基于FEM/Kriging 近似模型結合進化算法的表貼式高速永磁電機轉子強度優化

李 瑋 汪澤潤 張鳳閣

（沈陽工業大學電氣工程學院 沈陽 110870）

0 引言

近年來，由于高速永磁電機具有體積小、功率密度高、效率高、可與高速負載直接相連、省去傳統的機械增速裝置、減小系統噪聲等優勢[1]，在高速負載及分布式發電系統等領域廣泛使用，具有廣闊的發展前景[2]。大功率的高速永磁電機多采用表貼式轉子結構，永磁體軸向及周向分塊布置，磁極間填充非磁性材料，同時為滿足高速運行的強度要求護套一般選用碳纖維材料[3-4]。由于高速永磁電機的轉子強度要求較高，找到一種可高效優化轉子強度的方法是亟待解決的問題，首選方式是對轉子及永磁體等幾何結構參數進行合理調整，充分提升轉子機械強度，但對于復雜結構的有限元模型（Finite Element Model,FEM）往往需要數十次乃至數百次的迭代計算才能得出優化方案，這樣將極大地影響電機的研發過程。

目前國內外研究者針對表貼式高速永磁電機轉子強度開展了許多研究工作。王繼強等[5]基于厚壁筒理論計算了合金護套不同工況的轉子強度解析表達式，得到過盈量、護套厚度與轉子應力的關系。在此基礎上，陳亮亮等[6]采用解析法推導出各向異性碳纖維護套多工況下永磁轉子應力分布情況，并與有限元方法計算進行驗證，所得結果相一致。永磁體轉子的極間填充材料能保證轉子結構的整體性并起到阻尼作用，因此有學者開展了永磁體轉子的極間填充材料屬性對轉子強度影響的相關研究[7-8]。王天煜等[9-10]研究了多物理場耦合情況下轉子強度，考慮了溫度場梯度變化對轉子應力的影響，并采用方差分析的方法對轉子結構強度進行了敏感性分析。劉威等[11]建立了包括軸間填充物的轉子結構模型，研究了軸間填充物對轉子強度的影響。張曉祥等[12]考慮軟磁復合材料抗拉強度的局限性，研究碳纖維保護套下轉子損耗特性，并進行轉子結構強度分析，為新型混合勵磁電機結構優化奠定了基礎。

國內外研究者針對電機優化問題也開展了相關研究，杜方鑫等[13]針對高速永磁電機設計中轉子強度的結構參數優化問題，建立了關于護套厚度和過盈量的參數化有限元模型。以遺傳算法為主程序，調用參數化有限元程序計算得到的最大應力和接觸力結果作為適應度評價函數，得出了滿足強度要求的最小護套厚度和過盈量。黃振峰等[14]結合正交試驗和Isight 集成優化平臺，建立了質量匹配和振動特性的多目標優化模型，采用響應面函數（Response Surface Methodology,RSM）近似模型和帶精英策略的非支配排序遺傳算法（elitist Non-dominated Sorting Genetic Algorithm,NSGA-Ⅱ）求解，提升了電機軸系設計的可靠性和高速運轉的穩定性。一些學者采用Kriging 近似模型方法優化電機，包括對雙饋感應發電機（Doubly-Fed Induction Generator,DFIG）最大輸出功率進行優化[15]，以及對飛輪儲能電機進行了氣隙磁通密度波形優化[16]等。目前在電機優化中常選取的優化方法包括近似模型法、有限元優化法和智能算法（以遺傳算法為代表）等[17-18]。近似模型法以響應面模型和Kriging 模型為代表，缺點是模型精度取決于樣本數量，需要大量采樣來保證計算精度；有限元法能滿足計算精度要求，但對復雜問題的計算成本大、耗時較長。

基于上述電機優化研究成果，本文以1.12 MW、18 000 r/min 的表貼式高速永磁電機轉子為優化對象，建立其參數化幾何模型，采用有限元法分析方法計算電機轉子的應力場分布。將護套厚度、永磁體厚度、過盈量及工況溫度設置為優化變量，以永磁體、護套的徑向及切向應力最大值盡可能小為優化目標，從而達到提升高速永磁電機轉子強度的目的。結合目前普遍使用的優化方法具體設計兩種典型的技術路線并作對比分析：技術路線一，采用進化算法（Evolutionary Algorithm,EA）與FEM 結合進行優化設計，利用EA 算法采用多種參數組合并調用FEM 進行優化迭代計算；技術路線二，通過拉丁超立方抽樣法選取優化參數，并利用有限元模型求出對應的永磁體應力及護套應力的最大值作為輸出參數，構成樣本空間，對樣本空間進行擬合得到用于替代傳統FEM 求解器的Kriging 近似模型，基于近似模型，結合EA 算法，進行優化設計過程。

