復雜運動下彈載雷達雜波建模方法

楊 豪，余渝生，王志城，孫永巖，劉艷陽，林 欣，黃鵬輝，鄒子豪

（1.上海交通大學 電子信息與電氣工程學院，上海 200240；2.上海航天技術研究院，上海 201109；3.上海衛星工程研究所，上海 201109）

0 引言

近年來，隨著戰場環境的快速變化和先進軍事運動目標的出現，現代戰場態勢變得越來越復雜，高威脅動目標難以被檢測和跟蹤。導彈作為一種戰略武器，能夠有效地實現對時敏運動目標的打擊，在現代戰爭中發揮著越來越重要的作用［1-5］。為了進一步提高導彈的攻擊性能，需要精確制導技術和主動制導能力，使新一代導彈在全天候條件下展現出強大的晝夜超視距發射能力［6］。在導彈的導引頭上裝載雷達可以實現雷達的精準索敵與主動制導，但導彈的運動情形與飛機不同，為了精確打擊目標，除平動之外，在彈道飛行過程中還具有俯沖運動［7］。此外為了保持彈體飛行穩定性，同時減少推心偏力，導彈會進行自旋，自旋會進一步引起進動與章動現象［8-9］。因此彈載雷達與機載雷達回波的特性有所區別，導致傳統對平動情形下的雷達平臺接收雜波的建模方法不再適用于彈載雷達。

對彈載平臺的雷達接收雜波進行準確的建模和仿真，對后續分析其雜波特性、進行雜波補償以及雜波抑制具有重要意義。但導彈的復雜運動使得分析其雜波特性十分困難。王永良等［10］在傳統機載正側視雷達的基礎上考慮了不同類型雷達的雜波建模，將相控陣、多輸入多輸出（Multi-input Multi-output，MIMO）雷達和共形陣雷達等平臺的雜波建模方法進行了統一，但其雷達平臺只考慮了平動飛行，對于彈載平臺而言不適用。許京偉等［11］在彈載雷達前視的基礎上，考慮了導彈俯沖的運動情形，對前視俯沖的彈載雷達回波進行建模，并分析了其雜波特征，比傳統的平動模型更加貼合實際，但并未考慮到導彈具有自旋、進動與章動等復雜運動的影響。孫璟瀟等［12］在彈載平臺前視俯沖的基礎上，對導彈自旋時的回波特性進行了建模與分析，但忽略了導彈自旋引入的進動與章動影響。

針對彈載平臺復雜運動情形下雜波特性不再匹配平動雜波模型的問題，本文對彈載平臺具有俯沖、自旋、進動與章動的運動情形進行精確建模，結合彈載平臺的運動模型，給出了多通道彈載雷達的地面雜波精確信號模型。最后通過仿真結果分析其雜波的空時特性，為雜波的補償、抑制等處理建立理論基礎。

1 平臺運動模型

1.1 進動與章動

彈體除了繞自身對稱軸旋轉以外，其對稱軸還會繞另一矢量方向進行旋轉，這種運動呈現一個錐體的形狀，稱為錐旋，自旋加上錐旋即為進動（Precession），如圖1 所示。平底錐體為導彈頭，Oprecx是其對稱軸，彈體繞Oprecx軸自轉，OprecA方向為進動軸，進動點Oprec是OprecA與Oprecx的交點，Oprecx軸繞OprecA矢量方向旋轉，角ξ稱為章動角，ωs與ωp分別是自旋角速度與進動角速度。

如章動角ξ在導彈飛行過程中發生變化，即彈體在章動角所在的平面內進行較小波動時，這種現象稱為章動（Nutation），如圖2 所示。彈體以Oprec為中心在OprecA軸與Oprecx軸所確定的平面內進行波動，此時波動角度θnut表達式為

