矩陣方程AX=B的譜范數(shù)約束解

劉喜富, 羅 樂

(重慶師范大學 數(shù)學科學學院, 重慶 401331)

1 引言與預備知識

EA=Im-AA+,FA=In-A+A.

對于任意的ξ>0,Sveξ(A)表示的是A的奇異值中大于或等于ξ的個數(shù).對于任意矩陣W,W是壓縮矩陣當且僅當‖W‖2≤1,W是Hermitian壓縮矩陣當且僅當‖W‖2≤1并且W=W*.

約束矩陣方程的求解在矩陣理論和其他很多領域中都起著重要的作用.近些年,約束線性矩陣方程AX=B的求解問題一直是研究的熱門問題之一,這些約束主要包括：Hermitian、(半)正定、(反)自反、中心對稱、范數(shù)等.矩陣方程AX=B約束解的結論在振動理論及其逆問題、結構化設計、統(tǒng)計和控制理論等領域有著廣泛的應用,近年來諸多學者都對其有了很深的研究：文獻[1-2]利用矩陣的廣義逆給出了線性矩陣方程AX=B存在一般解的充要條件及解的表達式;Li等[3]給出了矩陣方程AX=B的解在特殊情況下關于秩的結論;Liu等[4]研究了矩陣方程AX=B的Hermitian解和半正定解在保范擴張下的應用;王婧等[5]研究了矩陣方程AX=B的(反)自反問題以及最佳逼近問題;Zhang等[6]利用矩陣的分解研究了矩陣方程的P、Q的(反)自反解問題;Sou等[7]給出了問題

‖A-BXC‖2<1

最小秩解的一般形式.

當矩陣方程

AX=B

(1)

分別存在一般解、Hermitian解、半正定解時,本文主要考慮該矩陣方程在2種譜范數(shù)約束下的解,即最小譜范數(shù)解，以及譜范數(shù)小于1的解.

問題 1給定矩陣A∈Cm×l,B∈Cm×k,求相容矩陣方程AX=B在以上2種約束條件下的一般解.

問題 2給定矩陣A∈Cm×l,B∈Cm×l,求相容矩陣方程AX=B在以上2種約束條件下的Hermitian解.

問題 3給定矩陣A∈Cm×l,B∈Cm×l,求相容矩陣方程AX=B在以上2種約束條件下的半正定解.

為了得到以上問題的解,引入以下引理.

引理 1.1[5]1) 給定矩陣A∈Cm×l,B∈Cm×k,矩陣方程AX=B相容的充要條件為AA+B=B.有解時,該方程的一般解可以表示為X=A+B+FAY,其中Y是適當階數(shù)的任意矩陣.

2) 給定矩陣A∈Cm×l,B∈Cm×l,相容矩陣方程AX=B存在Hermitian解的充要條件為BA*是Hermitian矩陣.有Hermitian解時,該方程的Hermitian解可以表示為

X=A+B+FA(A+B)*+FAYFA,

其中Y是適當階數(shù)的任意Hermitian矩陣.

3) 給定矩陣A∈Cm×l，B∈Cm×l,相容矩陣方程AX=B存在半正定解的充要條件為BA*是半正定矩陣,且r(BA*)=r(B).有半正定解時,該方程的半正定解可以表示為

X=B*(BA*)+B+FAYFA,

其中Y是適當階數(shù)的任意半正定矩陣.

其中

是適當階數(shù)的任意Hermitian壓縮矩陣.

設矩陣A∈Cm×n的奇異值分解為

V*、U、V都是酉矩陣,其中

Λ1=diag(σ1,σ2,…,σk),
Λ2=diag(σk+1,σk+2,…σl),
σ1≥σ2≥…≥σk≥1>σk+1≥…≥σl>0,r(A)=l,

則可定義

引理 1.4[4]給定矩陣A∈Cm×n,B∈Cm×mx,C∈Cnx×n,其中B是列滿秩矩陣,C是行滿秩矩陣,B、C的奇異值分解為

X=

其中

并且

‖A-BXB*‖2<1.

引理 1.5[9]給定矩陣A∈Cm×m,B∈Cm×n,C∈Cn×n,D∈Cn×m,設A、C是可逆矩陣,則A+BCD可逆的充要條件為C-1+DA-1B可逆,此時它的逆可表示為

(A+BCD)-1=

A-1-A-1B(C-1+DA-1B)-1DA-1.

引理 1.6[10]給定矩陣

其中A、D是Hermitian矩陣,則M>0的充要條件為A>0,D-B*A+B>0.

2 問題1的解

給定矩陣A∈Cm×l,B∈Cm×k,A的奇異值分解為

(2)

其中U、V都是酉矩陣,Σ=diag(σ1,σ2,…,σr),
σ1≥σ2≥…≥σr>0, r(A)=r.

(3)

其中X2為適當階數(shù)的任意矩陣.

定理 2.1給定A∈Cm×l,B∈Cm×k,相容矩陣方程(1)的解如(3)式所示,該方程的最小譜范數(shù)解可表示為

A+B+FAY,

(4)

K為適當階數(shù)的任意壓縮矩陣.

證明由引理1.2可得(4)式成立,即

μ=min‖X‖2=‖Σ-1B1‖2=‖A+B‖2.

定理 2.2給定A∈Cm×l,B∈Cm×k,相容矩陣方程(1)的解如(3)式所示,該方程存在譜范數(shù)小于1的解的充要條件為‖A+B‖2<1.該方程有約束解時,它的一個約束解為

(5)

證明AX=B的解如(3)式所示,它的譜范數(shù)可轉化為

其中

‖A+B‖2<1.

