不均勻氣隙工況下軸向磁通永磁電動式磁懸浮電機(jī)的磁場與力特性分析

秦 偉 馬育華 張潔龍 呂 剛

（1.北京交通大學(xué)電氣工程學(xué)院 北京 100044 2.北京市軌道交通電氣工程技術(shù)研究中心 北京 100044 3.中國煤炭科工集團(tuán)太原研究院有限公司 太原 030006）

0 引言

磁懸浮列車具有噪聲低、環(huán)保性能好、線路適應(yīng)性強(qiáng)、乘坐舒適、運(yùn)行安全可靠、建設(shè)及維護(hù)成本低、運(yùn)營效益好等諸多優(yōu)點(diǎn)，非常適合未來交通發(fā)展的新要求[1-4]。中共中央、國務(wù)院分別于2019、2021 年印發(fā)的《交通強(qiáng)國建設(shè)綱要》和《國家綜合立體交通網(wǎng)建設(shè)規(guī)劃》明確提出了加強(qiáng)高速磁懸浮的技術(shù)儲備和推進(jìn)高速磁懸浮布局的要求[5]。磁懸浮技術(shù)成為新時代軌道交通創(chuàng)新發(fā)展的技術(shù)方向[6-7]。電動式磁懸浮（Electrodynamic Suspension,ES）具有氣隙大、穩(wěn)定性強(qiáng)、能耗低、控制簡單等優(yōu)點(diǎn)，同時隨著列車運(yùn)行速度的提高，其運(yùn)行穩(wěn)定性更高。因此電動式磁懸浮是高速磁懸浮系統(tǒng)和低真空管道列車的重要發(fā)展方向[8-9]。

現(xiàn)階段研究的電動式磁懸浮方案主要有低溫超導(dǎo)磁懸浮技術(shù)[8,10]和永磁電動型磁懸浮[11-15]。低溫超導(dǎo)電動懸浮技術(shù)是利用在地面U 型軌道梁側(cè)壁鋪設(shè)短路8 字線圈的零磁通原理實(shí)現(xiàn)懸浮和導(dǎo)向，利用長定子同步直線電機(jī)實(shí)現(xiàn)牽引，具有運(yùn)行平穩(wěn)、導(dǎo)向良好、懸浮氣隙大等優(yōu)勢，在2015 年創(chuàng)造了地面軌道交通工具載人時速603km 的世界紀(jì)錄。但低溫超導(dǎo)電動懸浮技術(shù)是一種牽引和懸浮導(dǎo)向系統(tǒng)分離的磁懸浮，即使用兩套電磁系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)其在三維空間的電磁約束。該分離式電動懸浮方案存在工程造價高、起升速度高以及后期維護(hù)量大等技術(shù)缺陷，阻礙了其在高速磁懸浮系統(tǒng)的應(yīng)用和發(fā)展。

隨著永磁材料技術(shù)的發(fā)展，現(xiàn)有永磁體已能基本滿足軌道交通運(yùn)營要求。永磁電動懸浮技術(shù)軌道采用金屬感應(yīng)板或短路閉合線圈，系統(tǒng)可靠性更高、制造和運(yùn)營成本更低[16]。根據(jù)初級主磁通磁路的不同，可分為直線型、徑向磁通型和軸向磁通型。直線型永磁電動懸浮存在運(yùn)行阻力大、浮阻比小等問題；徑向磁通永磁電動懸浮的磁體有效利用率和有效載荷都較低，且懸浮力與推力無法獨(dú)立解耦控制；軸向磁通永磁電動懸浮由盤式Halbach 永磁轉(zhuǎn)子和非磁性導(dǎo)體板組成，可有效提高永磁體的利用率，提高系統(tǒng)浮重比。日本九州大學(xué)藤井教授等通過實(shí)驗(yàn)和有限元仿真的方法對軸向磁通永磁電動系統(tǒng)進(jìn)行了分析，但對系統(tǒng)特性研究缺少相關(guān)理論分析，同時實(shí)驗(yàn)設(shè)備簡單，因此未得到令人滿意的研究結(jié)果[13-14]。

