波集二象性及其作用

李洪興

(1. 北京師范大學珠海校區(qū) 應用數(shù)學與交叉科學研究中心, 廣東 珠海 519085; 2. 大連理工大學 控制科學與工程學院, 遼寧 大連 116024)

1 從Cantor集的物理意義到波集二象性

為了說明問題的實質(zhì),當取U=R時,那么這個函數(shù)可以看作一個單位脈沖波,見圖1.

圖 1 單位脈沖波

特別地,當A=[a,b]?R時,這個函數(shù)可以視為一個單位矩形波,見圖2.

圖 2 單位矩形波

(A,B)→A∪B=∪(A,B)=

{u∈U|(u∈A)∨(u∈B)};

(A,B)→A∩B=∩(A,B)=

{u∈U|(u∈A)∧(u∈B)};

A→Ac=c(A)=UA=

{u∈U|u?A}.

χA∪B(u)=χA(u)∨χB(u), ?u∈U;

χA∩B(u)=χA(u)∧χB(u), ?u∈U;

χAc(u)=1-χA(u), ?u∈U,

其中,∨=max,∧=min,即

a∨b=max{a,b}, ?a,b∈R,

a∧b=min{a,b}, ?a,b∈R.

A×B:={(a,b)|a∈A,b∈B}

叫做A與B的直積.特別地,有

U×V={(u,v)|u∈U,v∈V}.

不難驗證結(jié)果

χA×B(u,v)=χA(u)∧χB(v)=

χA(u)·χB(v), ?(u,v)∈U×V.

現(xiàn)在引入符號

Ch(U)={χ|χ:U→[0,1]},

在集合Ch(U)上定義2個二元代數(shù)運算∨、∧和一個一元代數(shù)運算“c”如下:

∨:Ch(U)×Ch(U)→Ch(U)，

(χ1,χ2)→χ1∨χ2=∨(χ1,χ2),

(χ1∨χ2)(u)=χ1(u)∨χ2(u), ?u∈U;

∧:Ch(U)×Ch(U)→Ch(U),

(χ1,χ2)→χ1∧χ2=∧(χ1,χ2),

(χ1∧χ2)(u)=χ1(u)∧χ2(u), ?u∈U;

c:Ch(U)→Ch(U),χ→χc=c(χ),

χc(u)=1-χ(u), ?u∈U.

這樣就構(gòu)成一個代數(shù)系統(tǒng)(Ch(U),∨,∧,c).

不防證明(1)式.事實上,考慮映射

[(u∈A)∧(u?B)]∨

[(u?A)∧(u∈B)]

為真.無妨假定(u∈A)∧(u?B)為真,那么有

(χA(u)=1)∧(χB(u)=0),

A={u∈U|χ(u)=1}.

根據(jù)這個集合A,又可以得到一個函數(shù)χA∈Ch(U)如下:

χA:U→{0,1}，

接下來,證明χA=χ.實際上,對于任意的元素u∈U,顯然有

χA(u)=1?u∈A?χ(u)=1.

由此可見χA=χ,即

f(A)=χA=χ,

所以f是個滿射,從而f是雙射.

f(A∪B)=χA∪B,

f(A∩B)=χA∩B,

f(Ac)=χAc.

只需觀察下面的事實:對于任意的元素u∈U,有:

[f(A∪B)](u)=χA∪B(u)=

χA(u)∨χB(u)=

[f(A)](u)∨[f(B)](u)=

{[f(A)]∨[f(B)]}(u),

[f(A∩B)](u)=χA∩B(u)=

χA(u)∧χB(u)=

[f(A)](u)∧[f(B)](u)=

{[f(A)]∧[f(B)]}(u),

[f(Ac)](u)=χAc(u)=1-χA(u)=

1-[f(A)](u)=[f(A)]c(u).

可見雙射f確實保持代數(shù)運算,從而f是個同構(gòu)映射.

