利用Gyrator 正則變換實現環形激光陣列的Talbot 效應

李尉 代京京? 溫叢陽 宗夢雅 李勝南 王智勇?

1) (北京工業大學,先進半導體光電技術研究所,北京 100124)

2) (陜西科技大學,材料原子分子科學研究所,西安 710021)

本文對環形激光陣列的Talbot 效應進行了研究,利用Gyrator 正則變換推導了極坐標下環形激光陣列的Talbot 效應和自成像條件,并進一步分析了其在分數Talbot 距離處的成像規律.通過FDTD Solutions 軟件對環形激光陣列在分數Talbot 距離處的空間分布、相位分布進行模擬,得到與理論計算相一致的結果.通過與一維激光陣列分數Talbot 效應的空間分布、相位分布情況進行對比分析,環形激光陣列可有效消除一維激光陣列的Talbot 邊緣效應,獲得等光強分布的Talbot 自再現像,擴展了Talbot 效應在環形激光相干陣列鎖相的應用.

1 引言

自1836 年Talbot[1]報道了周期性物體的衍射自成像效應以來,對Talbot 效應的研究和應用逐步深入.尤其是對分數Talbot 效應的理論解釋[2],進一步拓寬了Talbot 效應的應用范圍,更加引起研究人員對Talbot 效應的重視.目前,Talbot 效應和分數Talbot 效應已在光學圖形處理[3,4]、光學精密測量[5]、光信息存儲[6]、原子光學[7-9]、陣列照明[10,11]等領域得到了廣泛應用.隨著半導體激光技術的不斷發展,由半導體激光器組成的周期性陣列其光場同樣具有Talbot 效應,值得人們研究.根據分數Talbot 效應[12],人們開展了半導體激光陣列Talbot 外腔鎖相的研究[13,14].通過激光陣列Talbot 外腔鎖相技術,可以提高激光陣列互注入耦合效率[15],實現激光低階模式選擇,有效改善大陣列半導體激光器的遠場光束質量,獲得近衍射極限的相干激光輸出[16].由于鎖相后的激光陣列具有高簡并度和相干性,亦可將其應用于量子測量技術,實現以高度相干的激光操縱玻色-愛因斯坦凝聚體(BEC)形成原子密度光柵[17,18].因此,激光陣列的Talbot 效應在未來高功率、高光束質量半導體激光器以及量子測量領域蘊藏著廣闊的實用前景.

一維激光器陣列的Talbot 效應是半導體激光陣列Talbot 外腔鎖相研究的一個重要方向[19,20],然而在實際應用中,一維激光陣列難以達到無限單元周期性排布,使得一維激光陣列無法產生理想的Talbot 效應,即存在邊緣效應.與一維激光陣列相比,環形激光陣列在極坐標系下具有角向無限周期性單元結構,可以近似為無限單元的一維周期性陣列結構[21],滿足Talbot 條件.

通常采用笛卡爾坐標系下的分數傅里葉變換計周期性物體的Talbot 效應[22,23].然而這種方法難以計算環形激光陣列的Talbot 效應,本文在極坐標系下將環形激光陣列的Gyrator 變換和菲涅耳衍射相結合,推導了環形激光陣列的Talbot 效應,獲得了其Talbot 自成像條件.通過FDTD Solutions 軟件模擬得到環形激光陣列在Talbot 距離及分數Talbot 距離處的自成像情況,通過與一維激光陣列分數Talbot 效應的光場、相位分布情況對比分析,在分數Talbot 距離處均得到了相一致的結果,并且有效消除了邊緣效應,從而將Talbot效應從一維周期性陣列推廣到了環形周期性陣列,擴展了Talbot 效應在環形激光陣列的應用,為環形激光陣列鎖相研究提供了Talbot外腔方法.

2 環形激光陣列的Talbot 效應

環形激光陣列結構如圖1 所示,紅色圓表示激光發光單元,r0為環形結構的半徑,θ0為相鄰發光單元間的圓心角.

圖1 環形激光陣列Fig.1.Ring laser array.

在極坐標下,環形激光陣列發光單元的分布方式可以用梳狀函數和狄拉克函數表示:

其中r0是環形結構的半徑,θ0是相鄰發光單元間的圓心角.激光陣列每一個發光單元為高斯光束,則發光單元在初始位置的光場可以表示為

其中,E0=|E(0)|,ω0是高斯光束的束腰半徑.采用Gyrator 變換對(1)式和(2)式形成的初始光場分布做頻域分析.極坐標系下Gyrator 變換的積分核函數可寫為

其中α為Gyrator 變換的階數.由此可得極坐標系下的Gyrator 變換表達式為[23]

由于極坐標系下初始光場分布函數是可分離變量的,并且α=π/2 時,Gyrator 變換得到的頻域分布可以用零階貝塞爾恒等式表示為

其中J0為零階貝塞爾函數.采用菲涅耳傳遞函數計算環形激光陣列在自由空間傳輸后的光場分布,此時觀察平面上得到的場分布頻譜可以表示為

此時,可以得到環形激光陣列的Talbot 距離ZT為

上述結果表明,環形激光陣列的Talbot 距離與相鄰發光單元間圓心角和半徑的平方成正比,與激光波長成反比.

3 分數Talbot 效應及仿真模擬

根據第2 節計算的環形陣列Talbot 效應,可以進一步分析得到其分數Talbot 效應.并使用FDTD Solutions 有限元分析對基模高斯光束環形陣列在分數Talbot 距離處的光場分布和相位分布進行模擬,模擬結構示意如圖2 所示,圖中紅色實心圓為發光單元,虛線平面代表相應的觀察面.