軸向磁通永磁電動懸浮電機(jī)（Axial Flux Permanent Magnets Maglev Motor,AFPMMM）的基本結(jié)構(gòu)如圖1 所示。軸向磁通Halbach 永磁轉(zhuǎn)子主要參數(shù)隨半徑變化而變化，其磁場分布具有典型的三維特性，最準(zhǔn)確的磁場計(jì)算方法是三維有限元法，但三維有限元分析的建模過程較復(fù)雜，且計(jì)算時間也較長，影響設(shè)計(jì)效率[17-18]。針對三維有限元計(jì)算耗時的問題，許多學(xué)者嘗試采用解析法計(jì)算電動懸浮系統(tǒng)的三維渦流磁場分布。中科院電工所王厚生等提出了直線型電動懸浮導(dǎo)體板有限寬時的三維電磁場與渦流分布模型[19]，但其假設(shè)磁場隨橫向?qū)挾日易兓c事實(shí)不符，計(jì)算誤差較大。美國波特蘭州立大學(xué)Z.J.Bird 教授課題組提出了基于二階矢量磁位的電磁解析方法，對徑向磁通電動懸浮系統(tǒng)進(jìn)行了建模分析[15,20]；之后，西南交通大學(xué)陳殷等也應(yīng)用二階矢量磁位，對板式雙邊電動式磁懸浮進(jìn)行建模分析[21]。但上述基于二階矢量磁位的三維電磁建模只分析了系統(tǒng)在均勻氣隙工況下的特性。目前，關(guān)于電動懸浮系統(tǒng)在不均勻氣隙工況時的電磁特性研究仍存在空白，明確不均勻工況時的電磁特性對電動懸浮系統(tǒng)的工程應(yīng)用具有重要意義。

圖1 軸向磁通永磁電動懸浮電機(jī)的基本結(jié)構(gòu)Fig.1 The model of AFPMMM

本文采用等效面電流法和積分法對軸向磁通永磁轉(zhuǎn)子的磁場進(jìn)行解析，得到軸向磁通Halbach 永磁陣列的三維空間磁場分布函數(shù)。在此基礎(chǔ)上，基于二階矢量磁位，提出可考慮氣隙不均勻工況的軸向磁通永磁電動懸浮電機(jī)通用三維解析模型，推導(dǎo)出電機(jī)系統(tǒng)的懸浮力、轉(zhuǎn)矩和渦流損耗的解析表達(dá)式，并采用三維有限元方法和樣機(jī)對解析計(jì)算進(jìn)行驗(yàn)證。本文提出的計(jì)算方法可考慮電機(jī)初級各種姿態(tài)下的電磁特性，具有一定的普適性，對建立直線運(yùn)行電磁機(jī)構(gòu)不均勻氣隙模型具有一定的參考意義。

1 軸向磁通永磁電動懸浮電機(jī)的結(jié)構(gòu)及工作原理

軸向磁通永磁電動懸浮電機(jī)與盤式感應(yīng)電機(jī)類似，其由軸向磁通Halbach 永磁轉(zhuǎn)子初級和非磁性的次級軌道板構(gòu)成，如圖1 所示。次級只含有非磁性金屬導(dǎo)體板（銅或者鋁），結(jié)構(gòu)簡單可靠且成本較低，適合長行程應(yīng)用下全行程范圍內(nèi)鋪設(shè)盤式永磁Halbach 轉(zhuǎn)子置于次級軌道導(dǎo)體板上方，當(dāng)初級轉(zhuǎn)子相對于次級導(dǎo)體板高速旋轉(zhuǎn)時，會在次級導(dǎo)體板中產(chǎn)生渦流，渦流磁場與轉(zhuǎn)子磁場相互作用產(chǎn)生電磁力。