因為

所以論域U中的一個集合就是定義在U上的一個波函數(shù),反之亦然;這就叫做波集二象性.

(2)

事實上,對于任意的u∈U有

χA(u)=1?u∈A?

1+0=1.

這種情況足以啟發(fā)產(chǎn)生一種新的思想:在實際的宏觀物理世界,任何一個物體可以視為一個質(zhì)點,而該物體一定由大量的微觀粒子所構(gòu)成.如果宏觀質(zhì)點運動也具有波動性,而微觀粒子運動是具有波粒二象性的,那么宏觀質(zhì)點運動的波函數(shù)一定是有若干微觀粒子運動的波函數(shù)構(gòu)成.可喜的是,文獻[1]已經(jīng)證明了宏觀質(zhì)點運動也具有波動性,換言之,宏觀質(zhì)點運動是具有波質(zhì)二象性的.

2 Fuzzy集合產(chǎn)生的背景

從一類具有單輸入單輸出的開環(huán)系統(tǒng)談起,見圖3,其中S代表一個系統(tǒng),x表示在論域

X=[a,b]?R

中取值的輸入變量,y表示在論域

Y=[c,d]?R

中取值的輸出變量.

圖 3 單輸入單輸出的開環(huán)系統(tǒng)

如果S是一個復雜的不確定系統(tǒng),那么對這個系統(tǒng)采用常規(guī)的機制建模法是困難的,甚至是不可能的.對于這種情況,可以通過實驗來得到一組離散的數(shù)據(jù),由它近似地表示該系統(tǒng)的輸入輸出關系[2].這組數(shù)據(jù)用符號IOD來表達如下

IOD?{(xi,yi)|i=0,1,…,n}?X×Y,

這里的輸入數(shù)據(jù)和輸出數(shù)據(jù)可以分別表示為:

X0?{xi|i=0,1,…,n},

Y0?{yi|i=0,1,…,n},

a=x0

實際上,IOD可以看作一個離散的函數(shù)

g0:X0→Y0,xi→g(xi)?yi,

i=0,1,…,n.

圖 4 系統(tǒng)的離散響應

現(xiàn)在擴展函數(shù)g0:X0→Y0的定義如下:

g:X→Y，

盡管映射g:X→Y使得系統(tǒng)S對于每一個x∈X都有響應,即

i=0,1,…,n.

如果注意到g(x)=0(?x∈XX0),可見系統(tǒng)S在XX0中的響應幾乎無意義.

于是應該思考一個問題:如何利用已知的映射g0:X0→Y0來構(gòu)造一個實用的映射f:X→Y使得系統(tǒng)S對于X中的每一個元素都具有實用價值的響應,并且滿足如下的自然條件:

f(xi)=g0(xi), ?i∈{0,1,…,n}.

當然,眾所周知,插值是解決這個問題的一個方法;不過插值方法不具有系統(tǒng)的觀念,也不具有集合運算、邏輯和推理的意義[3].下面將采用集合、邏輯和推理的思想來解決該問題.

首先,不難理解,通過實驗得到的數(shù)據(jù)xi、yi,i=0,1,…,n都具有誤差,于是便有下面的表達式:

xi±δi,yi±εi,δi≥0,εi≥0,

i=0,1,…,n,

或者可以寫為下列集合形式(區(qū)間是集合):

xi∈[xi-δi,xi+δi],

yi∈[yi-εi,yi+εi],

i=0,1,…,n.

這意味著數(shù)據(jù)被一步步擴展為下面的集合形式[4]:

IOD={(xi,yi)|i=0,1,…,n}?

{({xi},{yi})|i=0,1,…,n}?

{([xi-δi,xi+δi],[yi-εi,yi+εi])|

i=0,1,…,n}.

注意每個誤差區(qū)間的特征函數(shù)形式:

χ[xi-δi,xi+δi](x)=

i=0,1,…,n.