圖2 仿真模型示意圖Fig.2.Schematic diagram of simulation model.

圖3 所示為環形激光陣列分數Talbot 效應模擬結果,其光場分布均為歸一化之后的結果.如圖3(a),(f)所示,由28 個發光單元組成的激光陣列具有相同的光強和初始相位.如圖3(b),(g)所示,光束傳輸到1/4ZT平面時,子像元數量為發光單元2 倍,子像元光強相同,相鄰子像元相位差為 π/2 .如圖3(c),(h)所示,在1/2ZT平面,Talbot 子像元數目與發光單元相同,但是子像的空間位置沿角向方向產生了半個周期的偏移,子像元光強與發光單元相同,相鄰子像元相位相同.如圖3(d),(i)所示,在3/4ZT平面呈現數量為發光單元2 倍的Talbot 子像元,子像元光強相同,相鄰子像元相位差為-π/2 .如圖3(e),(j)所示,在ZT平面,沿角向產生了空間分布和相位分布與發光單元相同的自再現像.

為了對比環形周期陣列與一維周期陣列的Talbot 效應,同樣模擬了一維基模高斯光束陣列的分數Talbot 效應,模型中一維基模高斯光束陣列的發光單元與上述環形陣列發光單元保持相同參數,模擬結果如圖4 所示.將圖4 與圖3 相比,可以明顯地觀察到一維激光陣列與環形激光陣列的一致性和差異.二者在1/4ZT平面、1/2ZT平面、3/4ZT平面以及ZT平面的Talbot 子像元數目和空間位置以及相鄰子像元的相位差具有一致性.然而,從圖4 可以看出,一維激光陣列的Talbot 效應存在明顯的邊緣衰減效應,其Talbot 子像元的光強在陣列邊緣處逐漸降低,并且傳輸距離越遠,衰減效果越明顯.這是由于一維激光陣列無法構成無限單元的周期分布,陣列邊緣處不能實現理想的Talbot 效應.然而環形激光陣列在極坐標系下沿角向可以視為無限延伸的周期分布,因此不存在邊緣衰減效應,Talbot 子像元始終保持等光強分布.

圖3 環形激光陣列Talbot 效應 (a)初始光斑空間分布;(b) 1/4 Talbot 距離處光斑空間分布;(c) 1/2 Talbot 距離處光斑空間分布;(d) 3/4 Talbot 距離處光斑空間分布;(e) Talbot 距離處光斑空間分布;(f)初始光源相位分布;(g) 1/4 Talbot 距離處相位分布;(h) 1/2 Talbot 距離處相位分布;(i) 3/4 Talbot 距離處相位分布;(j) Talbot 距離處相位分布Fig.3.The Talbot effect of ring laser array: (a) The initial optical profile;(b) optical profile at 1/4 Talbot distance;(c) optical profile at 1/2 Talbot distance;(d) optical profile at 3/4 Talbot distance;(e) optical profile at Talbot distance;(f) phase distribution of the initial light source;(g) phase distribution at 1/4 Talbot distance;(h) phase distribution at 1/2 Talbot distance;(i) phase distribution at 3/4 Talbot distance;(j) phase distribution at Talbot distance.

圖4 一維陣列Talbot 效應 (a)初始光場分布;(b)1/4 Talbot 距離處光斑空間分布;(c) 1/2 Talbot 距離處光斑空間分布;(d) 3/4 Talbot 距離處光斑空間分布;(e) Talbot 距離處光斑空間分布;(f)初始光源相位分布;(g) 1/4 Talbot 距離處相位分布;(h) 1/2 Talbot 距離處相位分布;(i) 3/4 Talbot 距離處相位分布;(j)Talbot 距離處相位分布Fig.4.The Talbot effect of one-dimensional array: (a) The initial optical profile;(b) optical profile at 1/4 Talbot distance;(c) optical profile at 1/2 Talbot distance;(d) optical profile at 3/4 Talbot distance;(e) optical profile at Talbot distance;(f) phase distribution of the initial light source;(g) phase distribution at 1/4 Talbot distance;(h) phase distribution at 1/2 Talbot distance;(i) phase distribution at 3/4 Talbot distance;(j) phase distribution at Talbot distance.

4 結論

本文將笛卡爾坐標系下的Gyrator 變換應用到極坐標系中,并結合菲涅耳衍射,通過理論計算和模擬仿真研究了環形激光陣列結構的Talbot 效應.計算了環形激光陣列的Talbot 成像條件并分析了其分數 Talbot 效應,計算結果表明,在偶數倍1/2 Talbot 距離處,子像和原始發光單元一致;在奇數倍1/2 Talbot 距離處子像位置沿角向旋轉1/2 周期,子像元數量無變化;在奇數倍1/4 Talbot距離處,子像元數目增加至發光單元的2 倍.使用FDTD Solutions 軟件對環形激光陣列和一維激光陣列的分數Talbot 效應進行仿真模擬和比較分析表明,基于極坐標系下Gyrator 變換方法得到的環形激光陣列的Talbot 效應與一維激光陣列Talbot效應變化規律具有一致性,但消除了一維激光陣列的邊緣衰減效應,可以獲得等光強分布的Talbot子像.本文認為利用環形激光陣列的Talbot 效應,在圖像光學加密、無掩膜光刻蝕、陣列照明等領域有潛在的應用價值.并且基于環形激光結構Talbot效應的外腔鎖相設計可使激光輸出模式得到選擇,在互注入鎖相后輸出得到相干光,在高亮度相干激光領域和量子測量領域得到應用.