基于數學核心素養發展的余弦定理教學設計*

李 倩 劉成龍 楊坤林

四川省南充高級中學 (637000) 內江師范學院數學與信息科學學院 (641100)

余弦定理是高中數學重要的內容，是解決數學問題的重要工具.具體來講，余弦定理形式優美，內涵豐富，不僅是勾股定理的推廣，同時也是正弦定理的深化，在解三角形中發揮著不可替代的重要.因此，余弦定理引起一線教師們的廣泛關注，尤其在如何開展余弦定理的教學上.比如，張躍紅基于學生為主體這一理念對余弦定理進行了教學設計[1]，鐘進均根據高中學生的心理特點、不同學習水平、不同學習興趣學生的需要，運用多種教學方法和手段對余弦定理的教學設計進行了深入探究[2]，王思儉基于一堂余弦定理觀摩課實錄進行探究性教學研究[3]，秦瑾在教育數學思想的指導下，形成一種新穎的相對獨立、不依賴舊知識、不需要技巧性的余弦定理教學新方式[4].對已有研究成果進一步分析，可以發現研究者們在教學設計中更多的是關注知識與技能的獲取，而對學生數學核心素養的發展關注較少.因此，本文基于發展數學核心素養展開余弦定理的教學設計.

一、基于數學核心素養發展的數學教學

隨著《普通高中數學課程標準(2017年版)》的頒布，發展學生數學核心素養正式拉開帷幕[5].數學核心素養是學生在學習過程中形成的能夠反映數學思想、數學本質，能夠適應自身發展和社會發展需要的、與數學有關的具有綜合性、整體性和持久性能力和思維品質.

數學教學不僅是傳授數學知識的教學，更是發展數學思維的教學，其最終目的是促進人的發展.數學核心素養和數學教學二者是相互依存，互相促進的關系：數學教學為培養學生的數學核心素養提供載體，學生數學學習中逐步發展核心素養，而數學核心素養既是數學教學的理論基礎，也是數學教學的目標指引和歸宿.因此，在數學教學中，要以數學核心素養為根據展開頂層設計，為數學教學設計提供方向保障，努力將數學核心素養貫穿于數學教學的每個環節.同時，在教學中將數學核心素養的發展作為基本任務，不斷為學生核心素養的發展創造條件.

二、基于數學核心素養發展的余弦定理教學設計

(一)教材分析

本節課內容包含余弦定理的概念、公式、推論以及應用.在此之前，已經學習全等三角形、三角函數、平面幾何、平面向量、解析幾何、正弦定理等與本節課緊密聯系的內容，為余弦定理的發現提供了基礎，為余弦定理的多視角證明提供了可能[6].

(二)學情分析

學生已經學習了正弦定理的概念、公式、推論以及應用等基本知識，并能解決簡單的三角形問題，具備一定的數學運算能力，數學建模能力、數學抽象能力等.

(三)教學過程

基于核心素養發展，將余弦定理教學設計為五個環節，基本流程是：創設情境——建構模型——合作探究——學以致用——拓展延伸.下文對每個環節進行詳細的介紹.

1.創設情境，提出問題

情境1 一列火車從甲地駛往乙地，兩地相距800km.但由于途中鐵軌故障正在維修，火車需繞行.于是，這列火車在甲地先沿與原方向成60°的方向行駛了600km，再改變方向，沿直線行駛到達乙地.這次行駛路程比原來的800km增加了多少呢？

圖1

問題1 能否將上述問題轉化為數學問題？

預設：學生對情景水平數學化，得到數學問題(如圖1)：在△ABC中，已知AB=600，AC=800，∠A=60°，求BC.

設計意圖：讓學生體驗由現實情境抽象出數學問題的過程，培養數學抽象素養.

2.構建模型，解決問題

問題2 能否將上述數學問題抽象成更一般的數學問題？

預設：在△ABC中，已知b、c和∠A，求a.

設計意圖：讓學生經歷垂直數學化過程，進一步發展學生數學抽象素養.

問題3 你能用正弦定理解答上述問題嗎？

預設：用正弦定理解答該問題較難，為進一步學習創設必要，同時引發學生的認知沖突.

