基于APOS理論的高中數學概念課教學策略探究

王蕾

摘 要：APOS理論將數學知識的學習劃分為操作、過程、對象和圖式四個階段，該理論針對概念學習，故本文基于APOS理論探索數學概念課教學策略，從學生學習數學概念的心理建構過程角度出發，針對四個階段探討概念課教學的可行性策略.

關鍵詞：APOS；高中數學；教學策略

APOS理論是美國數學家杜賓斯基等人基于皮亞杰“反思抽象”觀點提出的一種數學概念學習的理論模型.APOS理論認為，學習者不能直接學到數學概念，而是通過心智結構使所學的概念產生意義，教學的目的是幫助學習者建立適當的心智結構^［1］，強調學生學習數學概念需要進行操作、過程、對象、圖式四個心理建構階段.很多教師在概念課教學中慣用概念同化的方式組織教學，忽略了新知識在學生頭腦中自主建構的過程，直接向學生呈現定義并說明.這種方式能夠縮短學生學習數學概念的時間，然而過度使用這種策略，不利于培養學生數學抽象、數學建模等核心素養.

APOS理論主要涉及四個概念：操作（Action）、過程（Process）、對象（Object）和圖式（Schema）.該理論是一種建構主義的數學學習理論，認為學生學習數學概念實質是對某一數學對象實施操作，這種操作經過內化成為過程，過程可以被壓縮為一個圖式^［2］.具體來說，數學概念是個體在解決所感知的數學問題的過程中獲得的，在這個過程中個體需要進行心理建構，經歷以下四個階段，如表1所示：

1 操作階段教學策略

策略：巧設問題情境，注重外顯活動與思維活動相結合.

弗賴登塔爾認為：“數學教學應該結合學生的生活體驗與數學現實.”即數學教學應該在學生的生活體驗和數學現實的基礎上設置合適的現實情境或科學情境，注重情境的真實性與可探究性. APOS理論強調概念在學生頭腦中自主建構的過程，問題情境的設置應當在結合概念特征的同時注重情境的生活化與趣味性，激發學生的學習熱情，促進學生積極主動地進行概念生成的心理建構過程.同時，問題情境應當指向概念的核心屬性.

APOS理論指出，學生學習數學概念時需經歷一系列操作，親身感受直觀背景與數學概念之間的聯系.故教師在操作階段應當給學生充分的自主探究空間，選擇合適的操作方式，使學生通過動手實踐活動與思維活動相結合的方式積極主動思考，發散思維.同時設置具有連貫性與邏輯性的問題串，適當調控學生探究速度，逐步加深學生對問題情境的感知，促進概念建構.

例如：在“平面向量的概念”這節課的操作階段，教師應該針對學習的內容，創設恰當的情境，給出明確的目標引導學生展開討論.如設計這樣的活動串：

活動一：南轅北轍——戰國時，有個駕著馬車的人要到南方的楚國去.他乘著馬車從太行山腳下出發，一路向北走去.有人提醒他：“到楚國應該朝南走，你怎能往北呢？”他卻說：“沒事，我的馬是好馬，我又是經驗豐富的車夫.”他能如愿到達楚國嗎？產生這個結果的原因是什么？

活動二：在教室里，第一排的同學和最后一排的同學相距大約8米，我們可以用8米這個數量來表示他們之間的距離，那么我們怎么描述從第一排走到最后一排這段位移呢？

活動三：哪位同學可以給大家解釋下位移和距離表示方法之間的共同點和不同點呢？你還能舉出哪些類似的例子？

在這個活動串的設計中，教師引導學生舉例，讓學生到活動中去，學生在激活自己已有經驗的基礎上觀察、概括對象的共同屬性，加深印象.學生通過思考位移和距離兩個量之間的相同點和不同點初步產生存在一個既有大小又有方向的量的概念，引起學生的認知沖突，解釋了向量概念的內涵，進而給向量下定義.這個過程喚起了學生的學習興趣，為學生深層學習奠定基礎，讓學生了解向量這個概念存在的必要性，自然而然地開始本節課的學習.整個活動階段符合學生的認知規律，在活動階段，通過對新舊知識的聯系和對比遷移，促使學生將知識進行建構整合，從而為后面構建向量圖式搭建基礎，實現深層次學習.

2 過程階段的教學策略

策略：用活動促進內化，啟發誘導反思操作.

在APOS理論中，學生學習數學概念的四個階段并不是一種線性關系，而是一個螺旋上升的循環系統，從操作階段到過程階段需要經歷內化的心理活動，即將外部信息轉化為內部信息，使學生逐漸脫離問題情境，思維逐漸轉向問題情境中蘊涵的數學問題，由外顯操作上升為心理操作，不再依賴情境中的操作對象.這種過渡需要由教師設置合理的操作環節，利用一定的工具，讓學生參與動手操作、觀察思考、歸納抽象等活動，實現建構概念、探索規律、推理線索、驗證結論進而解決問題的學習過程.這與“做數學”的概念類似，強調通過數學活動激發學生思維，促進行為內化.

