情境感知生概念，探究實踐成定理

毛群芳

［摘? 要］ 圓周角章節(jié)內(nèi)容教學(xué)要注重知識的整體性，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)概念、探究性質(zhì)，掌握應(yīng)用思路. 實際教學(xué)中教師需充分將數(shù)學(xué)知識、邏輯關(guān)系與實踐操作相結(jié)合，讓學(xué)生掌握教學(xué)重難點的同時，獲得綜合能力的提升.

［關(guān)鍵詞］ 圓周角；探究；思維；定理；推理；實踐

圓周角知識是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是在學(xué)習(xí)了圓、圓心角的基本概念、性質(zhì)基礎(chǔ)上對圓的進一步探究. 圓周角的相關(guān)知識在圓類問題中有著廣泛的應(yīng)用，也是與其他平面圖形建立聯(lián)系的紐帶. 關(guān)于圓周角的知識探究，研究者建議關(guān)注學(xué)生思維能力，開展實踐探究，構(gòu)建整體性的教學(xué)流程. 本文基于教學(xué)重點，探究思考圓周角的知識教學(xué)策略.

情境感知，操作升華

學(xué)生對圓周角相對較為陌生，教學(xué)中教師可借助生活情境入手，引導(dǎo)學(xué)生初步感知概念，同時結(jié)合實踐操作，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓周角的規(guī)律. 故教學(xué)初始階段，筆者建議設(shè)計兩個引入環(huán)節(jié)，具體如下.

環(huán)節(jié)1：情境感知

展示足球射門圖（如圖1），球員甲帶球向?qū)Ψ角蜷TPQ進攻，此時同伴乙到達B處，就有兩種射門選擇：一是甲在點A直接射門；二是傳給點B的同伴乙，由乙射門.

教學(xué)中教師引導(dǎo)學(xué)生從幾何角大小的視角進行思考，即引出點A和點B分別對球門PQ的張角，思考射中球門的難易程度與∠PAQ和∠PBQ的大小的關(guān)系.

實際教學(xué)中可在圓中繪制多樣的角，如圖2所示，引導(dǎo)學(xué)生重點關(guān)注∠ADB的特點，先回顧圓心角的概念，思考該角是否為圓心角；然后給出圓周角的概念，讓學(xué)生初步感知其內(nèi)涵. 而對于圓周角的概念教學(xué)，要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注概念的兩個關(guān)鍵點：一是角的頂點位于圓上，二是兩邊均與圓相交.

環(huán)節(jié)2：操作升華

該環(huán)節(jié)中引導(dǎo)學(xué)生實際操作，繪制固定圓的圓心角，然后畫同弧所對的圓周角，并設(shè)置如下問題鏈，引導(dǎo)學(xué)生思考.

設(shè)問1：同弧所對的圓周角可以繪制多少個？

設(shè)問2：請用量角器來量一下這些圓周角和圓心角的度數(shù)，有什么發(fā)現(xiàn)？

教學(xué)中指導(dǎo)學(xué)生進行操作實踐. 如圖3所示，在圓上取一點C，改變點C的位置，引導(dǎo)學(xué)生分析∠ACB的角度變化，思考∠ACB與∠AOB的大小關(guān)系.

上述采用情境與操作相結(jié)合的教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生辨析圓周角的定義，實踐探索圓周角與圓心角的大小關(guān)系. 整個過程精設(shè)環(huán)節(jié)，調(diào)動學(xué)生思維，從整體角度完成概念感知與辨析.

探究實驗，定理歸納

圓周角的性質(zhì)定理是教學(xué)的重點內(nèi)容，對于性質(zhì)定理的教學(xué)，教師不能簡單地直接給出定理，而應(yīng)循序引導(dǎo)，讓學(xué)生參與課堂教學(xué)，逐步形成認識. 故建議采用實踐探究的方式，引導(dǎo)學(xué)生體驗完整的探究過程，通過實踐操作、思考推理、討論總結(jié)的方式深刻理解定理.

探究中需要引導(dǎo)學(xué)生掌握同弧所對圓周角和圓心角的大小關(guān)系，實際探究可從角度的一般性入手，具體分析不同位置關(guān)系下的對應(yīng)情況. 探究實驗分設(shè)多個活動，引導(dǎo)學(xué)生思考.

