立足本手 巧構妙手 釋疑俗手*
——以一道對稱雙變量條件最值問題為例

安愷凱 沈丹丹

江蘇省無錫市東北塘中學 (214101)江蘇省天一中學 (214101)

2022年語文新高考Ⅰ卷以圍棋的三個術語“本手、妙手、俗手”為作文題目，其中本手是指合乎棋理的正規下法；妙手是指出人意料的精妙下法；俗手是指貌似合理，而從全局看通常會受損的下法.筆者由此想到，在數學的解題教學過程中，不也會經常遇到的正規解法、精妙解法、以及貌似合理卻錯誤的解法嗎？筆者便從“本手、俗手、妙手”三個角度分別入手，來探究一道對稱雙變量條件最值問題，現整理如下，以饗讀者.

1 問題呈現

問題1 設實數a，b滿足a+b=6，則(a2+4)(b2+4)的最小值為.

這是一道題既簡潔又優美的雙變量函數的條件最值問題，其優美感來自于代數結構中的對稱性，即在條件和結論中，任意交換兩個變量都不會改變條件和目標函數.然后在這道試題簡潔優美的外表下，卻隱藏著有一個極具誘惑性的“俗手”，即通過令兩個對稱變量相等來求出最值，文獻[1]稱這種方法為對稱變量法.在一次測試中，不少學生便把a=b=3代入目標函數求得最小值為169，測試情況反映出對稱變量法這招“俗手”具有明顯的普遍性，也反饋出該類型問題具有一定的深度探究價值.

2 立足本手 風光不與四時同

問題2 設實數a，b滿足a+b=m(m>0)，則當t>0時，f(a,b)=(a2+t)(b2+t)的最小值為，此時實數a，b的值分別為.

本手1 代入消元

本手2 整體換元

本手3 對稱換元

“本手1”通過代入消元法將目標函數轉化為四次函數；“本手2”通過整體換元法將目標函數轉化為二次函數；“本手3”通過對稱換元法將目標函數轉化為四次偶函數.同是減元的解題思路，卻呈現出不同的表現形式，正所謂“風光不與四時同”.教師在帶領學生領略各種方法不同“風光”的同時，也應注重引領學生看透問題本質，即三招“本手”都立足于將雙變量問題轉化為單變量問題，繼而轉化為對應的函數關系式，同時題目中的約束條件也隨之轉化為函數的定義域，最終利用相應的函數單調性來分析與討論.

基于以上多角度解析，我們得到如下結論：

3 巧構妙手 觀物行成有七易

妙手 以形探數

圖1

圖2

圖3

“觀物取象”強調的是數與形之間的聯系.從“觀物”到“取象”，旨在培養學生從觀察代數式的結構特征，到構造相應幾何模型的關鍵能力.本題便可根據題目條件，結合代數式的幾何意義，合理抽象，通過數形結合，將復雜的代數問題有效轉化為動態幾何下的三角形面積的最值來分析與處理.將抽象的數量關系直觀形象化，以形探數，思維巧妙，視角特殊，不失為一招“妙手”.

4 釋疑俗手 識得廬山真面目

基于以上“本手”與“妙手”的多角度解析，“俗手”的錯因也得到了多方位的辨析.但“俗手”的成因又由何而來，此類對稱雙變量條件最值問題又源起何處？筆者在“本手3”中汲取到靈感，從四次偶函數的角度再探此類問題的“廬山正面目”.

圖4

5 結語

2022年語文新高考Ⅰ卷對“本手、妙手、俗手”有如下闡述：“本手是基礎，妙手是創造.一般來說，對本手理解深刻，才可能出現妙手；否則，難免下出俗手，水平也不易提升.”在數學的解題教學過程中也正是如此，教師首先應當立足于“本手”，即立足于“四基”，引導學生理解基礎知識、習得基本技能、感悟基本思想、積累基本活動經驗，從而形成規范化思考問題的品質；其次應注重在解題教學過程中合理體現幾何直觀與代數運算之間的相互融合，即通過形與數的結合，感悟數學之間的關聯，加強對數學整體性的理解，從而實現解題教學由“知識立意”向“能力立意”的轉變，以此才能促使學生在解決具體問題時，從不同角度來巧施“妙手”.同時“俗手”亦有豐富的思維價值，通過對“俗手”的錯因與成因的深度探究，可養成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神，也有利于提高學生的獨立思考能力.