1 計算模型

1.1 幾何建模及應力場計算

本文以三維轉子結構進行有限元應力場計算，建立的幾何模型及橫截面如圖1 所示，包括五個部分：轉子鐵心、隔磁塊、分塊永磁體、膠層和護套。轉子鐵心外徑178.2 mm，護套厚度3 mm，永磁體厚度20 mm，膠層厚度0.2 mm，轉子鐵心直徑132 mm。各部分材料特性參數見表1。其中，隔磁件采用不銹鋼材料，護套采用復合碳纖維材料。

圖1 表貼式高速永磁電機轉子結構Fig.1 Rotor structure drawing of surface attached high speed permanent magnet motor

表1 材料特性參數Tab.1 Material characteristic parameter

由于轉子是對稱結構，為簡化有限元計算步驟，利用 1/4 轉子的結構模型建立應力場仿真計算模型，并在不影響計算準確性的前提下簡化轉子的一些細節部分。護套與永磁體和隔磁件之間為過盈配合，過盈量為0.01 mm，永磁體和隔磁件通過膠層粘結在轉子鐵心外表面，設置膠層兩側部件界面為粘接約束，其他相接界面設為摩擦約束。由于護套、永磁體、轉子鐵心及隔磁件的熱膨脹系數不同，各組件所產生的熱應力不同，利用3D 有限元法對表貼式高速永磁電機轉子在溫度150 ℃、轉速18 000 r/min情況下的受力情況進行分析，得到的應力場分布如圖2 所示。

圖2 轉子初始結構應力場分布Fig.2 Distribution diagram of initial structure stress field of rotor

取永磁體徑向及切向最大應力分別為Fpm_r、Fpm_t，護套徑向及切向最大應力分別為Fpj_r、Fpj_t。根據應力場計算結果可以發現永磁體徑向應力和護套切向應力最大值出現在轉子內側，Fpm_r為13.78 MPa，Fpj_t為1 048.9 MPa；永磁體切向應力和護套徑向應力最大值出現在轉子外側，Fpm_t為22.20 MPa，Fpj_r為3.01 MPa。永磁體和護套的徑向應力分布較為均勻，整體呈現由內至外遞減分布；永磁體和護套的切向應力分布較不均勻，由于永磁體內表面與隔磁件接觸處呈現拉應力，且隔磁件熱膨脹系數與永磁體不同，導致局部產生應力集中。

1.2 參數化模型

考慮將護套厚度、永磁體厚度、永磁體和隔磁件與護套間裝配過盈量以及工況溫度設為優化變量，故將永磁體外表面直徑D設為常數172 mm，永磁體與轉子鐵心間膠層厚度g設為常數0.2 mm，轉子鐵心直徑設為參數D1，護套外表面直徑設為參數D2，過盈量設為參數δ，溫度參數設為T，表貼式高速永磁電機轉子結構參數如圖3 所示，結合表貼式高速永磁電機的實際應用情況，設計參數的變化范圍見表2。

圖3 表貼式高速永磁電機轉子結構參數Fig.3 Rotor structure parameter diagram of surface attached high speed permanent magnet motor

表2 優化參數及范圍Tab.2 Optimize parameters and range

2 基于FEM 和EA 算法優化設計

2.1 優化流程

進化算法是模擬自然界生物進化過程的隨機搜索方法，應用隨機搜索策略，經典進化算法由三部分組成：變異、交叉和選擇操作。本文的優化目標即是永磁體徑向、切向最大應力及護套徑向、切向應力的最大值盡可能小，屬于多目標優化問題，適合選用EA 優化算法多次調用參數化的有限元模型進行表貼式高速永磁電機轉子強度的優化設計，基于FEM 模型和EA 算法相結合的優化設計流程如圖4 所示。

圖4 基于FEM 優化設計流程Fig.4 Flow chart of optimization design based on FEM

根據選取的優化參數D1、D2、δ、T，建立關于約束條件及優化目標的數學模型，即

式中，x為優化控制變量；F為多目標優化函數。

2.2 優化結果

利用EA 算法對表貼式高速永磁電機轉子強度的優化迭代過程如圖5 所示，綜合考慮永磁體徑向最大應力Fpm_r、切向最大應力Fpm_t及護套徑向最大應力Fpj_r、切向最大應力Fpj_t，在迭代第206 次時達到最優設計。