方程(1)有約束解時,則

故方程(1)的一個譜范數(shù)小于1的解為(5)式.

給定矩陣

A=

B=

例 2.1矩陣方程(1)解的最小譜范數(shù)為μ=0.795,此時它的最小譜范數(shù)解如(4)式所示：

X=A+B+FAY,

其中

例 2.1矩陣方程(1)的譜范數(shù)小于1的一個解如(5)式所示,即可表示為

3 問題2的解

給定矩陣A∈Cm×l,B∈Cm×l,A的奇異值分解如(2)式所示.由引理1.1可得,矩陣方程(1)存在Hermitian解時,B可以相應的表示為

且該方程的Hermitian解可以表示為

(6)

其中X22是適當階數(shù)的任意的Hermitian矩陣.

定理 3.1給定矩陣A∈Cm×l,B∈Cm×l,矩陣方程(1)的Hermitian解如(6)式所示,該方程的Hermitian最小譜范數(shù)解可表示為

A+B+FA(A+B)*+FAYFA,

(7)

其中

W是適當階數(shù)的任意Hermitian壓縮矩陣.

證明由引理1.3易證(7)式成立,即

定理 3.2給定矩陣A∈Cm×l,B∈Cm×l,矩陣方程(1)的Hermitian解如(6)式所示,方程存在譜范數(shù)小于1的Hermitian解的充要條件為‖A+B‖2<1,該方程有Hermitian約束解時,它的一個約束解可以表達為

A+B+FA(A+B)*+FAYFA，

(8)

其中Y如定理3.1所示,則

(9)

證明AX=B的Hermitian解如(6)式所示,它的譜范數(shù)可轉化為

其中

,

方程(1)有約束解時,由引理1.4和引理1.5可得：

再次應用引理1.4可得(9)式及矩陣方程(1)的一個譜范數(shù)小于1的Hermitian解為(8)式.

給定矩陣

A=

B=

例 3.1矩陣方程(1)解的最小譜范數(shù)為μ=0.717,此時它的最小譜范數(shù)解如(7)式所示,即

X=A+B+FA(A+B)*+FAYFA,

其中FA、V*如例2.1所示.

例 3.2矩陣方程(1)的譜范數(shù)小于1的解如(8)式所示,即

X=A+B+FA(A+B)*+FAYFA,

其中FA如例2.1所示,A+B+FA(A+B)*如例3.1所示，即

即

4 問題3的解

給定矩陣A∈Cm×l,B∈Cm×l,A的奇異值分解如(2)式所示.由引理1.1可得,矩陣方程(1)存在半正定解時,B可以相應的表示為

且方程(1)的半正定解可表示為

X=

(10)

其中X22是適當階數(shù)的任意半正定矩陣.

定理 4.1給定矩陣A∈Cm×l,B∈Cm×l,矩陣方程(1)的半正定解如(10)式所示,該方程的一個最小譜范數(shù)半正定解可表示為

B*(BA*)+B.

(11)

證明AX=B的半正定解如(10)式所示.由于

X22是任意的半正定矩陣,故可得

由偏序的性質可得

‖X‖2=

取X22=0時上式等式成立.此時,矩陣方程(1)的一個半正定最小譜范數(shù)解為(11)式.

值得注意的是,定理4.1的證明并未使用保范擴張定理,這是因為在(10)式中不能保證存在半正定矩陣X22使得

當?shù)仁匠闪r,可通過保范擴張定理結合半正定矩陣的性質得到通解.

定理 4.2給定矩陣

A∈Cm×l,B∈Cm×l,

矩陣方程(1)的半正定解如(10)式所示,該方程存在譜范數(shù)小于1的半正定解的充要條件為

‖B*(BA*)+B‖2<1.

該方程有譜范數(shù)小于1的半正定解時,它的解可表示為

X=

B*(BA*)+B+FAYFA,

(12)

其中Y如定理3.1所示,即

證明AX=B的半正定解如(10)式所示.由定理4.1可得

min‖X‖2≥

‖B*(BA*)+B‖2,

即方程(1)存在譜范數(shù)小于1的半正定解的充要條件為‖B*(BA*)+B‖2<1.有解時,由偏序的性質可得

顯然I-Σ-1B11>0,則由引理1.6可得

(Σ-1B12)*(I-Σ-1B11)+Σ-1B12>0,

即

值得注意的是,不同于定理2.2和定理3.2,定理4.2沒有利用引理1.4進行求解問題.

實際上引理1.4可適用于該問題的求解,但由于得出結果為X22=0,結果顯然,且證明過程冗雜,故引理1.4利用偏序予以證明.

給定矩陣

A=

B=

例 4.1矩陣方程(1)解的最小譜范數(shù)為μ=0.895,此時它的最小譜范數(shù)解如(10)式所示,即

例 4.2矩陣方程(1)的譜范數(shù)小于1的解為

X=B*(BA*)+B+FAYFA,

其中FA、V*如例2.1所示,B*(BA*)+B如例4.1所示,即

5 結束語

對于譜范數(shù)約束條件‖X‖2<1,在實際應用中,常遇到約束條件：對于任意的ξ(ξ>0),則

‖X‖2<ξ.

實際上,本文的結論也同樣適用于該約束：對于矩陣方程AX=B,令

則AX=B可轉化為AξXξ=B,則