核心素養視角下的高中數學概念教學
——以“函數的零點與方程的根”課堂實錄及反思為例

徐榮新 (江蘇省無錫市洛社高級中學 214187)

1 問題提出

數學學科核心素養是數學課程目標的集中體現，是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現，是在數學學習和應用的過程中逐步形成和發展的[1]．

筆者基于APOS理論對高中數學概念課進行了專題研究，明晰了概念學習要經過“活動”(概念情境引入)、“過程”(概念定義形成)、“對象”(概念本質理解)和“圖式”(概念系統聯結)等四個階段，同時在研究的過程中深刻體會到概念課對于學生數學核心素養提升的價值，也嘗試在“理解數學、理解教學、理解學生”[2]的基礎上，從核心素養的視角來設計高中數學概念課．

本文以“函數的零點與方程的根”一課的設計和教學為例，借此談談概念課教學的感悟與思考．

2 教學過程

2.1 數學現實，創設情境

問題1方程x2-x-3=0是否有解？如果有，如何求解？

生：考慮方程的判別式Δ=(-1)2-4×(-3)=13>0，故方程有解，可以用配方或者求根公式求解．

師：很好，也就是說對于我們熟悉的方程，可以利用代數法求出方程的根．在人類漫長的歷史中，很多數學家和數學愛好者嘗試解決高次方程，并通過不懈的努力給出了三次方程和四次方程的公式求解法．1824年，22歲的挪威數學家阿貝爾嚴格地證明了五次及五次以上的代數方程通用的求根公式不存在．當然，對于其他復雜形式的方程，譬如lnx+2x-6=0，也無法用公式來求解．那么，這樣的方程有沒有解？解大約是多少？我們今天嘗試來研究這樣的問題．

設計意圖此環節為“活動”階段．從學生已有的認知基礎出發，明確方程求解的基本方法——代數(公式)法，同時通過數學歷史和數學問題的闡述，讓學生認識到代數(公式)法的局限性，激發學生的求知欲，也為引入新的方法和手段埋下伏筆．

2.2 歸納概括，形成概念

問題2回顧初中和高中一元一次不等式和一元二次不等式的求解，我們采用了什么方法？

生：借助函數的圖象，找到位于x軸上方或下方部分所對應的x取值．

師：也就是我們建立了函數與不等式之間的關系，用函數的觀點認識不等式，那么我們能否用函數的觀點來認識方程呢？先請大家完成下面這個表格．

函數y=ax2+bx+c(a>0)的圖象方程ax2+bx+c=0(a>0)的根函數y=ax2+bx+c的零點

師(追問)：你對一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有什么新的認識？

生：方程ax2+bx+c=0的根就是函數y=ax2+bx+c的零點，也就是函數y=ax2+bx+c圖象與x軸交點的橫坐標．

師(追問)：這樣的認識讓我們對方程的根有了全面的了解，對于一般的函數y=f(x)，怎么理解？

生：方程f(x)=0的根就是函數y=f(x)的零點，也就是函數y=f(x)圖象與x軸交點的橫坐標．

設計意圖此環節為“過程”階段．在不等式部分學生已了解二次函數與方程、不等式的聯系，同時對于零點一筆帶過，而對于利用函數來研究不等式，雖然學生已有這樣的經歷，但以形助數的意識需要在不同的階段進行強化、滲透，循序漸進．因此基于學生的認知，以熟悉的二次函數為例，在表格的完成過程中體會函數的零點與方程的根、圖象交點的關系，進而抽象概括給出一般函數零點定義，再次體會三者之間的關聯，體會用函數觀點來引領代數知識的學習路徑，為后續一般方程根的探究求解提供了思路．

2.3 概念辨析，理解本質

例1判斷函數f(x)=x2-x-3在區間(2,3)上是否存在零點．

師(追問1)：還有其他的研究視角嗎？

生：可以從函數圖象的角度看，由于f(2)= -1<0，f(3)=3>0，因此函數f(x)的圖象在區間(2,3)上與x軸有交點，即函數f(x)=x2-x-3在區間(2,3)上存在零點．

師(追問2)：很好！對于函數零點問題，我們可以轉化為方程問題進行代數求解，也可以從圖象上找到區間內是否有零點的依據，那對于一般的函數y=f(x)，如何判斷其在區間(a,b)內是否存在零點呢？

生：如果函數y=f(x)在區間(a,b)上滿足f(a),f(b)異號，即f(a)f(b)<0，那么函數y=f(x)在區間(a,b)上有零點．

師(追問3)：會不會出現區間兩個端點分別在x軸的上方和下方，但圖象卻沒有穿過x軸？

學生討論完善：如果函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是一條連續不斷的曲線，且f(a)f(b)<0，那么函數y=f(x)在區間(a,b)內至少存在一個零點c．這個c也是方程f(x)=0的解．

師(追問4)：如果函數y=f(x)在區間(a,b)上有零點，是否一定有f(a)f(b)<0？

生：不一定．以函數f(x)=x2-x-3為例，在(-2,3)上有零點，但f(-2)>0，f(3)>0．

設計意圖此環節為“對象”階段．在理解零點概念的基礎上給出例1，方法1體現了對函數y=f(x)零點的代數理解，即方程f(x)=0的解，引導學生體會轉化的思想．追問1則在學生對函數零點幾何屬性初體驗的基礎上，引導學生從圖象的角度嘗試尋找是否有解的依據，并通過追問2和追問3，總結找尋一般函數y=f(x)區間內存在零點的方法，即函數零點存在定理，并加以完善．同時借助追問4明晰了定理的充分不必要性．在整個過程中從代數(方程的根)、幾何(函數圖象與x軸交點的橫坐標)兩個角度加深對函數零點的理解，實現了函數的零點與方程的解的貫通，也就為方程根的求解提供了新的路徑．

