新課標視域下尺規作圖學材思考

文|林志輝 陳柯柯

一、課改過渡期面臨的學力尷尬

1.學習內驅力不足

尺規作圖是指通過借助沒有刻度的直尺和圓規進行有限次畫圖，可學生明明用刻度尺、量角器等測量工具就可以快速解決問題，利用尺規作圖反而增加了學習難度。

2.教學知識序紊亂

現在使用的教材編排和新課標相關尺規作圖的知識內容分布存在著出入。

面對課改期間的學力尷尬，該如何激活學生探索的興趣，還有哪些內容可以加強探索？筆者通過本文嘗試提出破解課改過渡期間困境的學材，以供同行參考。

二、適配過渡期的學材探索

小學階段的尺規作圖有別于初中的尺規作圖，側重于加深學生對圖形特征的理解，激發學生的學習興趣和創造力，培養學生的幾何直觀和推理意識。在尺規作圖教學前，明確適配學生現行知識點編排順序的教學內容是不可或缺的。為此筆者進行了“小初”尺規作圖的共性內容對比梳理，嘗試發掘更多的知識載體，通過系統的序列推進，進行適配過渡期的尺規作圖通盤設計。

1.共性“小初”知識羅列

《義務教育數學課程標準（2022年版）》中安排了三個課例說明尺規作圖的教學建議，對照初中的尺規作圖的五個基本作圖，筆者發現小學的例26 和例29通過作等長線段和通過作圖認識三角形周長對應著初中的“作一條線段等于已知線段”。例32 側重借由尺規作圖理解三邊關系，作一個相同的三角形對應初中的“作一個角等于已知角”。如張丹教授團隊的研討課中，學生在探究三邊關系中，經歷探索嘗試到用尺規作已知三邊的三角形，既感悟了三邊關系又滲透了穩定性，充分尊重了學生的認知水平。

2.增性“尺規”內容梳理

《義務教育數學課程標準（2022年版）》中尺規作圖看似內容前移，實則是豐富學生的經驗感悟，正如核心素養的螺旋培養一樣，小學階段著重意識，初中階段著重觀念，而到了高中才是走向能力的培養。尺規作圖也一樣，筆者理解并不是單純的知識前移，而是在學有余力的前提下，讓學生進一步理解圖形的特征，感悟數學的魅力，積累豐富的經驗。小學階段除了提及的這三個課例，是否還有其他可以探索尺規作圖的知識載體呢？初中的另外三種基本作圖學生是否也可以嘗試呢？

（1）過渡增加：菱形

學生既然會尺規作三角形，那么尺規作四條邊都相等的四邊形（菱形）是否也可以嘗試？菱形雖然是初中的教學內容，但小學生并不陌生，不揭示其本質屬性僅以四邊形視之，菱形其實是很好的尺規作圖感悟素材。菱形隱含著四邊形可以分成兩個三角形的知識，學生用尺規作菱形可以分成兩個以AB 為底的等邊三角形（如圖1 左所示），學生還可以以線段AB 為腰，作兩個等腰三角形（如圖1 中所示），而這樣的點C和點D 可以有無數組，學生在畫的過程中感受四邊形的不穩定性，進一步對比加深對三角形穩定性的感悟（如圖1 右所示）。

圖1 以線段AB 為底作菱形（左）以線段AB 為腰作菱形（中）感悟四邊形的不穩定性（右）

（2）拓展增加：角平分線和垂線

有了畫菱形的經驗，學生對于第四個點的形成具備一定的作圖經驗和感悟，畫角平分線時自然而然遷移了畫法經驗，如圖2左所示，畫四條邊相等的四邊形，此時通過連接線段OC，說明三角形OCB 和三角形OAC 一樣大，所以∠BOC 和∠COA 是一樣大的。又可如圖2 右所示，不拘泥于四條邊都相等，作線段BC 等于線段AC，獲得兩個一般性的三角形OCB 和三角形OAC。但究其本質學生都是在遷移尺規作圖兩個等腰三角形OAB 和三角形ACB。角平分線看似是初中的知識，但小學生借由小學階段的知識和經驗也是可以初步感悟的，這樣的感悟又豐厚了對四邊形和三角形的特征理解。

圖2 角平分線的尺規作圖（左）角平分線的尺規作圖（右）

眾所周知，尺規作圖的實際應用中垂徑定理是被高頻使用的，但是小學生對于垂徑定理確實存在很大的難度，筆者思考是否可以基于角平分線的基礎，引導學生將直線看成平角，如圖3所示，作線的垂線。聚焦這樣的垂線作圖，學生也是用尺規作三角形的方法推進，在方法經驗的遷移下，感悟垂直作圖的過程，拓寬學生的知識邊界，將知識進行關聯化的融通。

圖3 尺規作圖——垂線

三、基于實證性的通盤設計

基于可以嘗試拓展的尺規作圖內容，聚焦學生的知識、經驗起點，將尺規作圖的教學安排在六年級學習完《圓的認識》單元之后，如表1所示。筆者串聯設計三課時，基于簡單的學材，通過序列的螺旋推進，帶領學生經歷尺規作圖，豐厚圖形認識，通過描述、刻畫的互譯發展學生的幾何直觀，在綜合運用知識的情況下，感受數學知識之間的聯系，體會理性思維的魅力，激發數學學習的興趣。

表1 尺規作圖課例表

三節課皆是圍繞著尺規作圖三角形，不增加學生的知識難度，串聯學生小學階段的圖形知識，如課時1 聚焦簡單的兩條線段，通過畫線段的累加和等腰三角形，因為素材的巧妙設計（2a＜b），感悟只能以線段a 為底，感悟三角形的三邊關系，又在對比不同位置的擺放中感悟三角形的穩定性。課時2 通過畫四條邊都相等的四邊形進一步感悟三角形的特征，理解三角形的雙拼法和四邊形的不穩定性。課時3 通過畫三等分圓、六等分圓和多等分圓進一步融會貫通圖形特征的感悟。

尺規作圖在小學的引入是學生理解圖形特征很好的載體，但筆者建議要求不宜過高，不必進行嚴格論述每一步的作圖方法，只要能清晰說明自己的方法，在感悟為什么可以這樣作背后的道理就可以。