雙極值模糊子格

劉春輝, 白彥輝, 秦學成

(1. 赤峰學院 教育科學學院, 內蒙古 赤峰 024001; 2. 赤峰學院 數學與計算機科學學院, 內蒙古 赤峰 024001)

1 引言與預備知識

格[1-2]作為一類重要的偏序結構,其理論已經深入到了數學的各個分支,在諸如代數學、拓撲學、數理邏輯和概率論等眾多領域都有廣泛的應用.因此,關于格理論問題的研究也一直是國內外研究者關注的重要領域.模糊集理論由Zadeh[3]于1965年創立,至今,該理論已經在數學及與數學密切相關的模式識別、控制、優化和決策等領域得到了廣泛應用.隨著社會的進步以及人類思維能力和認知水平的不斷提高,人們日益認識到模糊集在改變傳統二值觀的同時卻忽視了事物的兩極性.為了彌補這一不足,1994年,Zhang[4]首次將不相容兩極性引入模糊集理論中,提出了雙極值模糊集(Bipolar fuzzy sets)概念,簡稱BF-集.之后,Zhang等[5]就BF-集理論對傳統模糊集理論的突破給予了充分的肯定.自此,眾多學者紛紛加入到了BF-集理論及其應用研究的行列,推動了這一理論的不斷成熟和完善.

近年來,人們將雙極值模糊集的思想方法成功應用于抽象代數和邏輯代數問題的研究,進一步拓展了雙極值模糊集的應用領域[6-12].例如,2011年,Akram[7]提出了雙極值模糊圖的概念并研究了其性質和刻畫.2012年,Majunder[8]提出并刻畫了Γ-半群的雙極值模糊Γ-子半群.2015年,Mahmood等[9]利用雙極值模糊h-理想刻畫了Hemi-環.2017年,Jana等[11]研究了雙極值BCI/BCK代數的性質.2019年,筆者提出并研究了否定非對合剩余格的雙極值模糊理想問題[12].為了進一步以全新的視角揭示格的內部結構特征、豐富格理論的研究內容并拓展BF-集的應用范圍,基于上述工作,本文將BF-集的概念和運算與格結構相結合,引入雙極值模糊子格的概念并研究它們的性質，獲得了一些有趣的結論.

為敘述方便,首先給出關于格和雙極值模糊集的一些基本概念.

定義 1.1[1-2]設(L,≤)是一個偏序集,如果L中任意2個元素x、y都有上確界x∨y和下確界x∧y,則稱(L,≤)(或簡稱L)為一個格.

定義 1.2[1-2]設L、M是2個格,f:L→M是映射,如果對任意的x,y∈L都有f(x∧y)=f(x)∧f(y)且f(x∨y)=f(x)∨f(y),則稱f為格同態或簡稱為同態.若格同態f為單射(滿射),則稱f為格單(滿)同態；若格同態f為雙射,則稱f為格同構.

定義 1.3[4]設X是一個非空集合(論域),記：

J[0,1]={μP|μP:X→[0,1]}，

J[-1,0]={μN|μN:X→[-1,0]}.

是X上的一個雙極值模糊集,簡稱BF-集,簡記為

2 雙極值模糊子格的定義與性質

本節給出雙極值模糊子格的定義并考察其性質.

則稱A是L的一個雙極值模糊子格,簡稱A是L的一個BF-子格.記由L的全體BF-子格構成的集合為BFSL(L).

例 2.1設L={0,a,b,c,d,e,f,1},其Hasse圖如圖1所示.

圖 1 格L的Hasse圖

表 1

特別地,若

則A∩B和A∪B分別定義如下:

證明因為

所以對任意λ∈Λ有Aλ∈BFSL(L).任取x,y∈L,由(BFSL1)得：

表 2

這是因為：

定理 2.2設L是格,

且對任意的α,β∈Λ有Aα?Aβ或Aβ?Aα，則

證明因為

所以對任意λ∈Λ有Aλ∈BFSL(L).任取x,y∈L,斷言:

3 BF-子格的同態像與原像

其中f-1(y)={x∈L|f(x)=y},稱f[A]為A在f下的像.

故f-1[B]滿足(BFSL1).類似可證

故f-1[B]亦滿足(BFSL2).因此,由定義2.1得

y1∧y2=f(x1)∧f(x2)=f(x1∧x2),

從而由f-1[B]∈BFSL(L)及(BFSL1)得:

故B滿足(BFSL1).類似可證

證明設A∈BFSL(L)且具有(sup,inf)-性質.任取y1,y2∈M,則由f:L→M是格滿同態及A具有(sup,inf)-性質得,存在x1,x2∈L使

x1∈f-1(y1),x2∈f-1(y2)

故由A∈BFSL(L)及(BFSL1)得:

4 結束語

眾所周知,格既是代數學的研究對象,又是偏序結構的自然產物，所以其理論和應用研究一直深受代數領域和序結構領域專家學者們的關注.本文將BF-集理論應用于格結構研究,引入了格的BF-子格的概念并考察其性質特征,證明了BF-子格的BF-交集、同態像和同態原像也是BF-子格.同時,給出了BF-子格的BF-并集成為BF-子格的條件.這些結論為進一步認識格的內部結構提供了一個新的視角和途徑,進一步拓展了BF-集的應用范圍和格理論的研究思路.

致謝赤峰學院一流扶持學科(教育學、數學及計算機科學與技術)建設項目對本文給予了資助,謹致謝意.