函數中的新定義問題探究

劉莫君

［摘 要］新定義問題是各地中考數學命題的熱點，主要考查學生的閱讀能力、獲取新知能力、理解新知的能力及運用新知的能力。文章結合四個例題，從四個方面對函數中的新定義問題作具體與探討，以提高學生的解題能力，發展學生的核心素養。

［關鍵詞］函數；新定義；初中數學

［中圖分類號］G633.6［文獻標識碼］?A［文章編號］ 1674-6058（2023）32-0032-03

函數是中考的重點與難點。近幾年，新定義問題成為各地中考數學命題的熱點，它以一種全新的考查形式，考查已學函數的圖象與性質，以及學生對于學習新知應用新知的能力。函數中的新定義問題有哪些呢？以下筆者結合幾道典型例題作具體探討。

一、兩點之間的“折線距離”

兩點之間的“折線距離”，是用兩點的坐標定義的，是指兩點橫坐標差的絕對值與縱坐標差的絕對值的和。在坐標平面內，已知兩點的坐標，即可求出這兩點的“折線距離”。已知函數圖象上某點與原點之間的折線距離，即可求得這個點的坐標。

［例1］【概念認識】城市的許多街道是相互垂直或平行的，我們可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標系[xOy]，對兩點[A（x1，y1）]和[B（x2，y2）]，用以下方式定義兩點間的“折線距離”：[d（A，B）=x1-x2+y1-y2]。

【數學理解】（1）①已知點[A（-3，1）]，則[d（O，A）]= ；②函數[y=-2x+6]（[0≤x≤3]）的圖象如圖1所示，[B]是圖象上一點，若[d（O，B）=5]，則點[B]的坐標為?；（2）函數[y=3x（x>0）]的圖象如圖2所示，該函數圖象上是否存在點[C]，使[d（O，C）=2]？若存在，求出其坐標；若不存在，請說明理由。

【拓展運用】（3）函數[y=x2-4x+6]（[x≥0]）的圖象如圖3所示，D是圖象上一點，求d（O，D）的最小值及對應的點D的坐標。

解析：（1）①∵點[A（-3，1）]，點[O（0，0）]，∴[d（O，A）=-3-0+1-0=4]。②設點[B]（[x]，[-2x+6]）， ∵[d（O，B）=5]，∴[x+-2x+6=5]，∵[0≤x≤3]，∴[x-2x+6=5]，∴[x=1]，∴點[B]（1，4）。

（2）設點[Cm，3m]，∵[d（O，C）=2]，∴[m+3m=2]，∵[m>0]，∴[m+3m=2]，∴[m2-2m+3=0]，∵[Δ=-8<0]，∴此方程沒有實數根，∴不存在符合條件的點C。

（3）設點D為[（n，n2-4n+6）]，∴[d（O，D）=n+n2-4n+6]，∵[n≥0]，[n2-4n+6=（n-2）2+2>0]，∴[d（O，D）=n+n2-4n+6=n2-3n+6=n?322+154]，∴當[n=32]時，d（O，D）最小，最小值為[154]，此時點D坐標為[32，94]。

點評：本題以“折線距離”為背景考查了一次函數、反比例函數、二次函數的圖象與性質，在求解的過程中，根據新定義建立方程或函數是解決問題的關鍵，函數圖象上任意一點，都可以用（自變量、函數解析式）來表達，這樣可把函數圖象轉化滿足一定條件的點。

二、函數圖象的“等值點”

若一個函數圖象上存在橫、縱坐標相等的點，則稱該點為這個函數圖象的“等值點”。已知函數表達式，讓自變量的值等于函數值，就可以求得“等值點”的坐標。反之，當函數表達式等于自變量時，方程的解就是“等值點”的橫坐標。

［例2］定義：若一個函數圖象上存在橫、縱坐標相等的點，則稱該點為這個函數圖象的“等值點”。（1）試判斷函數[y=1x?1]（[x>1]）的圖象上是否存在“等值點”？如果存在，求出“等值點”的坐標；如果不存在，請說明理由。（2）已知函數[y=x2-2]的圖象的“等值點”為點A（-1，-1）和點B（2，2）。①已知實數[m]、[n]滿足[m2-m-2=0]，[n2-n-2=0]，且[m≠n]，求[m2n+mn2]的值；②已知實數[p]、[q]滿足[p2=p+2]，[2q2=q+1]，且[p≠2q]，求[p2+4q2]的值；③若函數[y=x2-2]（[x≥1]）的圖象記為[W1]，將其沿直線[x=1]翻折后的圖象記為[W2]，由[W1]、[W2]兩部分組成的圖象記為[W]，試求圖象[W]上的“等值點”。