當(dāng)永磁Halbach 轉(zhuǎn)子與次級導(dǎo)體板間的氣隙均勻時，電機(jī)只會產(chǎn)生懸浮力和電磁轉(zhuǎn)矩，如圖 1b所示。在實(shí)際應(yīng)用中，將軸向磁通永磁電動懸浮電機(jī)成對且傾斜對稱地安裝在磁懸浮車輛的底部，如圖1c 所示。這樣的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)可以保證每個懸浮裝置單元輸出相同懸浮力，確保磁懸浮車輛的靜止穩(wěn)定懸浮，而且每個裝置單元的氣隙磁場旋轉(zhuǎn)方向相反，產(chǎn)生的水平轉(zhuǎn)矩互相抵消，使得磁懸浮車輛不會承受水平方向轉(zhuǎn)矩。初級傾斜的安裝方式使得Halbach轉(zhuǎn)子與次級軌道間的氣隙“不均勻”，從而產(chǎn)生不對稱的氣隙磁場分布，進(jìn)而產(chǎn)生水平方向的推進(jìn)力和導(dǎo)向力，如圖1c 所示。

2 無鐵心直線感應(yīng)磁懸浮電機(jī)解析計(jì)算模型

為簡化分析，對軸向磁通永磁電動懸浮電機(jī)做如下基本假設(shè)：

（1）初級轉(zhuǎn)子圓周旋轉(zhuǎn)和直線運(yùn)行的速度遠(yuǎn)小于光速，將系統(tǒng)近似為一個準(zhǔn)靜態(tài)磁場。

（2）次級軌道板足夠大，即在導(dǎo)體板邊界處初級永磁轉(zhuǎn)子激發(fā)的磁場衰減為0。

（3）永磁體相對磁導(dǎo)率μr=1。

（4）電機(jī)的各物理參數(shù)是均勻、各向同性的。

2.1 軸向磁通永磁電動懸浮電機(jī)的解析等效模型

由于AFPMMM 只有在不均勻氣隙工況下運(yùn)行時才會同時產(chǎn)生懸浮和推進(jìn)力，這時初、次級表面之間不再平行，傳統(tǒng)直線電機(jī)氣隙均勻的解析模型不再適用。針對不均勻氣隙這一特殊運(yùn)行工況，本文建立一種基于磁場等效的解析模型，以二階矢量磁位W為求解變量，通過分離變量法求解各變量表達(dá)式，計(jì)算電機(jī)的三維電磁特性。

AFPMMM 的物理和解析模型如圖2 所示。圖2a 為電機(jī)不均勻氣隙工況時的物理模型。基于磁場等效原理，用位于圖2a 初級下沿即虛線處的虛擬磁源等效代替初級Halbch 陣列，在虛線所處平面下方，虛擬磁源和初級Halbch 陣列產(chǎn)生的磁場分布完全相同。由此建立了如圖2b 所示的解析模型，磁場空間可等效劃分為氣隙區(qū)域Ⅰ、導(dǎo)體板區(qū)域Ⅱ和氣隙區(qū)域Ⅲ三個區(qū)域。氣隙區(qū)域Ⅰ的二階矢量磁位W可分為初級Halbch 陣列產(chǎn)生的源磁場和導(dǎo)體板渦流產(chǎn)生的反射磁場。

圖2 AFPMMM 的物理和解析模型Fig.2 Physical and analytical model of AFPMMM

2.2 各子域二階矢量磁位方程及通解

在直角坐標(biāo)系下，以二階矢量磁位為變量的子域控制方程如下。

氣隙區(qū)域Ⅰ：

氣隙區(qū)域Ⅲ：

導(dǎo)體板區(qū)域Ⅱ：

式中，和分別為氣隙區(qū)域Ⅱ和Ⅲ的二階矢量磁位；μ0為真空磁導(dǎo)率；ωe為角速度；σ為次級導(dǎo)體板電導(dǎo)率。假設(shè)電機(jī)只沿y軸方向運(yùn)動，vx為沿x軸方向的運(yùn)行速度。