基于上面討論的波集二象性,每個單位脈沖波χ{xi}(x)擴展為單位矩形波χ[xi-δi,xi+δi](x),見圖5.

圖 5 單位脈沖波到單位矩形波

從單位脈沖波χ{xi}(x)到單位矩形波χ[xi-δi,xi+δi](x),實際上利用數(shù)據(jù)的誤差獲得了更多的信息.現(xiàn)在計算來自誤差區(qū)間[xi-δi,xi+δi]的一種類型的信息量如下

(3)

如圖6所示,系統(tǒng)在位于一些間隔(interspaces)上的輸入量也是沒有響應的.

圖 6 系統(tǒng)在間隔上沒有響應

為了解決這個問題,思想是在保持信息量不變的情況下,考慮使用另外一些形式的波函數(shù)μAi(x),當然它們也是某種類型的集合Ai的波函數(shù),見圖7.

所謂保持信息量不變,就是要求滿足條件

圖 7 作為某種集合Ai的波函數(shù)μAi(x)

如果取下面形式的2個數(shù):

那么就可以得到如下的波函數(shù):

不難驗證,上述形式的波函數(shù)已經(jīng)滿足條件:

同時不難知道這些波函數(shù)適合下面的條件:

μAi(X)=[0,1], ?i∈{0,1,…,n},

這里μAi(X)是函數(shù)μAi關于論域X的象集,它們不同于χ[xi-δi,xi+δi](X)={0,1}.因此,從波函數(shù)的角度講,是對集合形式的一種推廣.

基于前面講過的波集二象性,可以猜測或想象,波函數(shù)μAi(x)應該對應一種新的集合形式,稱之為“Fuzzy集合”.

3 Fuzzy集合與擴展原理

回顧上一節(jié)的事實

μAi(X)=[0,1], ?i∈{0,1,…,n},

自然會給出定義:所謂論域U上的一個Fuzzy集A是指,對于任何元素u∈U,存在唯一的一個實數(shù)μA(u)∈[0,1]與u對應,這里μA(u)叫做元素u關于A的隸屬度.這意味著得到一個映射

μA:U→[0,1],u→μA(u),

類似于描述集合的Venn圖,可以給出描述Fuzzy集的泛Venn圖.事實上,首先用一個矩形表示論域U.然后,論域U中的元素用具有單位長度的線段來表示,而論域U上的一個Fuzzy集A表示為矩形中的一個橢圓,見圖8,可見:

μA(u1)=1,μA(u2)=0,

μA(u3)=0.3,μA(u4)=0.6.

圖 8 泛Venn圖

μA(U)={0,1},

則隸屬函數(shù)便退化為特征函數(shù),這意味著:

A={u∈U|μA(u)=1}.

因此,Cantor集合是Fuzzy集合的特例[6].注意到

μA(u0)∈(0,1), ?u0∈U,

這里(0,1)是個開區(qū)間.(4)式所表達的Fuzzy集

μAi(x),i=0,1,…,n,

就是常用的真Fuzzy集的例子.

回顧代數(shù)系統(tǒng)(Ch(U),∨,∧,c),記

Meb(U)={μ|μ:U→[0,1]},

定義2個二元代數(shù)運算∨、∧和一個一元代數(shù)運算“c”如下:

∨:Meb(U)×Meb(U)→Meb(U),

(μ1,μ2)→μ1∨μ2=∨(μ1,μ2),

(μ1∨μ2)(u)=μ1(u)∨μ2(u), ?u∈U;

∧:Meb(U)×Meb(U)→Meb(U),

(μ1,μ2)→μ1∧μ2=∧(μ1,μ2),

(μ1∧μ2)(u)=μ1(u)∧μ2(u), ?u∈U;

c:Meb(U)→Meb(U),μ→μc=c(μ),

μc(u)=1-μ(u), ?u∈U,

于是便得到一個代數(shù)系統(tǒng)(Meb(U),∨,∧,c)[7].