圖2 章動Fig.2 Schematic diagram of nutation

式中：ωn為波動角度變化的角速度；θm為波動的最大角度，當導彈的錐形運動趨于穩定時，θm呈現為固定值［13］。

此時的章動角ξa=ξ+θnut，章動的產生使導彈對稱軸具有了繞Oprec點的位于波動平面內的角速度ωnθmcos(ωntm)，其中tm為慢時間變量。

1.2 彈載雷達運動模型

考慮前視情形下進行俯沖，并具有自旋、進動以及章動的彈載雷達運動模型如圖3 所示。設其初始時刻已自旋β0角度，錐旋α0角度。圖中，Oap為此時的天線面板中心，虛線圈為天線面板中心在錐旋過程中的軌跡；Oap，ref為錐旋到最高處時Oap的位置；OprecA為錐旋時的旋轉軸，自旋軸Oprecyprec繞OprecA進行旋轉，兩條旋轉軸的交點為進動點Oprec；彈體的平動速度vap沿其錐旋軸方向；γ為導彈俯沖角，是錐旋軸OprecA與水平方向的夾角；ξa為錐旋軸與自旋軸之間的夾角；L1為進動點Oprec與天線面板中心Oap的距離；H為平臺高度；ωs、ωp分別為彈體繞自旋軸Oprecyprec與繞錐旋軸OprecA旋轉的角速度；φi、θi為地面散射點Pi相對于雷達陣列的下視角與方位角；d為相鄰兩接收通道間的距離；dn=，表示第n個接收通道與參考通道間的物理距離（選擇第1 個方位接收通道作為參考通道），N為方位接收通道總數。

圖3 復雜運動下彈載雷達平臺運動模型Fig.3 Schematic diagram of the missile-borne radar platform motion model under complex motion situation

為分析方便，建立了進動坐標系Oprec-xprecypreczprec，其中Oprecyprec為彈體的對稱軸線，Oprecxprec平行于天線面板的基線，Opreczprec由右手定則確定；建立了天線面板坐標系Oap-xapyapzap，Oapxap軸與進動坐標系的Oprecyprec重合，均為彈體的對稱軸，Oapyap沿彈體的基線方向，Oapzap由右手定則確定；建立了地面場景坐標系O-xyz，其中z軸通過此時的天線面板中心Oap，y軸的位置使得錐旋軸OprecA位于平面zOy內，x軸由右手定則確定。

1.3 散射點斜距模型

為求解雜波的信號模型，需要計算在慢時間tm時刻散射點Pi距發射通道和第n個方位接收通道的雙程瞬時斜距，公式如下：

式中：RT(tm)、RR，n(tm)分別為慢時間tm時刻散射點到發射通道與接收通道的單程瞬時斜距。

散射點在地面參考坐標系中的坐標可以表示為

式中：R0，i為初始斜距，且有關系H=R0，icosφi。

為計算式（2）的精確解析式，需將散射點轉換到進動坐標系Oprec-xprecypreczprec中。

1.3.1 坐標轉換

首先計算進動點Oprec在地面場景坐標系的坐標，從x軸正向看入，幾何關系如圖4 所示。

圖4 空間坐標以x 軸投影到yOz 平面的關系Fig.4 Projection of the spatial coordinate into the yOzplane from the x-axis

其中，E點為天線面板中心錐旋時的軌跡圓圓心；點F為天線面板中心到線段Oap，refE的投影點；α0為天線面板中心距其最高參考點Oap，ref的旋轉角度，即錐旋旋轉角度。由圖4 可知，Oprec的x軸坐標為

式中：α0為錐旋角度；ξa為錐旋軸與自旋軸之間的夾角。

由圖4 中的幾何關系，最終可得出Oprec在地面場景坐標系中的坐標為

式中：γ為導彈俯沖角，即錐旋軸OprecA與水平方向的夾角。

此時平移關系已經確定，將地面場景坐標系原點平移到進動點Oprec處，對于散射點Pi，其此時的坐標可表示為

坐標系因為俯沖及旋轉關系，并未與此時平移后的地面場景坐標系重合。因此須首先將y軸旋轉至錐旋的錐面上消除俯沖的影響，為此需要繞此時的x軸順時針旋轉γ-ξa角度。旋轉后的y軸與OprecOap，ref重合，此時散射點的坐標為

考慮自旋的影響，自旋即繞y軸順時針旋轉，因此再將此時的坐標系繞y軸順時針旋轉β0角度，可得此時散射點的坐標為

式中：(x2，y2，z2)T、(x3，y3，z3)T為兩個中間坐標。

最后考慮錐旋的影響，需繞錐旋軸OprecA逆時針旋轉α0角度。OprecA并未在坐標軸上，此時的旋轉矩陣需要借助羅德里格斯旋轉公式的矩陣形式，一個坐標系繞單位矢量k=(kx，ky，kz)T逆時針旋轉α0角度的旋轉矩陣表達式為

