:若n > m,則

∴ 當(dāng)m=2a?時(shí),S?AMN有最小值若n

∴ 當(dāng)m=2a?時(shí),S?AMN有最小值

綜上,當(dāng)m=2a?時(shí),S?AMN有最小值

差異教學(xué)理念下的初中幾何解題教學(xué),堅(jiān)持以學(xué)生為主體,教師起引導(dǎo)、連接和點(diǎn)評(píng)的作用.對(duì)容易題,請(qǐng)中下水平學(xué)生進(jìn)行展示;對(duì)中等題,請(qǐng)基礎(chǔ)較好的學(xué)生進(jìn)行展示:對(duì)拓展題,請(qǐng)能力較強(qiáng)的學(xué)生進(jìn)行解答和展示.在分析和點(diǎn)評(píng)的過程中關(guān)注學(xué)生的行為,重視師生互動(dòng)、生生互動(dòng).立足學(xué)情,引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解題思路并進(jìn)行總結(jié),關(guān)注不同層次學(xué)生發(fā)展的需要,用一題多解、一題多變等方式差異化提升學(xué)生的知識(shí)和能力,達(dá)到“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育,不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展,逐步形成適應(yīng)終身發(fā)展需要的核心素養(yǎng)”.