一道拋物線試題的解答與推廣

盧恩良

江西省九江市第三中學 (332000)

1 試題呈現

已知拋物線C:y2=4x的焦點為F，直線y=x-2與拋物線C交于A，B兩點.

(1)求△FAB的面積；

(2)過拋物線C上一點P作圓M：(x-3)2+y2=4的兩條斜率都存在的切線分別與拋物線C交于異于點P的兩點D，E.證明：直線DE與圓M相切.

本題是典型的拋物線多動點問題，結合直線與圓的位置關系進行考查，對學生邏輯推理能力和數學運算能力有較高的要求.直線與圓錐曲線綜合問題，常規方法是聯立直線與曲線方程，根據根與系數關系，將幾何條件代數化進行求解，但往往求解復雜，運算繁瑣.

因拋物線方程的特點，對于拋物線多動點問題，我們常采用設點法，利用拋物線的兩點弦方程簡化計算.本文主要對試題第(2)問進行解答.

2 試題解答

思路分析：雖然P，D，E三點都在拋物線上運動，但點D和E的運動都是由點P引起的.因此，只要確定好了點P，點D和E相應也會確定，切線PD和PE也能確定下來.如此看來，我們應該想辦法借助于點P來表示直線DE方程，然后計算圓心M(3,0)到直線DE的距離等于半徑即可證得此題.

拋物線上兩點弦方程：已知拋物線y2=2px(p>0)上不同兩點A(x1,y1)，B(x2,y2)，則直線AB方程為2px-(y1+y2)y+y1y2=0.

一般地，我們稱此方程為拋物線上兩點弦方程，證明過程略.

特別地，當A，B兩點重合時，此時拋物線上兩點弦方程變為拋物線的切線方程.

評析:試題要證明直線DE與圓M相切，因此我們關鍵在于寫出直線DE的方程.因為點P，D，E三個點均在拋物線上運動，于是聯想到拋物線上兩點弦方程，然后根據直線與圓相切建立代數關系.在解答過程中，由PD方程得到PE方程體現了數學中的類比代換思想，直線DE方程的得到更是借助于同構式的特點，值得學習與借鑒.

3 試題推廣

通過對試題的解答，我們知道拋物線y2=4x上三個不同點構成的三角形，如果其中兩條邊與圓M相切，則第三條邊也與圓M相切.這個性質僅針對圓M成立嗎？還有沒有其他符合該性質的圓？對于一般的拋物線y2=2px(p>0)是否也存在這樣的圓？帶著這樣的疑問，筆者展開了研究，并得到了以下兩個結論.

結論1 設拋物線C：y2=2px(p>0)，圓M：(x-4p)2+y2=4p2.點A1，A2，A3是C上的三個不同點，若直線A1A2，A1A3與圓M相切，則直線A2A3與圓M相切.

由結論1，我們可以嘗試對原試題進行改編.

改編試題1 過拋物線C：y2=4x上一點P作圓M：(x-8)2+y2=16的兩條斜率都存在的切線分別與拋物線交于異于點P的兩點D，E.請判斷直線DE與圓M的位置關系，并說明理由.

由結論2，我們可以得到改編試題2.

改編試題2 已知拋物線C:y2=4x，圓M：(x-t)2+y2=1(t>0).過拋物線上一動點P作兩條斜率都存在的切線分別與拋物線交于異于點P的兩點D，E.是否存在實數t，使得直線DE與圓M相切？如果存在，請求出t的值；如果不存在，請說明理由.