2022年新高考Ⅱ卷解幾題的多解、推廣及變式
2023-03-11 07:09:38胡芳舉
中學數學研究(江西) 2023年3期
胡芳舉
湖南省桃江縣第一中學 (413400)
一、試題呈現
圖1
(1)求C的方程；
①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|=|MB|.
二、一題多證
(2)選取①③?②.
當直線AB的斜率不存在時，顯然成立.下面只考慮直線AB的斜率存在的情況.
評注：證法一、二雖然思路簡單自然，但運算非常復雜，學生一般有始無終.
評注：證法三、四根據題設已知，靈活運用直線的參數方程、曲線系知識，簡化計算，證明過程簡潔巧妙，令人回味無窮.
三、試題推廣
四、兩個變式
圖2
評注：過點M作直線交雙曲線的兩漸近線于點A，B，若點M為線段AB的中點，則C,D分別為線段OA,OB的中點，∴CD∥AB，又PQ∥CD，∴AB∥PQ，所以推廣成立.
證明：設點R為線段CD的中點，由變式1易知R，M，N共線，又OCMD為平行四邊形，所以O，R，M共線，故O,M,N三點共線.