問題4 正弦定理的證明方法能否遷移到上述問題的解決嗎？

預設：通過作高，將一般三角形轉化為直角三角形.在教師引導下，對數學問題進行探究：

(1)如圖2，當∠A為銳角時，過B點作AC的垂線，垂足為D.在Rt△ABD中，BD=csinA，AD=ccosA；所以DC=b-ccosA，于是a2=(csinA)2+(b-cosA)2=c2sin2A+b2-2bccosA+c2cos2A=c2+b2-2bccosA.故a2=c2+b2-2bccosA.

圖2

圖3

(2)如圖3，當∠A為直角時，a2=b2+c2，有a2=c2+b2-2bccosA.

圖4

(3)如圖4，當∠A為鈍角時，過B點作CA延長線的垂線，垂足為D.BD=csin(π-∠CAB)=csin∠CAB，AD=

ccos(π-∠CAB)=

-ccos∠CAB，CD=b-ccos∠CAB，所以a2=(b-ccos∠CAB)2+c2sin2∠CAB=b2+c2cos2∠CAB-2bccos∠CAB+c2sin2∠CAB，得a2=c2+b2-2bccosA.綜上可知a2=c2+b2-2bccosA.

問題5 能用a、c和∠B表示b嗎？能用a、b和∠C表示c嗎？

預設：同理可得b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.

問題6 通過分類討論得到了邊與角余弦的關系，能用文字語言描述這一關系嗎？

預設：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍.

教師：上述結論稱為余弦定理.

設計意圖：在問題解決的過程中，發展學生的直觀想象、邏輯推理和數學建模素養.

3.合作探究，強化理解

問題7 還能用其它方法證明余弦定理嗎？

預設：學生陷入思考，證明思路不清楚.

問題8 由余弦定理中所包含的兩邊及其夾角余弦值的乘積你能想到什么？

預設：向量數量積中含有兩線段及其夾角余弦值的乘積.

問題9 能否從向量的視角證明余弦定理呢？

教師：由余弦定理可以得到它的推論：

設計意圖：在把握定理的結構基礎上，培養學生原型認知能力，在問題解決中，發展學生數學建模、數學運算和邏輯推理素養[7].

4.學以致用，鞏固內化

例1 (情境問題)在△ABC中，已知AB=600，AC=800，∠A=60°，求BC.

例2 在△ABC中，b=20cm，c=30cm，C=60°求a.

預設：先用正弦定理求出角B，再運用余弦定理a2=c2+b2-2bccosA解得a.

設計意圖：在問題解決中加深公式理解，發展培養學生數學運算和邏輯推理素養[8].

5.拓展延伸，完善認知

問題10 正弦定理和余弦定理有什么關系呢？

任務1：由正弦定理推導余弦定理：

在△ABC中，可知sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，由正弦定理得a=bcosC+ccosB.所以a2=(bcosC+ccosB)2=b2cos2C+c2cos2B+2bccosCcosB=b2+c2-b2sin2C-c2sin2B+2bccosCcosB=b2+c2+2bccosCcosB-2bcsinBsinC-(bsinC-csinB)2.又bsinC=csinB,所以a2=b2+c2+2bccosCcosB-2bcsinBsinC=b2+c2+2bccos(B+C)=b2+c2-2bccosA.同理可證b2=a2+c2-2bccosA,c2=a2+b2-2abcosC.

任務2：由余弦定理推導正弦定理：

教師：正弦定理和余弦定理可以相互推導，因此他們是等價關系.

設計意圖：學生在完成任務1、2的過程中發展邏輯推理和數學運算素養.

三、教學反思

基于數學核心素養發展的余弦定理教學設計中，教師引導學生通過水平數學化得到數學問題，經歷垂直數學化得到更一般的數學模型.在建模、求模、用模、創模(正余弦定理等價)的過程中，以問題為載體，問題解決為線索，讓學生始終處于教學活動的中心，把學生數學核心素養的發展作為根本性任務.以數學核心素養為理論指導的余弦定理教學設計為學生核心素養發展提供了保障，同時余弦定理教學設計為數學核心素養發展也提供了載體.