例談圓錐曲線中非對稱問題的處理策略

金保源

華南師范大學附屬惠陽學校 (516200)

在圓錐曲線問題中，將直線方程與曲線方程聯立后，消去x或y，得到方程再結合韋達定理來進行其它運算是常見的解題思路，但是在某些問題中可能會涉及需要計算兩根系數不相同的代數式.像這種“非對稱”的韋達定理結構，通常是無法根據韋達定理直接求出的，大部分學生遇到這樣的問題束手無策.本文以一道高三調研試題為例，提出了非對稱韋達問題常見的六種解決思路，供讀者參考.

1 試題呈現

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)若橢圓C的左、右頂點分別為A、B，點M、N是橢圓上異于A、B的不同兩點,直線BN的斜率為k(k≠0)，直線AM的斜率為3k，求證：直線MN過定點.

2 解法探究

思路1 恒等變形，化單變量

思路2 積化為和，降次處理

思路3 代入曲線，平方消元

思路4 待定系數，和差轉化

思路5 式子分離，配湊乘積

點評：對于非對稱結構sy1+ty2+my1y2=0，可以將式子配湊成和積形式的對稱式，即

思路6 第三定義，構造對偶

3 小結啟示

解決問題時,只有我們真正把握住問題的本質,才能真正的理解問題進而解決問題.“不對稱”憑借線性運算、作商、乘方等可變為能夠“直接”應用韋達的“對稱”情況，這是本文解法的思想根源.一般地，高中解幾試題中的所謂“不對稱”其實也屬于“對稱”，這是由二次曲線本身所決定的，其不對稱僅僅是代數形式上“不直接”.在教學中,教師只有從更深的角度揭露本質,才能真正讓學生在數學學習中得到樂趣,開拓學生眼界,開闊學生思維,培育學生優秀的個性,真正達到培養學生數學核心素養的目的.