解析：（1）函數[y=1x?1]（[x>1]）的圖象上若存在“等值點”，則[x=1x?1]，∴[x2-x-1=0]，∴[x1=1+52]，[x2=1?52]，∵[x>1]，∴[x=1+52]，∴函數[y=1x?1]（[x>1]）的圖象上存在“等值點”，“等值點”的坐標為[1+52，1+52]。

（2）①∵實數[m]、[n]滿足[m2-m-2=0]，[n2-n-2=0]，∴[m2-2=m]，[n2-2=n]，∴[m]、[n]是方程[x2-2=x]的兩個根，即[m]、[n]是函數[y=x2-2]的圖象的“等值點”的橫坐標，∴[m=-1]，[n=2]或[m=2]，[n=-1]。當[m=-1]，[n=2]時，[m2n+mn2=-2]；當[m=2]，[n=-1]時，[m2n+mn2=-2]，∴[m2n+mn2=-2]。

②∵實數[p]、[q]滿足[p2=p+2]，[2q2=q+1]，∴[p2-2=p]，[（2q）2-2=2q]，∴[p]、[2q]是方程[x2-2=x]的兩個根，即[p]、[2q]是函數[y=x2-2]的圖象的“等值點”的橫坐標，∴[p=-1]，[2q=2]或[p=2]，[2q=-1]。當[p=-1]，[2q=2]時，[p2+4q2=5]；當[p=2]，[2q=-1]時，[p2+4q2=5]，∴[p2+4q2=5]。

③函數[y=x2-2]的頂點為（0，-2），它關于直線[x=1]對稱的點為（2，-2），∴[W2]的函數表達式為[y=（x-2）2-2]（[x≤1]），∴[x=（x-2）2-2]，∴[x1=5?172]或[x2=5+172]（舍去），∴[W2]上的“等值點”為[5?172，5?172]。∵函數[y=x2-2]（[x≥]1）的圖象的“等值點”為點B（2，2）。∴圖象[W]上的“等值點”為（2，2）和[5?172，5?172]。

點評：本題重點研究了二次函數圖象上的“等值點”，已知二次函數圖象的兩個“等值點”的坐標，如何求代數式的值呢？將二次函數與一元二次方程建立聯系，因為求函數圖象上“等值點”坐標的過程，就是解一元二次方程。限定了自變量的取值范圍，函數圖象就只取其中一部分，翻折后的函數圖象也只取一部分。

三、二次函數的衍生函數

已知一個二次函數，將它的常數項與二次項系數互換位置，會得到一個新的函數，這個函數，我們稱之為原二次函數的衍生函數。已知二次函數的衍生函數，可以求得原二次函數；通過解方程組還可以求得原二次函數與衍生函數圖象的交點坐標。

［例3］在平面直角坐標系中，對于函數[y1=ax2+bx+c]，其中[a]、[b]、[c]為常數，[a≠c]，定義：函數[y2=cx2+bx+a]是[y1=ax2+bx+c]的衍生函數，點M（a，c）是函數[y1=ax2+bx+c]的衍生點，設函數[y1=ax2+bx+c]與其衍生函數的圖象交于A、B兩點（點A在點B的左側）。（1）若函數[y1=ax2+bx+c]的圖象過點C（-1，3）、D（1，-5），其衍生點M（1，[c]），求函數[y1=ax2+bx+c]的解析式；（2）若函數[y1=ax2+bx+c]的衍生函數為[y2=2x-1]，求A、B兩點的坐標；（3）是否存在常數b，使得無論a為何值，函數[y1=ax2+bx+c]的衍生點M始終在直線AB上，若存在，請求出b的值；若不存在，請說明理由。

解析：（1）∵函數[y1=ax2+bx+c]的衍生點M（1，[c]），∴[a=1]，∵函數[y1=ax2+bx+c]的圖象過點C（-1，3），D（1，-5），∴[1?b+c=3，1+b+c=?5，]∴[b=?4，c=?2，]∴[y1=x2-4x-2]。

（2）∵函數[y1=ax2+bx+c]的衍生函數為[y2=2x-1]，∴[y1=-x2+2x]，∴[-x2+2x=2x-1]，∴[x=-1]或[x=1]，∴A（-1，-3），B（1，1）。

