挖掘定點，優化解題*

劉曉靜 戚有建

江蘇省揚州教育科學研究院 (225007) 江蘇省揚州中學 (225009)

在研究與動直線有關的問題時，有些動直線恒過定點，解題時若能抓住這“點”，從定點入手，把定點作為尋找解題思路的切入點和突破口，往往可以另辟蹊徑，起到事半功倍的效果.下面結合幾道例題，介紹動直線恒過定點在解題中的應用.

分析：通法是將直線和橢圓方程聯列，然后用兩點間距離公式或弦長公式處理.另外，本題也可以從動直線恒過定點入手，出奇制勝，輕松解決.

例2 點P(2,1)到動直線l:(m+3)x+(1-2m)y+6-5m=0的距離的最大值為.

例3 過原點O作直線l:ax+by=a的垂線，垂足為P，則動點P圍成的圖形面積為.

分析：通法是設垂線OP方程，聯列方程求出垂足P點坐標，然后研究P點軌跡.若從動直線恒過定點入手，可減少運算量.

分析：通法是將直線和橢圓方程聯列，然后從方程的角度來研究，即將恒有公共點轉化為方程恒有解.若從動直線恒過定點入手，可回避聯列方程減少運算量.

分析：先證明直線MN過定點，此時動點D就在圓上運動.

圖1

分析：先證明直線PQ過定點，然后構建關于S△BPQ-S△APQ的目標函數求最值.

圖2

從以上幾道例題可以看出，解題時若能充分利用動直線過定點這一已知條件，或者挖掘出動直線過定點這一隱含條件，往往能抓住問題本質，從而優化解題思路、簡化解題過程，提高解題效率.