指向深度學(xué)習(xí)的深度教學(xué)*
——以圓錐曲線定義法求最值問(wèn)題為例

劉璇燕

廣東省廣州市番禺區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué) (511400)

數(shù)學(xué)深度教學(xué)是幫助學(xué)生“通過(guò)數(shù)學(xué)會(huì)思維”，學(xué)會(huì)總結(jié)反思和“再認(rèn)識(shí)”，強(qiáng)調(diào)通過(guò)“聯(lián)系的觀點(diǎn)”幫助學(xué)生更好地學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，深入學(xué)習(xí)，從而真正成為學(xué)習(xí)的主人的教學(xué).單元復(fù)習(xí)教學(xué)中，圍繞教學(xué)中的重難點(diǎn)，通過(guò)對(duì)相關(guān)題目的背景分析、解法思考等追溯題目的根源，變式拓展探尋題目本質(zhì)內(nèi)涵，找尋學(xué)生解題能力生長(zhǎng)的軌跡，是很好的復(fù)習(xí)策略.本文以圓錐曲線定義法求最值問(wèn)題為例，談?wù)勛约簩?duì)“深度教學(xué)”的感受和思考.

1 問(wèn)題呈現(xiàn)

例1 拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，定點(diǎn)Q(2，1)，P為拋物線上動(dòng)點(diǎn)，則|PF|+|PQ|的最小值為.

分析：本題考查拋物線的定義、簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合思想，是一道基礎(chǔ)題.由點(diǎn)Q在拋物線內(nèi)側(cè)，作圖(略)，把拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，但是在課前練習(xí)中只有一半的學(xué)生能夠求出正確答案3.分析作業(yè)情況主要原因有三個(gè)：缺乏數(shù)形結(jié)合意識(shí)，沒(méi)有判斷定點(diǎn)與拋物線的位置關(guān)系；不能靈活運(yùn)用拋物線定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化；對(duì)于能夠運(yùn)用拋物線定義轉(zhuǎn)化寫出正確答案的部分學(xué)生，問(wèn)其思路原因時(shí)，都說(shuō)是印象中就是這樣解題的，但卻不清楚為什么要進(jìn)行轉(zhuǎn)化.針對(duì)這種情況，筆者進(jìn)行了以下的變式練習(xí)探尋題目本質(zhì)內(nèi)涵.

變式1 拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F，定點(diǎn)Q(3，4)，P為拋物線上動(dòng)點(diǎn)，則|PF|+|PQ|的最小值為.

設(shè)計(jì)意圖：由例題出發(fā)，改變點(diǎn)Q的位置，定點(diǎn)Q在拋物線的外側(cè)，焦點(diǎn)F在拋物線的內(nèi)側(cè)，不需要通過(guò)定義轉(zhuǎn)化，可以直接求解；與例1形成對(duì)比，引起認(rèn)知沖突，揭示學(xué)生學(xué)習(xí)中的問(wèn)題，引導(dǎo)思考例1用定義轉(zhuǎn)化距離的原因，是因?yàn)榍髣?dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)距離之和最小值時(shí)，需要把同側(cè)距離(定點(diǎn)在動(dòng)點(diǎn)的同側(cè))轉(zhuǎn)化為異側(cè)距離(定點(diǎn)在動(dòng)點(diǎn)的異側(cè))，然后利用三角形的兩邊之和大于第三邊，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)距離之和取得最小值，提升數(shù)形結(jié)合思維.

變式2 拋物線y2=4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線x=-1的距離為d，定點(diǎn)Q(1，1)，則d-|PQ|的最大值為.

分析：定點(diǎn)Q在拋物線的內(nèi)側(cè)，直線在拋物線的外側(cè)，作圖(略)，運(yùn)用拋物線定義將點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點(diǎn)的距離d=|PF|，d-|PQ|=|PF|-|PQ|≤|QF|=1.

設(shè)計(jì)意圖：例1和變式1都是求距離之和最小值問(wèn)題，變式2引出了求距離之差的最大值問(wèn)題，需要把異側(cè)距離轉(zhuǎn)化為同側(cè)距離，然后利用三角形中兩邊之差小于第三邊，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)同側(cè)距離之差取得最大值，激發(fā)逆向思維.

2 變式探究

教師提問(wèn)1：以上是關(guān)于拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)或定直線的距離之和(差)的最值問(wèn)題，同學(xué)們能否小組合作，探究在其他的曲線上是否也有這種最值問(wèn)題呢？

學(xué)生探究1：其他圓錐曲線上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之和(差)的最值.