式中：κ=1-cosα0。

求得此時坐標系中OprecA的單位矢量nOprecA，由簡單的幾何關系可得

因此，將式（10）代入式（9）可得錐旋的旋轉矩陣ΜtrA完整表達式，將此時的坐標系以ΜtrA進行旋轉即可轉換到進動坐標系Oprec-xprecypreczprec中，有散射點的坐標為：

式中：ΜtrB為總的旋轉矩陣，滿足

在坐標轉換完成后，以下計算發射與接收斜距均在進動坐標系Oprec-xprecypreczprec中求解。

1.3.2 發射斜距計算

首先求解發射斜距，自旋對發射通道無影響，因此發射通道的速度包括平動速度vap、錐旋線速度vp以及章動線速度vnut。其中vap的表達式為

式中：nOprecA為OprecA方向的單位矢量。

進動線速度vp的大小‖vp‖=ωpL1sinξa，方向沿天線面板中心軌跡圓的切線方向，與平動速度vap和矢量OapE垂直，可知OapE在進動坐標系中的單位矢量nOapE的坐標為

式中：β0為自旋角度。

可知發射通道進動速度的表達式為

在進動坐標系中，章動速度的方向垂直于yprec軸且在平面OprecOapA內，由式（1）可得其大小為‖vnut‖=ωnθmL1cos(ωntm)，因此發射通道章動速度的表達式為

式中：nnut為章動速度的單位方向矢量。

最終可得發射斜距的表達式為

1.3.3 接收斜距計算

第n個接收通道具有平動速度vap、自旋速度vs、錐旋速度vp，n與章動速度vnut，n，其平動速度與發射通道相同，自旋速度vs指向zprec軸，大小為ωsdn，即

求錐旋線速度vp，n需要求得旋轉矢徑。進動點Oprec到第n個方位接收通道點On的方向矢量在進動坐標系中的坐標為

從OprecOapA平面的視角看入，可得此時第n個接收通道在直線OprecE上的投影點En與E的距離為

由此得出第n個方位通道進動旋轉中心En在進動坐標系中的坐標矢量為

因此第n個方位接收通道因錐旋產生的線速度vp，n表達式為

為求第n個方位接收通道因章動產生的線速度vnut，n，空間位置關系如圖5 所示。

圖5 第n 個接收通道章動旋轉半徑BOnFig.5 Schematic diagram of the nutation radius BOn of the nth receiving channel

由圖可知，章動等效于自轉軸繞1 條直線旋轉（反復轉動1 個微小的圓?。渲形挥谄矫鎥precOpreczprec內的直線l是章動時天線面板的旋轉軸，垂直于yprec軸和OprecA（即自轉軸和錐旋軸），由On在xprec軸的投影C向直線l作垂線，交點為B，此時BC⊥l且OnC⊥l，BOn⊥l，因此第n個接收通道的旋轉半徑為BOn，章動速度垂直于BOn和l，表示式為

式中：nl為直線l的單位方向矢量。

最終可得接收斜距的表達式為

1.3.4 瞬時斜距模型

將式（17）與式（25）代入式（2），可得雙程斜距的表達式為

2 信號模型的建立

假設彈載雷達采用線性調頻（LFM）信號作為發射信號波形，即發射信號可表示為

式中：rect(·)為矩形窗；f0以載波頻率為準；Te為傳輸信號的脈沖持續時間；為條頻率，B為信號帶寬。

在距離脈沖壓縮后，對位于斜距為r的距離環內的地面散射點Pi，彈載雷達的第n個方位通道接收到的回波信號可以表示為

式中：Rn，i(tm)為雜波點和雷達平臺之間的雙程瞬時斜距，如式（26）所示；Ar，i為r-tm域中的回波信號振幅。

假設位于斜距為r的距離環上的雜波信號由Nc個雜波塊組成，則第n個方位通道接收的總回波信號表達式為

考慮到彈載雷達系統中波束駐留時間相對較短，可以使用先驗雷達系統參數近似補償式（31）中的二次項［14］。在執行方位傅里葉變換（Fourier Transform，FT）之后，距離-多普勒域的回波信號表達式為