由分離變量法可得式（1）～式（4）的通解方程可表示為

式中，m、n為諧波次數(shù)；l和w分別為次級導(dǎo)體板沿x和y方向的長度；vy為y軸方向的運(yùn)行速度。

2.3 無邊界條件

式（5）～式（8）中有5 個未知數(shù)，根據(jù)各子域邊界之間的關(guān)系，建立各邊界條件系數(shù)方程為

式中，μr為次級導(dǎo)體板的相對磁導(dǎo)率；為電機(jī)初級Halbach 陣列在次級導(dǎo)體板表面產(chǎn)生的法向磁場。只要得到上述磁場分布函數(shù)，綜合式（9）～式（13）5 個方程，即可求得SOVP（second-order vector potential）的唯一解。

3 初級Halbach 陣列的三維磁場解析計(jì)算

軸向磁通Halbach 陣列其磁場分布具有典型的三維特性。為了求解軸向磁通Halbach 轉(zhuǎn)子的空間磁場，本文以安培分子電流假說為基礎(chǔ)，用等效面電流對Halbach 陣列進(jìn)行等效替代，利用畢奧-薩伐爾定理進(jìn)行數(shù)值積分，計(jì)算轉(zhuǎn)子外部空間的三維磁場分布。軸向磁通Halbach 永磁陣列是由軸向充磁、周向充磁以及混合充磁的永磁體拼接而成。分別求解沿周向和軸向充磁的永磁體產(chǎn)生的磁場，然后通過疊加定理，即可求得盤式Halbach 永磁體在空間各點(diǎn)的三維磁場分布。

永磁轉(zhuǎn)子三維氣隙磁通密度分布的解析計(jì)算模型如圖3 所示，將三維直角坐標(biāo)固定在次級導(dǎo)體板上表面，以Halbach 轉(zhuǎn)子中心線與次級上表面的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。

圖3 均勻氣隙工況下永磁轉(zhuǎn)子磁場的物理模型Fig.3 Physical model for magnetic field of the PM rotor with uniform air-gap

3.1 軸向充磁永磁體的空間磁場

當(dāng)永磁體磁化方向?yàn)檩S向時，其空間磁場可等效為面電流1、2、3、4 所產(chǎn)生的磁場，如圖4 所示，圖中虛線箭頭表示面電流密度的方向，在圓柱坐標(biāo)系中，等效面1 和3 的電流只有圓周方向，而2 和4 的電流沿半徑方向。通過對等效電流片在軸向、周向和徑向積分，可得空間任一點(diǎn)的矢量磁位。

圖4 軸向充磁的永磁體及其等效模型Fig.4 Equivalent current sheet model for a axial magnet piece

在均勻氣隙時，由等效電流片1、3 產(chǎn)生的矢量磁位分別為

式中，Jθ為沿圓周方向的等效面電流密度，Jθ=Br/μ0，Br為剩磁強(qiáng)度；θ1和θ2分別為永磁體塊在圓柱坐標(biāo)系下所對應(yīng)的角度；z1和z2分別為永磁體塊的下層邊和上層邊所對應(yīng)的坐標(biāo)；ri為等效電流片所對應(yīng)的半徑。

在均勻氣隙時，由電流片2、4 產(chǎn)生的矢量磁位分別為

式中，Jr為等效面電流密度，Jr=Br/μ0；θi為永磁體塊徑向邊所對應(yīng)的角度。

3.2 圓周向充磁永磁體的空間磁場

圖5 所示為沿圓周方向充磁的永磁體及其等效電流模型。沿圓周方向充磁的永磁體可由沿軸向的面電流片1、3 和沿徑向的面電流片2、4 等效代替，其空間磁場可通過與3.1 節(jié)中相同步驟獲得。

圖5 周向充磁的永磁體及其等效模型Fig.5 Equivalent current sheet model for shunt piece

在均勻氣隙時，由電流片1、3 產(chǎn)生的矢量磁位為

式中，rk等效電流片所對應(yīng)的半徑；Jz為沿軸向的等效面電流密度。

在均勻氣隙時，由電流片2、4 產(chǎn)生的矢量磁位分別為

3.3 不對稱氣隙工況下軸向磁通Halbach 永磁陣列的空間磁場

不均勻氣隙工況下永磁轉(zhuǎn)子磁場的物理模型如圖6 所示。圖6 所示的不均勻氣隙工況，可認(rèn)為是由圖3 的初級分別繞x、y、z軸任意轉(zhuǎn)動θx、θy、θz角度形成。根據(jù)三維坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)和羅德里格斯旋轉(zhuǎn)公式，將式（14）～式（20）中的電流密度和電機(jī)初級的三維坐標(biāo)分別用各自乘以旋轉(zhuǎn)因子的量代替，即可得到不均勻氣隙工況下電機(jī)初級空間磁場矢量磁位的表達(dá)式為