值得指出的是,從同構(gòu)關系

A?B?(?u∈U)(μA(u)≥μB(u));

A=B?(A?B)∧(B?A)?

(?u∈U)(μA(u)=μB(u));

C=A∪B?

(?u∈U)(μC(u)=μA(u)∨μB(u));

C=A∩B?

(?u∈U)(μC(u)=μA(u)∧μB(u));

C=Ac?(?u∈U)(μC(u)=1-μA(u)).

(6)

其實,(6)式也可以寫為:?(u,v)∈U×V,μA×B(u,v)=μA(u)·μB(v).

(7)

正是基于同構(gòu)關系

現(xiàn)在再探討一下Zadeh的擴展原理.設X和Y為2個非空論域,考慮映射:

f:X→Y,x→y=f(x).

Zadeh的擴展原理描述的事情是,如何把映射f:X→Y擴展為如下的映射:

首先,考慮Zadeh的擴展原理的特殊情況,即如何把映射f:X→Y擴展為如下的映射:

如圖9所示,熟知,映射f實際上是一個關系f?X×Y.做下面的集變換:

A→B=f°(A)=[(A×Y)∩f]Y.

(8)

圖 9 Cantor集的集變換

注意,有關Cantor集合與Fuzzy集合的投影以及集變換的具體內(nèi)容可參考文獻[1]中的第二章.特別地,利用文獻[1]中的Proposition 2.5.1,有下面的命題.

命題 3.1關于集變換(8)式,有

(9)

證明對于任意的y∈Y,根據(jù)文獻[1]中的Proposition 2.5.1,有下面的結(jié)果:

χB(y)=χf°(A)(y)=χ[(A×Y)∩f]Y(y)=

因此，(9)式為真，參見圖9.

現(xiàn)在轉(zhuǎn)而考慮如何將映射f:X→Y擴展為下面的映射

從圖9得到啟發(fā),可以做出如下的Fuzzy集合的集變換:

A→B=f*(A)=[(A×Y)∩f]Y.

(10)

再利用文獻[1]中的Proposition 2.6.1,有下面的命題.

命題 3.2關于Fuzzy集變換(10),有

(11)

證明對于任意的y∈Y,根據(jù)文獻[1]中的Proposition 2.6.1,有下面的表達式

μB(y)=μf*(A)(y)=μ[(A×Y)∩f]Y(y)=

因此，(10)式為真.

注 3.1表達式(10)恰好是熟知的Zadeh的擴展原理.因為Zadeh的擴展原理是作為原理出現(xiàn)的,故它不需要證明.正如上面的討論,Zadeh的擴展原理不是個原理,而是個命題,這說明在前面給出的擴展原理是更為基礎的原理,使用范圍更廣,它把Zadeh的擴展原理作為一個命題證明出來,這是很有意義的事情.

(10)式是關于一元函數(shù)的擴展形式,當然可以考慮多元函數(shù)的擴展形式,以二元函數(shù)為例進行討論.

設X、Y、Z是3個非空論域,考慮下面的映射:

f:X×Y→Z, (x,y)→z=f(x,y).

首先把映射f:X×Y→Z擴展為下面的樣子:

根據(jù)文獻[1]中的Definition 2.6.1,得到下面的Fuzzy集變換的形式:

R→C=f*(R)=[(R×Z)∩f]Z.

(12)

然后,利用文獻[1]中的Proposition 2.6.1,有下面的命題.

命題 3.3關于Fuzzy集變換(12),有下面的表達式

(13)

證明對于任意的z∈Z,文獻[1]中的Proposition 2.6.1,注意事實f?X×Y×Z,有下面的結(jié)果:

μC(z)=μf*(R)(z)=μ[(R×Z)∩f]Z(z)=

χf(x,y,f(x,y)))=

便有如下的表達式

因此,(13)式為真.