活動1：實踐操作，測量感知

讓學(xué)生繪制同一條弧所對的圓周角和圓心角的不同情形：（1）圓心在圓周角的一邊上；（2）圓心在圓周角的內(nèi)部；（3）圓心在圓周角的外部.如圖4.

讓學(xué)生使用量角器分別測量以上不同位置情況下圓周角和圓心角的度數(shù)，初步感知二者的大小關(guān)系.

活動2：動態(tài)觀察，關(guān)系確定

量角器測量角度會存在一定的誤差，教學(xué)中教師可借助多媒體，動態(tài)展示同弧所對圓周角和圓心角的位置關(guān)系，以及它們對應(yīng)的角度的大小關(guān)系，如圖5所示.

展示過程中，改變點C在圓上的位置，同時展示∠ACB和∠AOB的大小. 分多種情形暫停動態(tài)圖，讓學(xué)生計算兩角的大小關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生得出：同弧所對的圓周角與圓心角，無論圓周角的頂點在圓上如何移動，圓周角與圓心角的比值始終為1/2.

完成同弧所對圓周角和圓心角的大小關(guān)系探究，可進一步引導(dǎo)學(xué)生將猜想拓展到任意一條弧上，思考任意一條弧所對圓周角和圓心角的大小關(guān)系. 探究活動后，引導(dǎo)學(xué)生做出如下兩點猜想.

猜想①：頂點位于圓上，角的兩邊均與圓相交的角就為圓周角；

猜想②：觀察、計算、推理可猜想同弧或等弧所對圓周角等于所對圓心角的一半.

活動3：數(shù)理證明，總結(jié)歸納

本環(huán)節(jié)主要是從數(shù)理角度進行探究驗證，故需要通過數(shù)學(xué)推理的方式來加以證明，證明過程關(guān)注角的位置關(guān)系，分別加以證明推理，同時注重幾何語言的表述. 數(shù)理證明中呈現(xiàn)如圖6所示的三種情形.

針對其中的情形（1），由已知出發(fā)進行角度關(guān)系推理，具體如下：因為OA＝OC，所以∠A＝∠C. 又因為∠BOC＝∠A＋∠C，所以∠BOC＝2∠A.

在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生利用基本圖形對應(yīng)的結(jié)論來探究當圓心位于圓周角的內(nèi)部和外部的情形，教學(xué)中讓學(xué)生采用語言轉(zhuǎn)化的方式探究，即用幾何語言呈現(xiàn)推理，用文字語言描述過程. 培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達能力.

定理拓展，探究推理

圓周角定理教學(xué)需要關(guān)注對應(yīng)的推理，立足定理開展推論探究，讓學(xué)生全面地認識圓周角定理. 探究教學(xué)同樣應(yīng)避免直接給出推論，可采用辨析思考和動態(tài)呈現(xiàn)的方式，具體如下.

作圖實踐：請在圓上任意作一圓周角，分小組討論，觀察各自所作圓周角的大小是否一致.

思考：結(jié)合組內(nèi)同學(xué)所作的圓周角，思考圓周角的大小范圍是多少.

推論探究1：構(gòu)建圓周角90°時與對應(yīng)弦為圓的直徑關(guān)系

引導(dǎo)設(shè)問：圓周角的大小能否為90°？若為90°，90°角所對弦與圓的直徑之間有什么關(guān)系？

學(xué)生通過作圖觀察可初步確定圓周角的取值范圍，對90°圓周角所對弦與圓的直徑的關(guān)系有了基本的了解，此時可以借助多媒體展示. 即對于圓周角∠ACB，改變點B和點C的位置，使∠AOB為平角，如圖7所示，讓學(xué)生關(guān)注A，O，B三點的位置關(guān)系.

設(shè)問①：A，O，B三點是否共線？若共線，此時弦AB是圓的什么？

設(shè)問②：此時∠ACB形成了什么特殊角？請用文字概括結(jié)論.

教學(xué)中教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建弦AB為直徑和圓周角∠ACB為直角的對應(yīng)關(guān)系，讓學(xué)生雙向思考定理是否成立，即由弦AB為圓的直徑推導(dǎo)圓周角∠ACB=90°，再由圓周角∠ACB=90°推導(dǎo)弦AB為圓的直徑.