圖6 不均勻氣隙工況下永磁轉(zhuǎn)子磁場的物理模型Fig.6 Physical model for magnetic field of the PM rotor with non-uniform air gap

不均勻氣隙時，軸向充磁電流片2、4 產(chǎn)生的矢量磁位分別為

不均勻氣隙時，圓周方向充磁電流片1、3 產(chǎn)生的矢量磁位為

不均勻氣隙時，圓周方向充磁電流片2、4 產(chǎn)生的矢量磁位分別為

式（21）～式（27）是在不均勻氣隙工況下，分別沿軸向和圓周方向充磁的永磁體所激發(fā)磁場的矢量磁位表達(dá)式，式中電流密度和三維坐標(biāo)的具體推導(dǎo)和求解過程見附錄。

p對極的軸向磁通永磁Halbach 陣列是由軸向充磁、周向充磁以及混合充磁的永磁體拼接而成。通過疊加定理，將沿軸向和圓周方向充磁的永磁體產(chǎn)生的磁場相加，即可求得軸向磁通Halbach 永磁體在不均勻氣隙工況下的空間各點(diǎn)三維磁場分布。

由B(x,y,z)=?×A可得

通過將式（21）～式（27）代入式（28）中求解，即可得到軸向磁通Halbach 永磁陣列在空間某點(diǎn)產(chǎn)生的三維磁場分布。在上述公式計(jì)算積分的過程中，其中一重積分可以通過Mathematica 得到，二重積分可通過辛普森積分法求和得到。

3.4 不均勻氣隙工況下軸向磁通永磁Halbach 陣列初級空間磁場的傅里葉重構(gòu)

通過積分法得到初級Halbach 陣列的三維磁場空間分布是離散的數(shù)值解。為進(jìn)一步解析AFPMMM的電磁特性，由方程式（13）可知，需要將初級永磁陣列在次級導(dǎo)體板表面產(chǎn)生的法向磁場Bz通過傅里葉極數(shù)表示為

式中，B z(x,y,0)為初級永磁陣列基于積分法計(jì)算的位于導(dǎo)體板上表面的xy平面上的法向磁感應(yīng)強(qiáng)度；Smn為二維離散傅里葉變換系數(shù)。

通過二維離散傅里葉變換可得

通過上述傅里葉變換使得三維磁場函數(shù)具有形式上統(tǒng)一的解析表達(dá)式。

4 電磁特性計(jì)算

對比方程式（13）和式（32）得諧波待定系數(shù)為

將式（9）～式（12）和式（34）聯(lián)立方程組，可求解出式（5）～式（8）中的待定系數(shù)，從而得到圖2 中各子域中的二階矢量磁位。由二階矢量磁位的定義可得

