一類(lèi)雙根式函數(shù)最值問(wèn)題的探究*

莊 豐 (浙江省玉環(huán)中學(xué) 317600)

1 問(wèn)題呈現(xiàn)

此題以平面向量知識(shí)為載體，考查向量模的最值.通過(guò)問(wèn)題轉(zhuǎn)化可以得到雙根式函數(shù)，而求解該函數(shù)的最值具有一定難度，需要深度的思考.

2 解法探究

策略1 三角換元

評(píng)注運(yùn)用三角換元能將根式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題，再通過(guò)三角恒等變換解決問(wèn)題，解題過(guò)程中應(yīng)注意引入角度的范圍.

策略2 構(gòu)造圖象

圖1

圖2

圖3

評(píng)注根據(jù)根式結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造圖象是重要的解題策略.解法2換元后構(gòu)造橢圓，利用線性規(guī)劃求解；解法3換元后構(gòu)造圓，聯(lián)想到向量數(shù)量積解題，方法直觀、運(yùn)算簡(jiǎn)便；解法4利用橢圓的定義求解最值，非常巧妙.

策略3 函數(shù)思想

評(píng)注運(yùn)用函數(shù)思想解決根式問(wèn)題，對(duì)于代數(shù)恒等變形及運(yùn)算要求較高.解法5運(yùn)用分子有理化的技巧，解法6應(yīng)熟練運(yùn)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式.

策略4 妙用不等式

評(píng)注解法7運(yùn)用基本不等式，將根式化為有理式，解題中運(yùn)用了待定系數(shù)法，有一定的技巧.解法8先猜出答案，再轉(zhuǎn)化為證明不等式恒成立問(wèn)題，降低了問(wèn)題的難度.

3 問(wèn)題推廣

我們將此類(lèi)雙根式函數(shù)問(wèn)題一般化：

下面給出解答過(guò)程：

圖4

通過(guò)解題發(fā)現(xiàn)，三角換元、構(gòu)造圖象、函數(shù)思想、妙用不等式是解決雙根式函數(shù)最值問(wèn)題的常用策略.解題中應(yīng)善于聯(lián)想激活知識(shí)，提升運(yùn)算水平，思考問(wèn)題的本質(zhì)，將問(wèn)題推廣到更一般的形式，以充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)中不斷探究的理性精神.有興趣的讀者可以進(jìn)一步思考，當(dāng)雙根式內(nèi)是一元二次函數(shù)時(shí)問(wèn)題該如何求解.