從試驗到論證
——對一道數列問題的探究與思考

金永濤

北京理工大學附屬中學 (100089)

數學試驗，是在綜合解決學習任務時，根據問題情境，構造出具體的實例或反例、發現或猜測實例蘊含的性質，通過進一步檢驗、歸納與推廣等過程，實現對學習任務的深刻理解的數學學習活動.數學試驗，要從觀察數學對象開始，是數學學習、數學探究與數學研究的基礎.

高中階段對數列的研究是以“背景——概念(定義、表示、分類)——性質——特例”為基本架構，其中“特例”是指等差數列、等比數列這兩類有明確的現實背景、可以給出精確的規律表達、在解決實際問題和數學問題中有重要應用價值的數列，對它們的研究按照“背景——概念——表示——性質——求和公式——應用”的路徑展開.在研究一個具體的數列時，先要識別它是否為等差數列或等比數列；如果不是，可否將其轉化為這兩類特殊數列；問題中的數列與兩類特殊數列具有哪些聯系，怎么應用它們之間的聯系思考、解答問題；如何應用數列的研究方法，探究與思考數列問題等.數列是一類特殊的函數，在思考數列問題時，要關注自變量的離散性和有序性，重視應用數學試驗探究，積累數學活動經驗并解答問題.

一、問題呈現

題目已知數列{an}，a1=1，an+1+an=3n+1，求{an}的通項公式與前n項和Sn.

本題中數列以遞推關系的形式給出，根據遞推關系可以依次得到{an}每一項的值；在遞推關系中，相鄰兩項之和為3n+1，注意到數列{an+1+an}是一個等差數列.

二、問題探究

要求{an}的通項公式與前n項和Sn，首先要準確認識、理解數列的性質，根據遞推關系，通過列舉法，觀察、分析{an}部分項的值，探究數列的性質并解答問題.

探究1：列舉{an}部分項的值，探究數列的性質.

a1=1，a1+a2=4，a2+a3=7，a3+a4=10，a4+a5=13，a5+a6=16，a6+a7=19，a7+a8=22，a8+a9=25，….

易得到數列{an}為1，3，4，6，7，9，10，12，13，….即該數列的奇數項是以1為首項，以3為公差的等差數列；偶數項是以3為首項，以3為公差的等差數列.

探究2：歸納推理，確定研究思路與方法.

通過分析數列的奇數項、偶數項的關系——等差關系，概括出{an}的性質為a1=1，a2=3，且an+2-an=3.借助數學試驗(列舉與歸納)探究數列性質，這是研究數列問題的重要方法；依據得到的性質，整理遞推關系，確定出解決問題的具體方法.

探究3：邏輯推理，回歸概念本質.

在遞推關系中，數列{an+1+an}也可以看成是一個數列且為等差數列，根據等差數列的概念可知，從第二項起后一項與相鄰的前一項之差為常數(公差)，則(an+2+an+1)-(an+1+an)=[3(n+1)+1]-(3n+1)，化簡后也能得到an+2-an=3.這一過程，是基于“數列的遞推關系也是一個數列”的學科觀點，應用數列概念本質確定出研究思路與解決方法.

探究4：嚴謹論證，提升素養.

探究5：轉換視角，提煉學科思維.

在求解數列問題時，通常利用數列的通項公式或遞推關系求解前n項和Sn，或者是先求出數列的前n項和Sn，再進一步求解通項公式.之所以能這樣思考，不僅是源于an和Sn的基本關系，也是對數列概念本質的思考——前n項和是一個數列{Sn}.

三、思考與感悟

數學試驗是研究數列的重要方式，對于復雜的數列問題，直接進行推理論證是困難的.數學試驗，既是準確把握題目信息、深入認識數列規律的重要方式，也是探索研究思路和具體解決方法的基礎.數學試驗不能只停留在對數學對象的感性認知層面，還要對數學對象的內在規律進行深層次的探究，并借助推理論證、數學運算實現對數學對象的性質、規律的嚴謹說理.

在求解數列問題時，要重視對數列基本特征的認識和理解，這是有效解答數列問題的根本.通過將數列的遞推關系轉化為特殊數列(等差數列、等比數列)的關系，或構建起其與特殊數列的內在關聯，進而應用典型方法(如公式法、迭代法等)求解數列的通項公式及前n項和.在解題過程中，不僅要準確掌握并應用遞推關系、通項公式與前n項和公式思考并解答問題，還要有意識地構建、形成數列的學科觀點——遞推關系與前n項和也是一個數列，以數列的視角看待遞推關系與前n項和，系統掌握數列問題的研究方法.