依據(jù)麥克斯韋張量定理求解次級導(dǎo)體板表面的電磁力，可表示為

式中，F(xiàn)x為推進(jìn)力；Fy為側(cè)向力；Fz為懸浮力。

軸向磁通永磁電動式磁懸浮電機(jī)的儲能表達(dá)式為

式中，φⅠ,r為渦流反射磁場的標(biāo)量磁位。

通過對系統(tǒng)儲能求時間的偏導(dǎo)，可以得到無鐵心直線感應(yīng)懸浮電機(jī)的電磁功率為

電磁轉(zhuǎn)矩為

浮重比是磁懸浮系統(tǒng)重要的性能指標(biāo)，可表示為

式中，F(xiàn)z為系統(tǒng)的平均懸浮力；W為永磁轉(zhuǎn)子的質(zhì)量。

5 結(jié)果分析與驗(yàn)證

5.1 三維有限元驗(yàn)證

為了驗(yàn)證解析模型的正確性，在有限元軟件中建立軸向磁通永磁電動式磁懸浮電機(jī)在不均勻氣隙工況下的三維有限元計(jì)算模型，如圖7 所示，對電機(jī)氣隙磁場、懸浮力、轉(zhuǎn)矩和損耗等電機(jī)的性能參數(shù)進(jìn)行計(jì)算。本文以一臺8 極軸向磁通永磁電動懸浮電機(jī)為例，建模計(jì)算參數(shù)見表1。

表1 計(jì)算參數(shù)Tab.1 Parameters of calculation

圖7 三維有限元計(jì)算模型Fig.7 3D finite element analysis model

圖8 為初級轉(zhuǎn)子繞x軸旋轉(zhuǎn)10°后，距離轉(zhuǎn)子下表面中心點(diǎn)20 mm 處，xy平面上的磁通密度的法向分量Bz的三維分布。由圖中可以看出，由于初級相對xy平面的氣隙不均勻，從而在xy平面上的磁通密度分布不對稱，這種磁通密度的不對稱分布保證了電機(jī)水平運(yùn)動所需的推進(jìn)力。由圖8 中的曲線對比可知，采用等效面電流和積分法的解析模型、有限元法及基于2D FFT 的傅里葉重構(gòu)結(jié)果三者吻合度較高，由此表明解析計(jì)算模型是準(zhǔn)確的、傅里葉級數(shù)重構(gòu)的方法是有效的。

圖8 距離轉(zhuǎn)子下表面原點(diǎn)20 mm 處的BzFig.8 The z-component of the flux density with g=20 mm

基于表1 參數(shù)，計(jì)算了8 極AFPMM 電機(jī)在初級轉(zhuǎn)子繞x旋轉(zhuǎn)10°、初級轉(zhuǎn)子中心點(diǎn)距離導(dǎo)體板上表面20 mm 時電磁特性。

圖9～圖12 分別為解析計(jì)算和三維有限元計(jì)算的懸浮力、推進(jìn)力、導(dǎo)向力和渦流損耗隨初級轉(zhuǎn)速變化曲線。從圖9 中可以看出，懸浮力隨著轉(zhuǎn)速的增加而增加，在轉(zhuǎn)速為3 000 r/min 左右時，變化趨勢趨于平緩，導(dǎo)向力的變化趨勢與懸浮力一致。從圖10 可以看出，在轉(zhuǎn)速為0～1 000 r/min 之間時，隨著速度的增加，導(dǎo)體板中感應(yīng)出的渦流逐漸增大，此時推力隨著轉(zhuǎn)速的增加逐漸變大，但當(dāng)轉(zhuǎn)速繼續(xù)增大即大于1 000 r/min 后，導(dǎo)體板中的渦流持續(xù)增加，此時能量以焦耳熱的形式被次級導(dǎo)體板消耗，即渦流損耗隨著轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的增加逐漸增加，如圖12所示，從而使得對外輸出功率降低，這時推進(jìn)力隨著轉(zhuǎn)速的增加而減小。同時，從圖9～圖12 中可以看出，解析法與有限元法計(jì)算結(jié)果吻合度較高。圖13 為解析計(jì)算和有限計(jì)算結(jié)果的相對誤差，從圖中可以看出，最大誤差為5.56 %。計(jì)算時間對比見表2。從表2 中可以看出，解析模型的計(jì)算時間較有限元法（計(jì)算機(jī)主頻：2.8 GHz，內(nèi)存64 G）大幅減少，證明了本文提出的三維解析模型的正確性和高效性。

圖9 解析計(jì)算和有限元計(jì)算的懸浮力對比Fig.9 Comparison of lift force between analytical model and finite element analysis

圖10 解析計(jì)算和有限元計(jì)算的推進(jìn)力對比Fig.10 Comparison of thrust force between analytical model and finite element analysis

圖11 解析計(jì)算和有限元計(jì)算的導(dǎo)向力對比Fig.11 Comparison of lateral force between analytical model and finite element analysis