再繼續(xù)考慮把映射f:X×Y→Z擴展為下面的樣子:

(A,B)→C=f*(A,B).

(A,B)→C=f*(A,B)=

[((A×B)×Z)∩f]Z.

(14)

根據(jù)文獻[1]中的Proposition 2.10.2,對于任意的z∈Z,有下面的結(jié)果

(15)

注 3.2關于Fuzzy關系

對于任何的(x,y)∈X×Y,不難知道下面的事實

μR(x,y)=μA×B(x,y)=μA(x)·μB(y).

因此,(15)式也可以寫為下面的樣子

z∈Z.

(16)

還可以考慮另外一個問題.設X和Y是2個非空論域,考慮映射:

f:X→Y,x→y=f(x).

熟知,Zadeh的擴展原理是基于映射f:X→Y獲得下面的映射:

另一方面,基于映射f:X→Y,應當還考慮如下的逆映射:

為了解作為Fuzzy集合(f-1)*(B)的隸屬函數(shù),先考慮特例:把映射f:X→Y擴展為如下的逆映射:

事實上,首先顯然有

(f-1)°(B)={x∈X|f(x)∈B},

于是便有下面的表達式

χ(f-1)°(B)(x)=χ{x∈X|f(x)∈B}(x), ?x∈X.

命題 3.4?x∈X,一定有

χ{x∈X|f(x)∈B}(x)=χB(f(x)).

證明對于任意的x∈X,不難看出如下的等價式

χ{t∈X|f(t)∈B}(x)=1?

x∈{t∈X|f(t)∈B}?

f(x)∈B?χB(f(x))=1.

因此,該命題為真.

根據(jù)命題3.4,利用提出的擴展原理,可以得到下面的結(jié)果

μ(f-1)*(B)(x)=μB(f(x)), ?x∈X.

(17)

4 導函數(shù)的逼近論意義

這里

n=1,2,3,…

顯然它們滿足條件

并且

n>m?‖Δ(n)‖<‖Δ(m)‖, ?n,m∈N.

注意到

由此構(gòu)造如下波函數(shù)組(參見圖10):

i=1,2,…,n-1,

圖 10 連續(xù)波函數(shù)

從而得到一個線性子空間序列

利用f構(gòu)造常數(shù)

由此得到基底一個線性組合

這意味著獲得一個連續(xù)函數(shù)序列

可以驗證

圖 11 分段線性插值函數(shù)

現(xiàn)在仍然使用基函數(shù)組

再利用已知的常數(shù)組

構(gòu)造一組新的常數(shù):

?ε>0, ?N∈N+, ?n,m∈N+,n,m>N?

例 4.1導函數(shù)逼近的仿真.取

f(x)=sin(x)∈C[0,2π],

熟知

f′(x)=cos(x)∈C[0,2π].

圖12～15是n取不同值時的近似導函數(shù)(粗線)和真實導函數(shù)(細線).

5 原函數(shù)的逼近論意義

下面討論原函數(shù)的逼近意義.設函數(shù)g(x)∈R[a,b],考慮[a,b]的等距分割全體:

圖 12 n=20

圖 13 n=40

圖 14 n=50

圖15 n=100

n=1,2,3,…

利用常數(shù)

構(gòu)造線性方程組

這里

是待求的未知量.寫為遞推式:

…

i=1,2,…,n-1,

不難理解,函數(shù)g(x)的原函數(shù)的一般形式,即原函數(shù)的通解為f(x,C0)+C,其中C為任意常數(shù).

例 5.1原函數(shù)逼近的仿真.取

g(x)=cos(x)∈C[0,2π],

熟知原函數(shù)為

f(x)=sin(x)+C.

取C=0,則

f(x)=sin(x)∈C[0,2π].

圖16～19是n取不同值時的近似原函數(shù)(粗線)和真實原函數(shù)(細線)的圖像.

圖 16 n=50

圖 17 n=100

圖 18 n=200

圖 19 n=300