2.4 概念應用，建立聯系

例2方程lnx+2x-6=0是否有解？

生：此方程無法用代數法求解，因此考慮利用函數f(x)=lnx+2x-6，定義域為(0,+∞)，而f(1)=-4<0，f(3)=ln 3>0，而且函數圖象是連續的曲線，所以函數f(x)在(1,3)上有零點，即方程lnx+2x-6=0有解．

師(追問1)：還有其他解嗎？

生：函數f(x)在(0,+∞)上是單調遞增函數，因此只有一個解．

師(追問2)：很好！結合我們學過的初等函數，對于方程lnx+2x-6=0，你們能否發現不同的研究視角？

學生討論，匯報：可以變形為lnx=6-2x，然后分別設g(x)=lnx，h(x)=6-2x，借助這兩個函數的圖象，發現有交點，且唯一，即原方程只有一個解．

師：方法1直接找尋函數載體f(x)=lnx+2x-6，借助f(1),f(3)的正負和函數零點存在定理，確定有解且唯一，背后是f(x)的圖象與x軸的交點；而方法2則通過方程的變形，轉化為兩個熟悉的初等函數g(x)=lnx，h(x)=6-2x，進而研究函數g(x),h(x)的圖象交點，殊途同歸，都體現了用函數來求解方程的根，凸顯了函數的統領作用．

師(追問3)：大家課后思考，方程lnx+2x-6=0的根離1近，還是離3近？

設計意圖此環節為“圖式”階段．例2回到課前情境中的問題，讓學生體會代數法受限的情況下，轉變思維角度，利用函數思想構造函數， 依據函數零點存在定理進行求解，并通過追問1讓學生關注函數性質對求解函數的零點、方程 根的作用，為后續復雜函數零點與方程的根作鋪墊；追問2則啟發學生對方程進行變形，轉化為兩 個熟悉函數的圖象進行研究．在此過程中，引導學生進行函數與方程的轉化，體會函數與方程的思想．

2.5 師生小結，提升認識

一個概念和一個定理：函數的零點和函數零點存在定理．

兩種角度和兩種思想：函數零點，即方程的根，函數圖象與x軸交點的橫坐標；函數與方程的思想，數形結合的思想．

設計意圖組織學生從知識和方法上進行自我和互幫互助式小結，是學生提升對新知全面認識的又一跨越，可以有效地幫助學生認識知識生成的來龍去脈和其中蘊含的思想方法，也能加深對知識和方法的理解．

3 教學反思

3.1 理解數學，找尋核心素養固著的載體

數學學科的終極培養目標是“會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界”，而課程標準則把“三會”具體化為六個核心素養，即“數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析”．而要能夠把核心素養落到實處，必須通過有機的載體加以滲透，因此，理解教材的編寫意圖顯得尤為重要，只有做到了這一點，才能進一步思考“如何用教材教”．

作為概念課，則是核心素養固著的有機載體，在本節課函數零點的概念生成、函數零點存在 定理的歸納和完善過程中，促進學生思維的發展，能有效提升學生的數學抽象、直觀想象、邏輯推理等能力．只有意識到這些知識和方法承載的育人價值，才能讓活動組織和問題凝練得以進一步實施．

3.2 理解教學，組織核心素養落實的活動

基于對教材核心素養角度的理解，教師需要進一步梳理以發展學生數學素養為導向的教學意識，組織學生能夠有效參與的教學活動，發揮學生的主體性，借助獨立思考、自主學習、合作交流等學習方式，讓學生實現思維重點、難點的突破，感悟知識中蘊含的數學基本思想和方法，實現教與學的和諧統一，在這個統一體中努力實踐數學思想的感悟與內化[3]．

本節課的函數零點概念并不是學生學習的重點和難點，函數零點概念所蘊含的數形結合、轉化與化歸、函數與方程等思想，以及函數的零點存在定理的生成與完善，才是學生思維和經驗進一步提升和突破的難點．因此教學過程中教師以學生已有的知識和能力為基礎，充分發揮學生的主體性，組織構建知識的有機整體，實現融會貫通，最后的小結則讓學生對本節課的認知達到一個高度，使收獲的知識更加全面．

3.3 理解學生，凝練核心素養提升的問題

發展學生核心素養，最終的手段是問題的設計和解決，教師要結合對于核心素養的理解設計合理的情境和問題，讓學生有解決問題的欲望和興趣；能讓學生選擇合理的方法解決問題，在此過程中實現方法的理解和掌握；能在解決問題后進行反思總結，發展理性思維，提升思維品質．

本節課在學生函數零點概念基本理解的基礎上設計了例1，在解決的過程中強化了對函數零點的雙重理解，即代數和圖形，建立了函數與方程之間的聯系，同時在利用圖形方法解決過程中，通過不斷的追問，生成和完善了函數零點存在定理；而例2的設計則強化了利用函數解決方程根問題的手段，并通過追問2引導學生對方程進行變形轉化，找到問題解決的另一途徑，引導學生理解其中共同的本質，而追問3則為后續的二分法學習埋下了伏筆．