教師請(qǐng)學(xué)生上臺(tái)展示探究結(jié)果，整理如下：

圖1

教師提問(wèn)2：上面的展示題還可以有其它變式嗎？

學(xué)生1：可以改變定點(diǎn)P的位置，由曲線外變?yōu)榍€內(nèi).

學(xué)生2：可以把左焦點(diǎn)換為右焦點(diǎn).

教師提問(wèn)3：這些都是很好的變式，那剛才例題中我們研究了拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)和定直線的距離之和(差)的最值，同學(xué)們?cè)陔p曲線、橢圓上已經(jīng)研究了到定點(diǎn)的距離之和(差)的最值，那能不能考慮定直線呢？

學(xué)生探究2：圓錐曲線上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)和到某定直線的距離之和(差)的最值.

設(shè)計(jì)意圖：由動(dòng)點(diǎn)在拋物線上變化到雙曲線、橢圓上，培養(yǎng)類比遷移思維，靈活運(yùn)用圓錐曲線定義實(shí)現(xiàn)同側(cè)距離異側(cè)距離相互轉(zhuǎn)化；然后數(shù)形結(jié)合利用三角形中兩邊之和大于第三邊，可以求異側(cè)距離之和的最小值，利用三角形中兩邊之差小于第三邊，可以求同側(cè)距離之差的最大值，進(jìn)一步提升學(xué)生的類比思維和數(shù)形結(jié)合能力.

教師提問(wèn)4：動(dòng)點(diǎn)如果在圓上呢？情況是否類似？

學(xué)生回答：圓上任意一點(diǎn)到定點(diǎn)或者定直線的距離最值可以轉(zhuǎn)化到圓心的距離與半徑的關(guān)系求解.

教師提問(wèn)5：對(duì)，其實(shí)也是用了圓的定義轉(zhuǎn)化.那動(dòng)點(diǎn)如果在直線上呢？請(qǐng)同學(xué)們畫圖試試.

學(xué)生畫圖后紛紛回答，這是初中學(xué)過(guò)的“將軍飲馬”問(wèn)題.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)改變動(dòng)點(diǎn)的軌跡，追溯根源，找到此類題型的數(shù)學(xué)模型“將軍飲馬”，揭示知識(shí)間的聯(lián)系，減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，激發(fā)探究興趣.

圖2

教師總結(jié)：前面的題目都是研究曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的問(wèn)題，下面我們來(lái)看兩道多個(gè)動(dòng)點(diǎn)的問(wèn)題.

分析：如圖2，雙曲線左右焦點(diǎn)F1,F2分別為兩個(gè)圓的圓心，|PM|≤|PF1|+2，|PN|≥|PF2|-1，所以|PM|-|PN|≤|PF1|-|PF2|+3=5.

圖3

分析：由漸近線方程可得b2=12，如圖3，由雙曲線定義得|MF|=2a+|MF1|，|MN|≥|MQ|-r(Q為圓心，r為半徑)，|MN|+|MF|≥|MQ|-r+2a+|MF1|≥|F1Q|+3=8.

設(shè)計(jì)意圖：涉及圓的多動(dòng)點(diǎn)的距離和差最值問(wèn)題，一般運(yùn)用圓的定義，到圓上動(dòng)點(diǎn)距離最值可以轉(zhuǎn)化到圓心(定點(diǎn))和半徑的關(guān)系求解，進(jìn)一步體會(huì)圓錐曲線定義在相互轉(zhuǎn)化中(動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)、同側(cè)距離轉(zhuǎn)化為異側(cè)距離)的作用.

延伸探究問(wèn)題：學(xué)生課后把雙曲線換為其他的圓錐曲線再進(jìn)行探究.

3 教學(xué)反思

在單元復(fù)習(xí)教學(xué)中，從某個(gè)小知識(shí)點(diǎn)切入，通過(guò)改變題目條件，暴露學(xué)生解題中的疑惑點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)，尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，順應(yīng)學(xué)生的思維，通過(guò)教師的引導(dǎo)逐步深入，學(xué)生參與變式探究，對(duì)題型不斷深入挖掘，追根溯源，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)能力，鞏固和創(chuàng)新教學(xué)方法，有助于減輕學(xué)生的解題負(fù)擔(dān)，激發(fā)學(xué)生的探究興趣.