式中：σr，i為第i個雜波塊在r-fa域的信號幅度；fa為多普勒頻率變量。

根據式（26）和式（27），可得多普勒頻率的表達式為

由式（33）可知，雜波多普勒頻率不僅與平臺的平動速度有關，還與自旋線速度、錐旋線速度、章動線速度等有關，同時因為旋轉的關系，也與自旋角α0、錐旋角β0以及章動角ξa有關。因此，彈載平臺的復雜運動將使雜波多普勒頻率和空間角頻率不再保持一一對應關系，這表明彈載雷達系統中的雜波將出現嚴重的非平穩現象。

3 仿真試驗及結果分析

3.1 不同運動情形下雜波仿真結果

使用Morchin 散射模型［15］的高山地形對雜波進行仿真，將地面依據雷達的分辨率切分成細小的網格，將每一個網格視為單個的雜波點，實現對成片的分布式地面雜波進行仿真，其散射系數表達式為

表1 Morchin 模型常數配置Tab.1 Constant configuration of the Morchin model

表2 彈載平臺系統參數Tab.2 System parameters of the missile-borne platform

3.1.1 平飛前視運動

平飛前視彈載雷達下高山雜波的距離-多普勒譜和空-時二維功率譜如圖6 所示。由圖可知，對于前視雷達，多普勒譜中心隨距離單元發生變化，呈現距離依賴性。由于主瓣雜波的多普勒頻率大于旁瓣雜波，因此只有主瓣左邊存在旁瓣。

圖6 平飛前視雜波仿真結果Fig.6 Simulation results of clutter in forward-looking and level flight case

3.1.2 俯沖前視

俯沖角γ為10°、20°和30°時高山雜波的距離-多普勒譜和空-時二維功率譜如圖7 所示。當俯沖角等于俯仰角，即俯沖角為下視角的余角時，多普勒頻率達到最大的173 kHz。俯沖角不等于俯仰角時，多普勒頻率隨角度差增大而減小，多普勒譜中心偏移，呈現距離依賴性。從空時譜中可見：當俯沖角等于俯仰角時，雜波譜擴散程度較輕；當俯沖角與俯仰角差距越大，多普勒頻移隨距離的變化程度越大，雜波擴散程度越劇烈。

3.1.3 俯沖前視附帶進動以及章動運動

固定俯沖角為10°，自旋角度β0分別為15°、30°和45°的處理結果如圖8 所示。

從距離多普勒譜可以看出，多普勒頻率隨著旋轉角度增大出現擴展；從空時譜可看出，因旋轉導致其不同距離單元的空間頻率產生差別，與只有俯沖的前視情況下所有空間頻率均為零的情形不同。

接下來固定俯沖角為10°，自旋角為15°，同時在不同的章動角ξa下變化錐旋角α0，仿真結果如圖9 所示。由圖可知，當ξa變大時，空-時二維譜的空間頻率會發生變化，對多普勒頻率的影響較小。自旋與錐旋均為旋轉，因此帶來的影響也大致類似，即多普勒頻率擴展和空間頻率發生變化。進動的引入除了使得多普勒譜向左擴展以外，還導致空-時二維譜中的空間錐角余弦值不再呈現關于空間角頻率中心對稱的關系，使得線性的雜波補償方法可能失效，章動的引入則導致雜波的空-時二維譜在空間余弦方向發生偏移，使空間角頻率中心進一步變化。

圖9 不同錐旋角和章動角的雜波仿真結果Fig.9 Simulation results of clutter with different coning angles and nutation angles

續圖9 不同錐旋角和章動角的雜波仿真結果Continue Fig.9 Simulation results of clutter with different coning angles and nutation angles

3.2 結果分析

由3.1 節的仿真結果可知，在進動與章動存在的條件下，彈載平臺與雜波間的徑向速度不再只由彈體的平動速度決定，同時還引入了自旋速度、進動速度與章動速度，導致雜波的多普勒頻率發生擴展，空間角頻率因為旋轉的關系也發生改變，不再聚集于零頻，傳統的只考慮平動的雜波模型對于具有復雜運動特性的彈載雷達將會因為不匹配其運動特性而產生較大的誤差。

4 結束語

本文研究了基于彈載雷達平臺復雜運動情形下的雜波建模方法，給出了較為精確的考慮俯沖、自旋、錐旋以及章動等各種運動情形下的彈載平臺運動模型，并基于此推導了彈載平臺的回波信號模型。仿真結果表明：本文所提的方法相比傳統的平動雜波模型，更加適用于實際中復雜運動的彈載雷達，為后續對彈載雷達進行雜波補償以及雜波抑制等處理打下了理論基礎。