圖5 基于FEM 優化迭代過程Fig.5 Iterative process was optimized based on FEM

基于上述優化迭代過程得到的最優設計的應力場分布如圖6 所示，優化參數及優化指標見表3。

圖6 基于FEM 優化后應力分布Fig.6 Based on FEM optimized stress distribution diagram

表3 基于FEM 優化設計結果Tab.3 Based on FEM optimization design results

基于FEM 優化后得到的最優設計結果的應力分布可以發現：永磁體徑向應力及護套徑向應力分布與優化前差別不大，依舊較為均勻，最大值Fpm_r出現在與隔磁件接觸面上，最大值Fpj_r出現在護套外表面；永磁體切向應力分布與優化前相比變得均勻且整體呈現由內表面至外表面遞減的趨勢，最大值Fpm_t出現在與膠層相接的內表面中心；護套切向應力分布與優化前相近，較大應力集中在永磁體與其接觸面上，較小應力集中在隔磁件與其接觸面上，最大值Fpj_t出現在隔磁件與永磁體接觸面對應的護套內表面位置，結果見表3。

根據基于FEM 優化后得到的最優設計結果可以發現：優化后鐵心直徑D1增大，即永磁體厚度變大，護套外表面直徑D2增大至所定范圍的上限186.2 mm，即護套厚度達到最大，永磁體和隔磁件與護套間裝配過盈量δ增大至所定范圍的上限0.2 mm，工況溫度減小至鎖定范圍的下限125 ℃；獲得的優化效果包括永磁體徑向最大應力Fpm_r及切向最大應力Fpm_t、護套徑向最大應力Fpj_r，分別降低了31.941 MPa、134.21 MPa、4.955 6 MPa，其中對永磁體切向最大應力Fpm_t的優化效果最好，護套切向最大應力Fpj_t增大，但也符合工程實際的要求，在強度極限以內。綜上所述，說明利用FEM 結合EA 優化算法的優化方法可以取得優化效果，但由于FEM 優化設計收斂困難且愈發耗時，應探索近似代理模型在電機優化領域的可行性。

3 基于Kriging 模型和EA 算法優化設計

3.1 建立Kriging 近似模型

Kriging 近似模型是一種代表性的數學模型，本質是逼近輸入變量與輸出變量間的關系曲線或響應面[19]，在滿足近似精度要求的前提下可替代復雜的FEM 求解器，進行更多次運算的同時耗時更少，提高全局尋優速率。而采用合理的樣本點生成方法是建立近似模型的基礎，并且近似模型的擬合質量在一定程度上取決于初始樣本數據的質量，所以選用拉丁超立方抽樣（Latin Hypercube Sampling,LHS）方法生成200 個樣本的空間。拉丁超立方抽樣是一種分層隨機抽樣，能夠從變量的分布區間進行高效采樣，達到以盡量少的樣本點充分覆蓋設計空間，有效反應輸入參數的變化以及輸出與輸入參數的關系，同時避免聚集和多余相關性。

近似代理模型的擬合質量一般隨著輸入參數的增加而降低，文中涉及的輸入參數較少，且應用穩態仿真分析，所以適合用于近似。基于有限次數的有限元模型求解器計算完成擬合預測得到 Kriging近似模型，具體基于Kriging 模型進行優化的流程如圖7 所示。

圖7 基于Kriging 模型優化流程Fig.7 Optimized flow chart based on Kriging model

基于預測模型智能優化的關鍵是采用數值擬合方法描述響應參數與輸入參數的函數關系，Kriging模型基于每個樣本點插值，一般將系統的響應值與設計變量之間的關系形式設為[20]

式中，y(x)為響應函數；f(x)為用作近似基本模型的多項式函數；z(x)為表示有關y(x)均值的不確定性的隨機函數。

3.2 Kriging 近似模型擬合精度分析

近似模型擬合精度分析的目的是確保可以有效地表達原始模型中所包含的信息，本文采用預測系數（Coefficient of Prognosis,COP）作為衡量近似模型準確性的判據。預測系數（COP）最初是2008 年Most 和Will 提出的一種評估模型質量的方法，基于交叉驗證算法量化評價近似模型的預測質量，是一個客觀的評價指標。預測系數COP 值越高，近似模型的擬合精度越高，與實際的模型越接近，COP＞0.7 時，可以認為擬合精度較高。COP 的定義為

表4 優化指標近似精度Tab.4 Optimization index approximate accuracy

3.3 優化結果

基于Kriging 模型結合EA 算法得到的最優設計的優化指標近似值與FEM 計算值對比見表5。根據表5 中得到的偏差可以發現，基于FEM 和近似模型對最優設計進行的最大應力仿真結果相接近，偏差均在合理范圍內。優化后的轉子應力場分布如圖8所示，優化參數及優化指標見表6。

表5 最優設計優化指標近似值與FEM 值對比Tab.5 The approximate value of optimal design optimization index was compared with the FEM value

