弦σ模型中的Ricci流擾動和Weyl反常系數

詹 路, 顏 駿, 黃 憶

(四川師范大學 物理與電子工程學院, 四川 成都 610101)

Ricci流方程是現代微分幾何學中的一種重要的數學工具.1982年Hamilton[1]在研究正曲率3維流形時建立了這一方程?gij/?t=-2Rij,2002年Perelman[2]根據Ricci流方程和幾何熵方法證明了任意3維緊致單連通流形均微分同胚于3維球面,即著名的龐加萊猜想.Ricci流方程可以用來研究不同類型的球定理[3],推廣的弦Ricci流發展方程已被用于進行流形上的梯度估計[4],證明緊致化定理和存在完備的非緊致流形等數學問題[5-6].

另一方面,在理論物理中也存在和Ricci方程類似的重整化群流(renormalization group flow)方程.文獻[7-10]在計算2+ε維非線性σ模型的β函數時獨立發現了RGF方程;1985年Callan等[11]在計算玻色弦σ模型的β函數時得到了廣義的GRF方程組,并從這些方程中導出了修正形式的Einstein引力場方程.Gan等[12]研究了快子場所滿足的場方程,文獻[13-14]進一步計算了玻色σ模型的3圈β函數,熱β函數還可以用來研究弦宇宙學中的溫度對偶性質[15].

Ricci流方程或重整化群方程,在理論物理的各個領域中都有廣泛的應用.如Einstein-DeTurck方程中可能存在Ricci孤子解[26],在2維空間上可以計算出Ricci孤子的質量[27],非平坦的Kahler度規也可以用來描述Ricci孤子[28],在文獻[29]中分析了重整化群流作用下,Ricci孤子(或Witten黑洞)的線性穩定問題,結果表明Witten黑洞的線性擾動模是不穩定的.

在一些相關工作中,Ricci流方程或重整化群流方程,還被用來研究蟲洞、黑洞和宇宙學中的各種物理問題.如根據數值計算方法討論Ricci流中的蟲洞幾何結構的演化[30],分析Ricci流作用下2維面積和Hawking質量的變化規律[31]證明具有Gross-Perry-Yaffe負模類型的小黑洞在Ricci流作用下的不穩定性質[32],尋找2維時空中Ricci流方程的開弦和雜化弦黑洞解[33].Ricci流思想還被用來澄清Perelman熵和Bekenstein-Hawking幾何熵之間的關系[34-36],研究結果表明Perelman所定義的熵和B-H熵并沒有聯系[37].另外,文獻[38]根據重整化群流方程重新討論了Einstein空間中標度因子的演化問題,結果發現在早期的軸子——Dilaton宇宙膨脹中,Hubble參量具有明顯的振蕩性質,但是最初的各向異性在隨時間的演化過程中都將消失.

1 玻色σ模型中的重整化β函數

非線性sigma模型的作用量定義[10]為

(1)

其中,i、j是標量場的內部指標,μ是時空指標.背景場方法的出發點就是將場分解為一個經典場和一個量子場漲落場,又稱為Schwinger-DeWitt技術,這一方法也被用于量子引力和彎曲時空量子場的重整化.通常的背景場量子分解是把φi在一些經典場組態φi附近展開為

φi=φi+πi,

(2)

其中量子漲落πi可看做一個擾動.假設πi是一個新的協變場ξi的函數,取φi為流形上在ξi上的切線矢量,于是可以把度規展開為ξi的冪級數

ξl1ξl2ξl3ξl4+…,

(3)

并且有

?μ(φi+πi)=?μφi+Dμξi+

(4)

所以作用量(1)式的在量子漲落背景下分解為

Ril1l2jξl1ξl2?μφi?μφj+

(5)

Riabj?μφi?μφjξaξb}+…,

(6)

其中

?μξn-iAμabξb,

(7)

〈0|Tξa(x)ξb(y)|0〉=δabΔ(x-y),

(8)

得到其對有效作用量的貢獻為

(9)

于是單圈重整化有效作用量成為

其中Rij是Ricci張量,這時非線性sigma模型的單圈β函數定義為

(11)