圖13 解析計(jì)算和有限元計(jì)算的相對誤差Fig.13 Percentage error between analytical model and finite element analysis

表2 計(jì)算時間對比Tab.2 Calculation time comparison

圖14 所示為導(dǎo)體板為10 mm、氣隙為10 mm均勻氣隙時永磁轉(zhuǎn)子極對數(shù)對浮重比隨速度變化的影響，圖14 的解析模型計(jì)算結(jié)果表明，在永磁轉(zhuǎn)子為3 對極時，系統(tǒng)在各速度段都有較大的浮重比，因此系統(tǒng)最優(yōu)的極對數(shù)應(yīng)為3。圖15 所示為永磁體為3 對極、導(dǎo)體板為10 mm、氣隙為10 mm 均勻氣隙時永磁體厚度對浮重比隨速度變化的影響，由圖中可以看出，浮重比隨著永磁體厚度先增加后減小，這是由于永磁體厚度在10～20 mm 時，氣隙磁通密度隨著永磁體厚度的增加而增加，但隨著永磁體厚度的進(jìn)一步增加，永磁體質(zhì)量明顯增加，而氣隙磁通由于漏磁的影響并未明顯加強(qiáng)，從而使得系統(tǒng)浮重比降低。

圖14 極對數(shù)對浮重比隨速度變化的影響Fig.14 Relationship between the lift-to-weight ratio and the pole pairs at 10 mm air gap

圖15 永磁體厚度對浮重比隨速度變化的影響Fig.15 Relationship between the lift-to-weight ratio and the PM thickness at 10 mm air gap

5.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證解析法和有限元法計(jì)算的正確性，加工制作了軸向磁通永磁電動式磁懸浮電機(jī)樣機(jī)，實(shí)驗(yàn)平臺如圖16 所示，樣機(jī)參數(shù)見表3。驅(qū)動電機(jī)選用Dayton 7.5 kW 4 極感應(yīng)電機(jī)，通過Futek 605 扭矩傳感器測量轉(zhuǎn)矩。次級導(dǎo)體板選用成本較低的6061 電工鋁，導(dǎo)體板通過螺栓固定在工作臺上。通過改變螺栓位置使永磁轉(zhuǎn)子與導(dǎo)體板之間形成任意夾角，產(chǎn)生不均勻氣隙工況。該實(shí)驗(yàn)平臺可以對氣隙磁場和轉(zhuǎn)矩進(jìn)行測量，如果實(shí)驗(yàn)測量的氣隙磁場、電磁轉(zhuǎn)矩和理論計(jì)算一致，則可以合理認(rèn)為理論計(jì)算是準(zhǔn)確有效的，進(jìn)而推斷其他電磁參數(shù)如電磁力、渦流損耗是準(zhǔn)確的。