表6 基于近似模型優化參數和優化指標Tab.6 Design results were optimized based on approximate model

根據基于Kriging 模型優化后得到的最優設計結果的應力分布可以發現：永磁體徑向應力及護套徑向應力分布較為均勻，分別呈現由內至外應力逐漸減小和逐漸增大的趨勢，最大值Fpm_r和Fpj_r出現在永磁體內表面和護套外表面；永磁體切向應力呈中心至兩端逐漸減小分布，最大值Fpm_t出現在外表面中心；護套切向應力分布存在兩個應力集中處，即最大值Fpj_t出現在隔磁件與其接觸面中心處，而較小應力集中在永磁體與其接觸面上。根據基于Kriging 模型優化后得到的最優設計結果可以發現：優化后鐵心直徑D1與初始結構相同，為132 mm，即永磁體厚度保持不變，護套外表面直徑D2增大至183.655 mm，即護套厚度增大2.827 5 mm，永磁體和隔磁件與護套間裝配過盈量δ增大至0.129 57 mm，工況溫度如基于FEM 的優化結果，降低至所定范圍的下限，即最低溫度125 ℃，優化指標除Fpj_t外均得到降低，Fpm_r、Fpm_t、Fpj_r分別減小27.749 MPa、66.703 MPa、1.323 3 MPa，但降低值均小于基于FEM 優化取得的最優設計，Fpj_t增加后為1 089.5 MPa，也在碳釬維的強度極限范圍內。

4 優化結果對比分析

經上述兩種技術路線優化后的轉子幾何結構如圖9 所示。基于FEM 優化后的永磁體厚度變薄，由初始的20 mm 變為17.695 mm，護套厚度達到最厚，由初始的 3 mm 變為 7 mm，過盈量δ由初始的0.01 mm 變為0.2 mm，工況溫度降低至125 ℃；基于 Kriging 近似模型優化后的永磁體厚度保持20 mm 不變，護套厚度增大，達到5.827 5 mm，過盈量δ由初始的0.01 mm 提升至0.129 57 mm，工況溫度變化與基于FEM 優化的變化相同，達到設定范圍內最低溫度125 ℃。

圖9 兩種技術路線所得最優設計結構Fig.9 The optimal design structure diagram of the two technical routes is obtained

兩種優化設計路線的樣本點分布如圖10 所示，耗時對比見表7。

表7 基于FEM 與基于近似模型優化對比Tab.7 FEM based and approximate model based optimization comparison

圖10 優化設計樣本點示意圖Fig.10 Optimize design sample point schematic diagram

首先由圖10 及表7 可以發現，基于近似模型優化的樣本點分布更廣泛，達到了近萬次的優化，是基于FEM 優化次數的近50 倍，同時耗時是基于FEM 優化的近1/50，說明了基于近似模型優化的快捷性，而基于Kriging 模型優化稍差于基于FEM 優化取得的效果。通過圖10 樣本點對比可以發現，基于近似模型優化的樣本點的聚集性，工況溫度T和過盈量δ多集中分布于設定范圍的下限，護套外表面直徑D2集中在設定范圍的上限，轉子鐵心直徑D1集中在設定范圍的兩端，實則反映了工況溫度T盡可能低、過盈量δ盡可能小、護套盡可能厚時有利于轉子強度的提升。所以基于近似代理模型的優化方法更側重于優化參數規律的找尋，判斷樣本點的集中分布情況，從而可以得出優化指標與優化參數間的基本關系，適用于初始尋優階段。

5 結論

本文以1.12 MW、18 000 r/min 的表貼式高速永磁電機轉子為優化對象，建立其參數化幾何模型，應用有限元法分析了電機轉子的應力場分布。分別采用基于FEM 和Kriging 近似模型結合EA 優化算法對表貼式永磁電機的轉子強度進行了優化設計，并對兩種優化方法進行了對比分析得到如下結論：

通過建立電機轉子的參數化有限元模型，以不同結構參數及溫度參數下的永磁體及護套徑向、切向最大應力作為EA 算法中的優化目標量，經過多次迭代優化后，能夠得出使得永磁體徑向及切向應力最大值、護套徑向應力最大值均減小的護套厚度、永磁體厚度、溫度和過盈量的最優解。說明基于FEM 結合EA 算法的優化方法具有一定優化效果，但也存在優化嘗試少且優化時間長的問題。

基于FEM 和Kriging 近似模型結合EA 優化算法的兩種技術路線所得最優設計的優化參數：護套厚度、永磁體厚度、溫度以及優化目標量：護套、永磁體應力最大值等計算結果接近，說明EA 算法可以比較準確地得出使轉子強度取得提升的結構參數。相對基于FEM 的優化方法，基于Kriging 近似模型的優化方法不受限于樣本數量，計算時間更短，計算效率更高，優化參數過多時可能存在擬合精度低導致優化設計準確性差等問題，但是基于樣本空間中樣本點的分布情況可以直觀地反映優化參數與優化目標量間的關系，適用于初始尋優階段，在實際工程優化問題中也具有一定的研究意義。

實際工程中的優化問題應結合兩種優化技術路線，初步尋優階段采用基于近似模型優化方法精確優化參數范圍，進而采用基于FEM 優化方法展開優化并取得最優設計結果。