弱Hardy-Orlicz-Morrey鞅空間的原子分解

陶昌玲，于 林

(三峽大學 理學院，湖北 宜昌 443002)

1 引言

在函數空間和調和分析理論中，Morrey空間的研究由來已久[1]，且已取得豐富成果[2-3]。眾所周知，經典的鞅Hardy空間理論是建立在Lebesgue空間Lp的基礎之上[4-5]。近年來，Morrey空間理論被拓展到鞅論研究中并引起廣泛關注。例如，Ho[6]，陶昌玲和于林[7]，分別對Hardy-Morrey鞅空間建立了不同形式的原子分解定理；Nakai-Sadasue[8]引入Morrey-Campanato鞅空間研究分數次積分算子的有界性；Jiao[9]更是將Hardy-Morrey鞅空間的研究拓展到變指數空間Lp(·)的框架之上。

最近，Yu[10]引入弱Hardy-Morrey鞅空間的概念，對此類空間建立原子分解定理，并以此為工具獲得了一系列新的鞅不等式。本文旨在將這一研究進一步推廣到弱Hardy-Orlicz-Morrey鞅空間。對弱Hardy-Orlicz-Morrey鞅空間證明一個所謂“混合型”原子分解定理。確切地說證明弱Hardy-Orlicz-Morrey鞅空間中的每一個鞅都可以分解為一序列弱原子的和，而每一個弱原子又可以進一步分解為一序列弱簡單原子的和。正因為如此，稱這里得到的原子分解為“混合型”。

這種原子分解的優點之一是，可以僅在弱簡單原子滿足一定條件下就能得到一些有趣的鞅不等式。例如，利用所得到的原子分解定理證明弱Hardy-Orlicz-Morrey鞅空間上次線性算子的有界性，并由此將一些經典的鞅不等式從空間推廣到弱Orlicz-Morrey空間。

2 概念及引理

注1設Φ(t)∈Q(α0，α1)，易證

Φ(st)≤max(sα0，sα1)Φ(t)。其中s,t∈(0，+∞)。

Φ(st)≤cΦmax(sα0，sα1)Φ(t)。

注3[6]特別地，當Φ(t)=tp(0

3 原子分解

此外，下列等價范數成立

(1)

其中，下確界inf取遍f的所有上述原子分解。

Φ(st)≤max(sα0，sα1)Φ(t)，s,t∈(0，+∞)。

(2)

由此可證(ⅱ)和(1)中的一個不等式。

(3)

(4)

(5)

不失一般性，不妨設A=2mA(mA≥0)，且有2j≤2mA+j≤A·y=2mA·y<2mA+j+1。因此，有

因Φ∈Q[α0，α1]且0<α0≤α1<∞，則Φ(t)t-α1非增，Φ(t)t-α0非減。因此，一方面，有

另一方面，有

此外，f∈wHMΦ，φ，

由上式及(2)，可以得到(1)。定理證畢。……