其中λ=Λ為動量截斷參量.根據同樣的思路可導出如下雙圈β函數[37]

(12)

其中α為量子修正系數.類似的方法還可以計算弦理論中各種場的β函數,玻色弦的2維能動張量定義[37]為

(13)

其中,Xμ為弦坐標,α′為弦張力系數,γab為世界面度規,S為Polyakov弦作用量.弦的共形對稱性(或Weyl對稱性)將導致

(14)

所以經典玻色弦的能動張量跡為零.另外,背景場耦合的弦σ模型作用量為

iεabBμν(X))?aXμ?bXν+α′ΦR},

(15)

其中,Gμν是引力子場,Bμν是反對稱張量場,Φ是Dilaton標量場.在文獻[16-19]的一系列的工作中發現,重整化能量動量張量的跡可以用β函數表示為

(16)

其中3個系數表示背景場的單圈β函數,其表達式分別為:

O(α′2),

(17)

O(α′2),

(18)

(19)

其中軸子場Bμν的場強定義為

Hμνk=?μBνk+?νBkμ+?kBμν,

當時空維數取臨界維數D=26,共形場中心元c=(D-26)/6為零,并且3個系數

這時Weyl反常將抵消,由(17)～(19)式可導出背景場的單圈Ricci流方程.如果引力場中存在一定形式的流擾動,或出現量子漲落的修正,那么Weyl反常系數可以不再為零,這時弦σ模型中將會出現共形反常.

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2 雙圈Ricci流擾動下的Weyl反常系數

當軸子場Bμν=0,具有雙圈量子修正的Ricci流方程組[39-40]為

(20)

(21)

其中弦張力系數α′=ε?1,表示一種弱耦合情況,當時空維數d=2時,c=-4,方程(22)求跡后有

再由(23)式有

(25)

根據(24)式得引力場的Ricci流擾動方程為

(26)

其中[]表示擾動后的表達式,將度規擾動設為

g00=α(x)+h(x,λ),

g11=β(x),g10=g01=0,

這里h(x,λ)?α(x),于是有

(27)

(28)

這時已忽略Rh的2階小項,于是擾動方程變為

Rh+2(gμν?μ?νΦ)h(1-εR)+

(29)

另外,標量曲率擾動部份的表達式為

(30)

Dilaton場導數項擾動部份的表達式為

將(30)和(31)式代入(29)式化簡后,得如下引力場的Ricci流擾動方程

(32)

在Dilaton場的Ricci流方程(25)中,有:

(33)

(34)

其中,g=α,β是度規的行列式,如果在方程(26)右邊僅考慮引力場的Ricci流擾動,而Dilaton場不發生擾動,這時擾動后的Dilaton場方程成為

此時(35)式左邊Dilaton場的擾動解設為

Φ(x,λ)=Φ(x)+φ(x,λ),

那么有

(36)

在推導Ricci流擾動方程(32)和(36)時,已假定引力場和Dilaton場的擾動系數和雙圈量子漲落系數ε處于同一數量級,這時模型中同時考慮了擾動和量子修正2種效應的作用,這種作用使Ricci流擾動方程達到平衡.當引力場中不存在的流擾動或量子漲落的修正,那么由Ricci流方程組(22)和(23),可以得到度規α(x)和Dilaton場Φ(x)所滿足的Cigar(雪茄)孤子解,Lambert等[29]曾研究過這類孤子在重整化群流的作用下的穩定性質.

這時,再根據(32)和(36)式可進一步導出h(x,λ)和φ(x,λ)所滿足的量子擾動解.設

h(x,λ)=eQλf(x),

那么可以得到如下引力場和Dilaton場的Weyl反常系數:

(37)

其中,λ為Ricci流擾動參量,Q為擾動指數,f(x,Q)為擾動方程(32)的定態解,ε為弦張力系數,標量曲率的表達式為

(38)

因此,在非臨界的2維玻色弦模型中,當存在Ricci流擾動或現量子漲落的修正,那么引力場和Dilaton場的Weyl反常系數均不為零,如果雪茄孤子解和量子擾動解可以求出,通過(37)和(38)式就可以導出2種場的Weyl反常系數的具體表達式.

