對數勢條件下雙層正方形中心構型的扭轉角問題

曾小華, 趙甫榮, 李樹勇*

(1. 四川師范大學 數學科學學院, 四川 成都 610066; 2. 綿陽師范學院 數理學院, 四川 綿陽 621000)

1 預備知識

牛頓n體問題[11]研究的是n個質點在萬有引力作用下的運動規律,其質量和位置向量分別為mj∈R+,qj∈R3,在牛頓萬有引力作用下,質點的運動方程為

(1)

其中，q=(q1,q2,…,qn)∈R3n,牛頓勢函數

(2)

定義空間

X={q=(q1,q2,…,qn)∈R3n:

(3)

即質心在原點.

因為2質點碰撞時是奇異的,所以構型空間不應該出現這樣的集合,Δ={q:qk=qj對k≠j}.

XΔ叫做構型空間.

定義 1[12-13]一個構型q=(q1,q2,…,qn)∈XΔ被稱做中心構型,若存在一個正常數λ,使得下列方程成立

-λmkqk, 1≤k≤n.

(4)

稱為α-齊次勢函數,當α=1時即為牛頓勢函數.

定義 2勢函數為如下形式

稱為對數勢函數,記為U0,即

在R3中考慮這樣一個構型,由2層正n邊形構成,這2層之間的距離為h≥0,假設下層的正n邊形位于水平面,上層的正n邊形平行于下層的正n邊形,z軸垂直通過這2個正n邊形的中心,假設mk(1≤k≤n)是下層正n邊形頂點qk處的質量,mn+k是上層正n邊形頂點qn+k處的質量,其中

(5)

這里的θ稱為扭轉角,a>0,h>0為這2層正多邊形之間的距離.質心為

(6)

由于按照(5)和(6)式選取坐標系,質心不在坐標原點,為方便計算,作如下坐標平移,令

Pk=qk-z0,k=1,2,…,n,Pn+k=qn+k-z0,k=1,2,…,n.

(7)

在對數勢條件下,(q1,q2,…,qn,qn+1,qn+2,…,q2n)構成中心構型,則存在λ*∈R使得下式成立

即

-λ*mk(qk-z0), 1≤k≤2n,

(8)

等價于

-λ*mkPk, 1≤k≤n,

(9)

-λ*mn+kPn+k, 1≤k≤n.

(10)

為得到本文結果,現需引入一個引理.

所以

即質心在原點.

當n為奇數時,設n=2l+1,l為整數,則

(11)

當n為偶數時,設n=2l,l為整數,則

(12)

(13)

k=1,2,…,n,

2 主要結果

q1=(1,0,0),q2=(0,-1,0),

q3=(-1,0,0),q4=(0,1,0),

q5=(acos θ,asinθ,h),

當θ=0時,這8個天體的位置關系如圖1所示.

比例尺1∶2

比例尺1∶2

假設m1=m2=m3=m4=1,m5=m6=m7=m8=m,這8個天體的質心為

因為這8個天體構成中心構型,根據中心構型的定義,對于第5個天體q5可得

即

-λ0m5(q5-q0).

(14)

由上式兩端的第一個和第二個分量相等可得:

(15)

(16)

(17)

(18)

由(17)和(18)式可得

(19)

在(19)式的等式左右兩邊同時除以sin θcosθ,可得

(20)

即

(21)

令

那么(21)式等價于f(cos θ)=f(sinθ).下面將證明當x>0時,f(x)是嚴格單調遞增的.計算下式

令

g(x)=

-(1+a2+h2-4ax)(1+a2+h2+2ax)2+

(1+a2+h2+4ax)(1+a2+h2-2ax)2,

則

(22)

在x=0處,有

g(0)=-(1+a2+h2)(1+a2+h2)2+

(1+a2+h2)(1+a2+h2)2=0.

(23)

為了判斷函數f(x)的單調性情況,需要對g(x)求導,得

4a(1+a2+h2-4ax)(1+a2+h2+2ax)+

4a(1+a2+h2-2ax)2-

4a(1+a2+h2+4ax)(1+a2+h2-2ax)=

4a[2(1+a2+h2)2+8a2x2]-

4a[2(1+a2+h2)2-16a2x2]=

96a3x2>0, ?x>0.

(24)

f(sin θ)=f(cosθ),