只能“平行于x軸”嗎？
——一道高考解析幾何試題的拓展探究

張培強

江蘇省徐州市第一中學 (221004)江蘇省高中數學名師工作室 (213001)

1 問題呈現

(1)求E的方程；

2 解法探究

圖1

直線HN的截距的化簡是圓錐曲線中的非對稱問題，基本處理策略是配湊出y1，y2的和與積，分子、分母都只留下y1，也可以利用韋達定理直接消去y2．

先猜后證是處理動態問題的常用策略．先考慮極端情況，當直線MN越來越靠近點A時，點M，N，T，H都越來越靠近點A，因此猜想動直線HN過定點A，再通過斜率不存在的特殊情況確認，繼而證明一般性即可．

解法2：當直線MN的斜率不存在時，M(1,

證明三點共線比探求動直線過未知的定點要簡單．此解法也有效地避開了非對稱的麻煩．還有別的方式避開非對稱嗎？事實上，我們可以將(y+2)看作一個整體，往(y1+2)與(y2+2)的和、積轉化．

3 拓展探索

考題中，直線PA是橢圓的切線，也平行于x軸，因此“平行于x軸”與“平行于PA”是一樣的．在一般性地推廣中，兩種說法是否還一樣呢？

由此可知，點A與點P相互制約，隨著t的變化而在相對位置上發生改變．那么，改變MN所過的定點P，是否還會有類似的結論？

圖2

一般地，我們可以得到如下結論：

由命題0可知，當A為下頂點時，改變t的值，點P只能落在直線y=-b上．那么當點P落在直線外，點A就不再是下頂點了，類似構圖，是否還會有相關結論呢？

先用“GeoGebra”動態觀察．如圖3，一般情況下，當點A在某象限內，直線PA與橢圓C是相交的狀態．過M作平行于x軸的直線，與直線AN交于點H，作出MH的中點T，轉動直線MN，可見當MN轉向切線PQ時，點T逐漸靠近切點Q，當MN轉向切線PR時，點T逐漸靠近點A，過程中，點T落在直線AQ上．下面嘗試求證.

圖3

設A(x0，y0)，

于是，我們得到如下結論：

圖4

圖5

于是，我們得到如下結論：

這里的點P和直線y=y0恰是橢圓C的一對極點和極線(考題中的點P和直線AB也是橢圓C的一對極點和極線)．

圖6

再回到一般，如圖6，當點A不是切點時，仍然過M作切線PR的平行線，考慮點H在AN上和在RN上兩種情況．若MH與AN交于點H，可見MH的中點T的軌跡是一條經過A，R，Q三點的曲線．這就說明，如果考題中的A不是下頂點，那么“AB”就不是直線段了，因此MH就只能“平行于x軸”而作了．

若MH與NR交于點H，可見MH的中點T在極線RQ上(過M作切線PQ的平行線，也有類似的結果)．

于是，我們得到了橢圓極點和極線的一個性質：

圖7

(證明留給讀者自行完成)

通過以上的探究，可見考題是“命題2+命題4”下的特殊狀態：點A與切點R重合于橢圓的下頂點，切線PA與x軸平行．而在一般的狀態下，切線PR與x軸不平行，平行線的不同作法，會造就不一樣的動點T在定直線上和動直線NH過定點，更顯解析幾何“動中取靜”的精彩．

圓錐曲線的魅力就在于一個結論的精彩往往不只在一條曲線中綻放．在雙曲線、拋物線中同樣可探得如下的結論：

命題8 已知P為拋物線C：y2=2px(p>0)外一點，過點P作拋物線C的切線，切點分別為Q，R，過點P的直線交拋物線C于M，N兩點，過M且平行于PR(PQ)的直線與直線RN(QN)交于點H，則線段MH的中點T在直線RQ上．