三角形內接三角形周長最小值及其應用

萬福昌 吳 靜

江蘇省蘇州市相城區陸慕高級中學 (215131)

本文探求三角形內接三角形周長的最小值，并利用其最小值得出兩個有趣的定理.

圖1

圖2

圖3

圖4

定理2 如圖4，在△DEF的三個頂點分別在三角形△ABC的三邊上，AH是△ABC的BC邊上的高，分別作D關于AB,AC的對稱點P,Q分別作C關于CD,CB的對稱點M,N，則PQ=MN.

證明：PQ,MN均為則△DEF周長等于PE+EF+QF的最小值，所以PQ=MN.

定理3 已知三角形△ABC的三邊上的高分別為AH，BK,CR,則AHsin∠BAC=BKsin∠ABC=CRsin∠ACB.

圖5

證明：如圖5，由命題1知PQmin=2AHsinθ，同理MNmin=2CRsin∠ACB，由命題2知PQ=MN，∴PQmin=MNmin，

∴AHsin∠BAC=CRsin∠ACB，同理BKsin∠ABC=CRsin∠ACB，故AHsin∠BAC=BKsin∠ABC=CRsin∠ACB.

定理3可稱為垂弦定理.還可以通過如下方法證明.

∴AHsin∠BAC=BKsin∠ABC.同理BKsin∠ABC=CRsin∠ACB.故AHsin∠BAC=BKsin∠ABC=CRsin∠ACB.