3 單圈Ricci流擾動下的Weyl反常系數

當軸子場Bμν≠0,參數化后的單圈量子修正的Ricci流方程組[41-42]為

(39)

(40)

(41)

其中,Gμν為背景引力場,Φ為Dilaton標量場,Bμν為軸子場,中心元c=-4,軸子場的場強定義為

Hμνk=?μBνk+?νBkμ+?kBμν,

(42)

度規擾動設為

g00=α(x)+h(x,λ),

Dilaton場的擾動設為

Φ(x,λ)=Φ(x)+φ(x,λ),

軸子場的擾動設為

Bμν=Bμν(x)+bμν(x,λ).

軸子場的矩陣設為如下形式

(43)

其中,對角元B00=B11=0,非對角元B01=B10≠0,軸子場強中的乘積分量為

(44)

在Ricci流方程組(39)～(41)中,Ricci張量的2個分量為:

(45)

Dilaton場的各個導數項分別為:

(46)

(47)

此時,沒有擾動的Ricci流方程組的5個分量方程成為:

(49)

(50)

(51)

(52)

當

?B01/?λ=?B10/?λ=0,

由軸子場方程(50)和(51)解得

V0是積分常數.根據(44)～(52)式可導出如下完整形式的場方程組:

(54)

(55)

對Ricci流方程(39)求跡后得

(56)

引力擾動后的流方程變為

(57)

其中,Rh和[gμν?μ?νΦ]h都已經導出,由(30)和(31)式所表示,最后一項軸子場乘積項需要計算,這時有

(58)

所以得

(59)

于是擾動后的軸子場乘積項成為

(60)

根據(30)和(31)式,以及(60)式得到如下Ricci流擾動方程

(61)

(62)

4 結論與討論

本文主要研究了2維弦σ模型中,Ricci流擾動下的Weyl反常系數.在引言中簡要回顧了Ricci流方程或重整化群流方程的研究歷史和現狀,還介紹了Weyl反常系數和β函數之間的關系,以及Ricci流方程在孤子、蟲洞、黑洞和宇宙學中的各種應用.

在第1節中根據標量場的漲落技術和背景場展開方法,導出了玻色σ模型的單圈β函數,給出了弦σ模型中的能動張量跡的表達式,以及引力子場Gμν、軸子場Bμν、Dilaton場Φ的β函數公式.在第2節中研究了2維時空中的雙圈量子修正下的Ricci流方程組,導出了引力場擾動h(x,λ)和Dilaton場擾動φ(λ)滿足的微分方程組,給出Weyl反常系數的表達式.在第3節中研究了2維時空中軸子場作用下的Ricci流方程組,導出了引力場擾動h(x,λ),軸子場擾動b(x,λ)和Dilaton場擾動φ(λ)所滿足的微分方程組,給出了Weyl方程系數的表達式.

β函數是研究量子電動力學(QED)的重整化性質時引入的概念,通常是指有效耦合常數或有效耦合質量隨動量標度的變化率[45],在QED理論中β>0,有效耦合常數隨動量標度的增加而變大,或隨距離標度的增加而變小;在量子色動力學(QCD)中β<0,有效耦合常數隨動量標度的增加而減小,或隨距離標度的增加而變大,即QCD含有漸近自由的性質.在2維弦理論中,β函數表示引力子場擾動、軸子場擾動,以及Dilaton場擾動隨動量標度的變化率.如果β函數都為正號,則擾動的變化和QED相似,隨動量標度的增加擾動將增強;如果β函數都為負號,那么擾動的變化和QCD相似,隨動量標度的增加擾動將減弱.

本文在一般的形式體系中研究Ricci流擾動方程和Weyl反常系數,當度規α、β、Φ場和Bμν場存在Ricci流孤子解時,就可以推導出度規擾動h(x,λ)的解析解,進一步計算出Weyl反常系數的具體表達式,并通過β函數的符號判定出3種場的擾動隨動量標度的變化關系,這是下一步研究工作的一個主要任務.