（3）∵點M（a，c），[y1=ax2+bx+c]，[y2=cx2+bx+a]，∴[ax2+bx+c=cx2+bx+a]，∴[x=-1]或[x=1]，∴[A（-1，a-b+c）]，[B（1，a+b+c）]，設直線[AB]的表達式為[y=kx+m]，則[?k+m=a?b+c，k+m=a+b+c，]∴[k=b，m=a+c，]∴[y=bx+a+c]，將點M（a，c）代入，得[c=ab+a+c]，∴[a（b+1）=0]，∵a是任意實數，∴[b+1=0]，∴[b=-1]。

點評：本題借“衍生函數”考查了二次函數的圖象與性質，求兩個函數圖象的交點坐標，就是解由兩個函數表達式組成的方程組，一個點在函數圖象上，就可以把這個點的坐標代入函數表達式，由“衍生函數”也可以看出，當二次函數的二次項系數為0時，二次函數將變為一次函數。

四、軸對稱形成的“迭代函數”

一個函數被平行于y軸的直線分成兩部分，再作右側部分關于這條直線的軸對稱圖形，由這條直線形成的軸對稱圖形，我們稱之為原函數的“迭代函數”，所以原函數的“迭代函數”是一個分段函數，在對稱軸的左、右兩側表現為不同的函數表達式。

［例4］定義：在平面直角坐標系中，直線[x=m]與某函數圖象交點記為點[P]，在該函數圖象中，點[P]及點[P]右側部分關于直線[x=m]的軸對稱圖形，與原函數圖象上的點[P]及點[P]右側部分共同構成一個新函數的圖象，稱這個新函數為原函數關于直線[x=m]的“迭代函數”。例如，圖4是函數[y=x+1]的圖象，則它關于直線[x=0]的“迭代函數”的圖象如圖5所示，可以得出它的“迭代函數”的解析式為[y=x+1（x≥0），?x+1（x<0）。]（1）函數[y=x+1]關于直線[x=1]的“迭代函數”的解析式為? ? ? 。（2）若函數[y=-x2+4x+3]關于直線[x=m]的“迭代函數”圖象經過（-1，0），則[m=]? ?。（3）已知正方形[ABCD]的頂點分別為[A（a，a）]，[B（a，-a）]，[C（-a，-a）]，[D（-a，a）]，其中[a>0]。①若函數[y=6x]關于直線[x=-2]的“迭代函數”的圖象與正方形[ABCD]有3個公共點，則[a=] ?；②若[a=6]，函數[y=6x]關于直線[x=n]的“迭代函數”的圖象與正方形[ABCD]有4個公共點，則[n]的取值范圍為? ? ? 。

解析：（1）如圖6所示，設點[C]為直線[x=1]與函數[y=x+1]的交點，設點[A（2，3）]是函數[y=x+1]圖象上一點，∴[C（1，2）]，點[A]關于直線[x=1]的對稱點為[B（0，3）]，設[BC]所在直線的解析式為[y=kx+b]，∴[b=3，k+b=2，]解得[k=?1，b=3，]∴“迭代函數”的解析式為[y=x+1（x≥1），?x+3（x<1）。]

（2）根據題意可得，（-1，0）關于直線[x=m]的對稱點（[2m+1]，0）在原拋物線上，∴[-（2m+1）2+4（2m+1）+3=0]，解得[m=1±72]。

（3）①如圖7所示，當正方形的邊BC過點（-2，-3）時，[a=3]，此時正方形ABCD與此“迭代函數”有三個交點；如圖8所示，當[a>3]時，正方形ABCD與此“迭代函數”有四個交點，當a繼續增大，交點超過4個，不符合題意，故答案為：3。

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圖7? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖8

②如圖9所示，當[n=-1]時，此“迭代函數”與正方形ABCD有5個交點，如圖10所示，當[-1

圖9? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖10? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖11

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圖12? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖13

點評：本題利用新定義“迭代函數”考查了一次函數的圖象與性質、二次函數的圖象與性質、反比例函數的圖象與性質，關鍵是根據“迭代函數”的定義畫出相應的圖形，運用數形結合思想進行分類。當問題復雜不能統一解答時，要分情況分別研究，如本題的第（3）小題。

總之，新定義問題是各地中考數學命題的熱點，主要考查學生的閱讀能力、獲取新知的能力、理解新知的能力及運用新知的能力。表面上看是新定義，實際上考查仍是舊知識，只不過借新定義這個平臺，考查學生對所學知識的掌握情況。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

［1］? 崔恒劉，朱明慧.圖顯直觀 思維可視［J］.中學生數學，2023（10）：8-10.

［2］? 周晶.初中數學中“二次函數”的教學策略［J］.中國校外教育，2016（6）：82.

（責任編輯 黃桂堅）