例如：在“函數的概念”這節課中，由于初中學習的函數概念的“變量說”，強調了在一個變化過程中變量之間的依賴關系與對應方式，沒有強調自變量的取值范圍，學生對函數定義域的重要性沒有明晰的認識，這是教學中首先遇到的難點^［5］.高中階段采用“對應關系說”定義函數，這個定義強調對應的結果而不管對應關系的表達形式或對應過程.這些需要教師優化教學設計使學生逐漸脫離問題情境，形成一種過程模式.具體設計如下：

問題1：某“復興號”高速列車加速到350km/h后保持勻速運行半小時.

（1） 這段時間內，列車行進的路程S（單位：km）與運行時間t（單位：h）的關系如何表示？這是一個函數嗎？

（2） 有人說：“根據對應關系S=350t，這趟列車加速到350km/h后，運行1h就前進了350km.”你認為這個說法正確嗎？你能確定這趟列車運行多長時間前進210km嗎^［6］？

（3） 你認為應該如何刻畫這個函數？

師生活動：教師給出問題題干和（1）后提醒學生先不要看教科書，學生書寫自己的解答，教師點評答案，引導學生用“變量說”表述.第（2）問教師引導學生討論所給說法不正確的原因，以及為什么無法確定列車前進210km所需的運行時間，從而使學生認識到給定自變量變化范圍的重要性.第（3）問讓學生思考如何表述S與t的對應關系，教師在學生一起討論之后給出表述的示范.

問題2：某電氣維修公司要求工人每周工作至少1天，至多6天.公司確定的工資標準是每人每天350元，而且每周付一次工資.

（1） 你認為該怎樣確定一個工人的每周工資所得？

（2） 一個工人的工資w是他工作天數d的函數嗎？為什么？

（3） 你能仿照問題1的方式刻畫這個函數嗎？

追問：問題1和問題2中的函數對應關系相同，你認為它們是同一個函數嗎？為什么？你認為確定一個函數需要哪些要素？

師生活動：教師引導學生討論后得出結論：判斷兩個函數是否相同，不能只看對應關系是否相同，還要看自變量的變化范圍是否一樣.

教師讓學生先用“變量說”判斷w是d的函數，再嘗試用不同方法表示數，為認識函數對應關系作準備，最后讓學生模仿問題1的表述方法描述函數，在熟悉“對應關系說”表述方式的同時，訓練抽象概括能力.通過追問，促使學生思考確定函數的基本要素，進一步認識自變量取值范圍的重要性.這兩個問題在設計上采用了相似的操作過程，即尋找變量間的關系→判斷是否為函數關系（注意自變量的范圍）→刻畫函數，通過重復這個操作過程，學生形成了刻畫變量間函數關系的過程模式，這個過程模式的形成有助于學生加深對函數概念的理解，更自然地抽象出函數的概念.

3 對象階段的教學策略

策略：用概括實現壓縮，多元表征體現本質.

在APOS理論中，學生經歷了操作階段和過程階段后，已經對數學概念有了初步認知，此時學生頭腦中已經得到了一堆關于知識的信息.教師需引導學生對已學的信息進行篩選，去除細枝末節，梳理出最精華的成分，將過程階段中內化的心理操作簡化并抽象形成直覺，這個過程就是壓縮.壓縮的隱喻即是擠出水分，清除障礙，本質是找出一類事物的共同特征和本質屬性.數學的抽象與概括能夠幫助學生完成壓縮，而抽象、概括又與模型相關，故教師可引導學生不斷地比較、分析和判斷，利用建模思想，把抽象出的事物的共同特征綜合起來，針對性地提出問題，引導學生從定性分析到定量計算，幫助學生清除思維障礙，讓學生通過概括來實現壓縮.同時教師應當注重引導啟發學生主動探究，通過概括將結論一般化，幫助學生通過數學符號、數學語言、數學模型等多元形式將已有的概念進行加工，得出數學概念的形式化表征，形成對象.

例如：“有限樣本空間與隨機事件”這節課是單元的起始課，要在建立單元學習框架的基礎上，學習樣本點、優先樣本空間、隨機時間等概率的最基本概念.為了研究隨機現象，先用集合語言表示隨機試驗的所有可能結果，引入了樣本點和樣本空間的概念，接下來學生要學習如何利用這些概念表示隨機事件問題，這個過程也就是將已有的概念進行加工，得出數學概念的形式化表征，形成對象.該環節可以設計如下：

問題1：回顧初中階段學過的隨機事件概念，然后判斷：在體育彩票搖號試驗中，搖出“球的號碼為奇數”是隨機事件嗎？搖出“球的號碼是3的倍數”也是隨機事件嗎？你能用集合表示這些事件嗎？

教師活動：首先引導學生回顧隨機事件的概念，然后分別用集合語言描述兩個隨機事件，并從一個隨機事件所包含的可能結果的角度，引導學生用自然語言解釋隨機事件的意義^［7］.

