一道2022年山東省預賽試題的探究

盛 龍

安徽省桐城中學 (231400)

試題設計平凡、樸實、常規，是學生最熟悉的題型，入手比較容易且解題的思路很多.考查了直觀想象、數學運算和邏輯推理等數學核心素養，檢驗了學生分析問題和解決問題的能力，是一道有探究性的好題.

一、解法探究

若過原點的圓x2+y2=r2滿足：過圓上任意一點M的切線與橢圓C交于A,B兩點，且OA⊥OB.(當切線斜率不存在時容易探究，下面只探究斜率存在的情形)

證法1：(設線)設A(x1,y1),B(x2,y2).

證法2：(設切點)設圓O在點M(x0,y0)(x0y0≠0)處的切線方程為x0x+y0y=r2，聯立

兩種方法最后一步都要利用到關系式x1x2+y1y2=0，顯然點A的坐標與點B的坐標是有一定的關系，能否打破解題常規的定勢思維，在設點B的坐標上下功夫呢？結果是出人意料的.

通過巧妙設元，利用簡單的平面幾何知識構造等式，跳出解析幾何題解答常規的思維框架，“四兩撥千斤”就干脆利落地得到圓的半徑，大大減少了計算量和中間步驟，在解題過程中展現思維的睿智和數學的魅力.

二、背景探究——橢圓“內準圓”性質

一個好的試題，往往具有深刻的背景，上述預賽試題實質上是橢圓“內準圓”的一個基本性質.

圖1

三、命題再創造

對試題的命制作一點猜測性研究，以期與命題人對話，為此設計以下題目.

(1)求橢圓C的方程；

(1)求橢圓C的方程；

(2)過坐標原點的直線與橢圓交于M,N兩點，過點M作圓x2+y2=2的一條切線，交橢圓于另一點P，連接PN，證明：|PM|=|PN|.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過坐標原點的直線與橢圓C交于M,N兩點，過點M作圓x2+y2=2的一條切線，交橢圓于另一點P，連接PN，求△PMN面積的最大值.

設計思路：題3的進一步深化，S△PMN=2S△OPN，性質3的特殊化.

基于以上對3到題目的設計，解析幾何試題考查學生用解析幾何方法解決解析幾何問題的能力，使學生體會到對于幾何問題，“解析化”的途徑必須進行認真的研究探索和選擇，同時強調運算的準確性對于解析幾何是十分必要的.