推論探究2：同弧或等弧所對圓周角的大小關(guān)系

由上述實踐探究，學(xué)生已經(jīng)掌握同弧或等弧所對圓周角等于圓心角的一半，而在實際作圖中可以發(fā)現(xiàn)圓中同弧可作無數(shù)個圓周角. 教學(xué)中可利用直觀圖象，進一步引導(dǎo)學(xué)生感知同弧或等弧所對圓周角的大小關(guān)系.

如圖8所示，在圓上引入點D，構(gòu)建弧BC所對的圓周角∠BDC，讓學(xué)生觀察∠BDC和∠BAC的關(guān)系，引導(dǎo)時從所對弧和角度大小兩個方面進行分析. 角度大小可借助量角器，對應(yīng)弧則讓學(xué)生回顧相關(guān)概念.

而在實際驗證時借助弧BC對應(yīng)的圓心角，采用間接推理的方式. 即∠BDC=1/2∠BOC，∠BAC=1/2∠BOC，從而可得∠BDC=∠BAC. 教學(xué)過程注意角度的特殊性與一般性，同時構(gòu)建90°和45°角的圓周角，讓學(xué)生全方位地分析探索問題.

應(yīng)用提升，“四能”培養(yǎng)

通過上述實踐探究，學(xué)生已基本掌握了圓周角的定理和相關(guān)推論. 而實際教學(xué)不僅局限于定理講解，還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生開展應(yīng)用探究. 應(yīng)用探究教學(xué)中，要注重學(xué)生的思維培養(yǎng)，幫助學(xué)生積累經(jīng)驗，提升學(xué)生的“四能”——即發(fā)現(xiàn)問題的能力、提出問題的能力、分析問題的能力及解決問題的能力.

圓周角應(yīng)用探究的問題設(shè)計從兩個方面來開展：一是根據(jù)圓周角定理來推導(dǎo)角度關(guān)系，二是根據(jù)圓周角定理來解決綜合性問題. 根據(jù)上述分析，教學(xué)時教師設(shè)計了如下兩個經(jīng)典探究題.

探究題1：如圖9所示，A，B，C，D四點位于同一圓上，四邊形ABCD的對角線將四邊形的4個內(nèi)角分為8個角，這些角有哪些是相等的？

教學(xué)引導(dǎo)：對于上述問題，教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生回顧圓周角定理中關(guān)于同弧或等弧所對的圓周角相等，故可根據(jù)圓中的四條弧來推導(dǎo)等角. 首先引導(dǎo)學(xué)生提取同弧或等弧，再推導(dǎo)對應(yīng)的圓周角.

弧AB→∠5=∠8；弧BC→∠2=∠7；

弧CD→∠1=∠4；弧AD→∠3=∠6.

探究題2：如圖10所示，⊙O的直徑AB為10 cm，AC的長為6 cm，∠ACB的平分線與⊙O的交點為D，試求BC，AD，BD的長.

教學(xué)引導(dǎo)：上述為幾何綜合題，教學(xué)中教師需要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注以下三點，一是能否根據(jù)圓周角定理推得△ABC和△ABD為直角三角形；二是求線段長時，能否將其放置在三角形中；三是能否利用圓周角相等推得弧AD與弧BD相等，進而推導(dǎo)出AD=BD.

應(yīng)用探究過程可將新舊知識進行整合關(guān)聯(lián)，構(gòu)建知識體系. 而在教學(xué)引導(dǎo)過程中教師要注重思維引導(dǎo)，要使學(xué)生掌握思路構(gòu)建的原理. 同時培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)能力，以及對數(shù)學(xué)的積極情感.

總結(jié)

總之，概念與性質(zhì)探究教學(xué)中，教師要把握知識重點，將抽象的數(shù)學(xué)知識情境化，增強操作性，將數(shù)學(xué)理論與實踐相結(jié)合、數(shù)學(xué)邏輯與現(xiàn)實生活相結(jié)合，采用知識探究的方式進行教學(xué)引導(dǎo)，最大化地調(diào)動學(xué)生的思維，提升學(xué)生的綜合能力.