圖16 軸向磁通永磁電動懸浮電機(jī)實(shí)驗(yàn)平臺Fig.16 The prototype of AFPMMM

表3 樣機(jī)參數(shù)Tab.3 Parameters of prototype

圖17 和圖18 給出了解析計(jì)算和實(shí)驗(yàn)測量的結(jié)果曲線。通過三維高斯計(jì)和解析計(jì)算得到了在氣隙為10 mm、半徑為50 mm 圓周上的氣隙磁場法向分量如圖17 所示。從圖中可以看出，解析計(jì)算的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測量的數(shù)據(jù)高度吻合，這就說明本文所提出的解析計(jì)算方法可以準(zhǔn)確地計(jì)算初級永磁轉(zhuǎn)子產(chǎn)生的氣隙磁場，這就為系統(tǒng)特性計(jì)算和優(yōu)化設(shè)計(jì)奠定了基礎(chǔ)。圖18 分別給出了初級繞x軸旋轉(zhuǎn)5°、10°和15°的解析計(jì)算、有限元仿真和實(shí)驗(yàn)測量的轉(zhuǎn)矩結(jié)果。從圖中可以看出，隨著轉(zhuǎn)速的增加，轉(zhuǎn)矩逐漸增加并最終趨于穩(wěn)定。這是由于隨著速度的增加，導(dǎo)體板中感應(yīng)出的渦流逐漸增大，進(jìn)而轉(zhuǎn)矩逐漸變大，但當(dāng)轉(zhuǎn)速繼續(xù)增大時，導(dǎo)體板中的渦流持續(xù)增加，能量被次級導(dǎo)體板以熱的形式消耗從而使得轉(zhuǎn)矩保持穩(wěn)定。同時從圖18 中可以看出，隨著初、次級間的扭轉(zhuǎn)角度的增加，轉(zhuǎn)矩逐漸增加。這是由于隨著扭轉(zhuǎn)角度的增加，初次級間的氣隙不均勻程度加劇，氣隙減小的一側(cè)轉(zhuǎn)矩急劇增加，而氣隙變大的一側(cè)轉(zhuǎn)矩減小較慢，從而使得系統(tǒng)合成轉(zhuǎn)矩變大。再者，對比解析計(jì)算和實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，轉(zhuǎn)速較低時，解析計(jì)算和實(shí)驗(yàn)結(jié)果存在較大的誤差，如圖中點(diǎn)畫線部分所示，這是由于被測轉(zhuǎn)矩較小時扭矩儀自身的測量誤差造成的，但隨著轉(zhuǎn)速的增加，解析計(jì)算、有限元仿真和實(shí)驗(yàn)測量的結(jié)果趨于一致，證明本文提出的解析模型是正確且有效的。

圖17 解析計(jì)算和實(shí)驗(yàn)測量數(shù)據(jù)的對比Fig.17 Comparison of experimental and calculated results

圖18 解析計(jì)算、有限元仿真和實(shí)驗(yàn)測量數(shù)據(jù)的對比Fig.18 Comparison of the torque between FEA,analytic and experiment results

6 結(jié)論

本文以軸向磁通永磁電動懸浮電機(jī)為研究對象，建立了該電機(jī)的三維電磁解析模型。基于構(gòu)建的三維解析模型，通過有限元仿真和實(shí)驗(yàn)對系統(tǒng)的電磁參數(shù)進(jìn)行了計(jì)算和驗(yàn)證，主要結(jié)論如下：

1）建立了軸向磁通Halbach 陣列不均勻氣隙磁場解析模型。本文基于等效面電流和積分法對軸向磁通永磁轉(zhuǎn)子的磁場進(jìn)行了解析。該解析模型可計(jì)算不同磁極結(jié)構(gòu)、不同永磁體形狀、各種氣隙工況下的三維空間磁場分布，具有良好的適用性。通過對空載氣隙磁通密度計(jì)算后發(fā)現(xiàn)，基于該模型計(jì)算出的三維氣隙磁通密度和有限元法計(jì)算結(jié)果高度吻合，驗(yàn)證了解析計(jì)算方法的正確性。

2）基于二階矢量磁位，建立了軸向磁通永磁電動懸浮電機(jī)的三維電磁特性解析模型。該解析模型可準(zhǔn)確計(jì)算軸向磁通永磁電動懸浮電機(jī)的電磁參數(shù)，且可以全面表征永磁電動磁懸浮在不均勻氣隙工況下的電磁特性，為軸向磁通永磁電動懸浮電機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。

附 錄

三維坐標(biāo)系中，可以用一個旋轉(zhuǎn)矩陣來旋轉(zhuǎn)一個點(diǎn)，且繞任意軸旋轉(zhuǎn)可以分解成繞3 個坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的疊加。假設(shè)旋轉(zhuǎn)前的坐標(biāo)為（x,y,z），分別繞x,y,z轉(zhuǎn)動θx,θy,θz則旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)為（x＇,y＇,z＇），有

式（21）、式（22）中的電流密度和三維坐標(biāo)可分別表示為

式（23）、式（24）中的電流密度和三維坐標(biāo)可分別表示為

式（25）中的電流密度和三維坐標(biāo)可表示為

式（26）、式（27）中的電流密度和三維坐標(biāo)分別表示為