語言描述：因為“球的號碼是奇數”可能發生，也可能不發生，所以是隨機事件.設“搖出球的號碼是奇數”為事件A，則事件A發生當且僅當搖出的號碼為1，3，5，7，9之一，即事件A發生等價于搖出的號碼屬于集合{1，3，5，7，9}.

學生對用集合{1，3，5，7，9}表示事件A比較容易接受，但對“事件A發生”的含義可能不太清楚，教師要加強引導：用集合{1，3，5，7，9}表示事件A的含義是，事件A發生的所有可能結果都在這個集合中，同時集合中任意一個元素都是事件A發生的可能結果之一.換句話說，就是當且僅當搖出的球的號碼為1，3，5，7，9之一時，事件A發生.

接下來可以讓學生模仿上述說法，解釋 B=“搖出球的號碼是3的倍數”也是隨機事件，表示為B={0，3，6，9}，并得出結論：可以用樣本空間Ω={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}的子集表示隨機事件A、B.

追問1：你能將上述表示隨機事件的方法推廣到一般嗎？

追問2：從集合的觀點看，對于集合的子集，你認為其中哪些集合比較特別，它們對應的隨機事件是什么？你能根據隨機事件發生的意義及事件與樣本點的關系進行說明嗎？

通過問題1以及兩個追問，學生理解了一個隨機試驗中的某些結果組成了隨機事件，可以用樣本點表示可能發生的結果，所以隨機事件就可以用樣本點的集合來表示，而樣本空間包含了所有可能的結果，所以隨機事件可以看成是樣本空間的子集，這樣就將隨機現象數學化了.這個思考過程的邏輯性很強，其中明確隨機事件和樣本點的關系是關鍵，而理解“隨機事件A發生”的含義是難點.對象階段完成了將“隨機事件”與“樣本空間的子集”構建聯系的過程，“隨機事件發生”在本階段變成了一個相對獨立的“實體”，變成了集合中的某個點數的出現，突破了“隨機事件發生”的含義這個難點.隨后再從樣本空間特殊子集的角度提出問題引導學生思考全集及空集對應于什么事件，從而完成了用樣本點概念重新建構隨機事件概念的任務.用樣本點構建隨機事件概念的體系初步建立，即將進入下面的圖式階段.

4 圖式階段的教學策略

策略：強化知識梳理與應用，新舊聯系完善圖式.

杜賓斯基指出，圖式是對事物的綜合性表征，其內部結構的連貫性對個體理解和運用數學概念的能力至關重要.加涅概括出圖式的三個特征：（1） 包含變量；（2） 具有層級結構；（3） 能夠促進推論.以函數為例解釋上述三個特征，即圖式包含變量是指圖式中的許多屬性允許改變，例如函數的本質屬性是映射，但這種映射具有多種表征形式：解析式、圖象、表格等；圖式具有層級結構是指特殊函數是一般函數的子圖式，函數是映射的子圖式；圖式能夠促進推論是指圖式的性質可以推出子圖式的性質，例如函數具有定義域和值域，冪函數、三角函數等函數的子圖式同樣具有定義域和值域.故教師在教學時應注意知識之間的縱向聯系與橫向聯系，發現新概念與舊概念之間的關系，辨析異同點，構建完整的圖式.

例如：在“有限樣本空間與隨機事件”這節課中，筆者用樣本點構建隨機事件概念的體系初步建立，在圖式階段學生需要進一步構建完整的圖式，可以設計如下問題：

問題：請你帶著如下問題回顧一下本節課的學習內容，并給出回答.

（1） 本節課我們是按怎樣的路徑構建概念體系的？

（2） 不確定現象隨處可見，我們感興趣的隨機現象有什么特點？你能舉例說明嗎？

（3） 你能舉例說明樣本點和樣本空間的含義嗎？

（4） 隨機事件和樣本點有怎樣的關系？你能舉例說明什么叫“隨機事件發生”嗎？

有限樣本空間與隨機事件是“隨機事件與概率”這個單元的起始單元.本章節的邏輯主線為“有限樣本空間與隨機事件——事件的關系和運算——古典概型——概率的基本性質”，學生通過回答這一串的問題，構建了樣本點、有限樣本空間、隨機事件概率的圖式，更深刻理解隨機事件的概念；通過與集合的關系與運算的類比解釋了隨機變量的本質——樣本空間到實數集的映射.

參考文獻：

［1］ 鮑建生，周超.數學學習的心理基礎與過程［M］.上海：上海教育出版社，2009.

［2］ 馬曉丹.APOS理論探索的反思與超越［J］.教學與管理，2020（33）：74-77.

［3］ 湯服成，徐文龍.在數學概念學習過程中的形成性評價［J］.廣西右江民族師專學報，2005（3）：6-10.

［4］ 周鳴.GeoGebra環境下基于APOS理論的數學概念的教學設計［D］.遼寧師范大學，2014.

［5］章建躍.如何幫助學生建立完整的函數概念［J］.數學通報，2020，59（9）：1-8.

［6］ 章建躍.核心素養立意的高中數學課程教材教法研究［M］.上海：華東師范大學出版社，2021.

［7］ 劉竹.高中概率主題教學研究［D］.湖南理工學院，2021.