高觀點在導(dǎo)數(shù)問題解決中的應(yīng)用價值與常見錯誤*

陳俊陽 黃曉湄 (華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 510631)

1 引言

發(fā)生在20世紀初的“克萊因-貝利運動”是數(shù)學(xué)教育史上第一次重大數(shù)學(xué)課程改革運動，德國數(shù)學(xué)家克萊因出版的《高觀點下的初等數(shù)學(xué)》是本次運動的重要產(chǎn)物之一.盡管這次改革以失敗告終，但時至今日，仍不斷有學(xué)者探索“從高觀點的視角開展中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)”的合適路徑，并沿用了“高觀點”這一說法.在本研究中，“高觀點”是“高觀點下的初等數(shù)學(xué)”的簡稱，界定為：運用現(xiàn)代數(shù)學(xué)與經(jīng)典高等數(shù)學(xué)的知識、思想和方法，來分析和解決初等數(shù)學(xué)問題，突出思想和方法、強調(diào)理解和應(yīng)用[1]，而不追求嚴格的證明和邏輯推理.這一定義與克萊因注重的“實用”思想相符.

在我國，關(guān)于“高觀點”融入到中學(xué)數(shù)學(xué)的相關(guān)研究主要集中于解題研究和教學(xué)研究兩個類別.其中，解題研究占比更多，主要是結(jié)合高等數(shù)學(xué)知識研究中學(xué)數(shù)學(xué)問題，例如拉格朗日中值定理、洛必達法則、柯西不等式和二次曲線等.然而，部分文章在運用高觀點的過程中出現(xiàn)了錯誤，反映出部分教師運用高觀點開展導(dǎo)數(shù)教學(xué)的過程中，可能也會出現(xiàn)類似錯誤.

函數(shù)不僅是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的概念，也是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的主線[2].本文將以導(dǎo)數(shù)為對象，從例子出發(fā)討論高觀點在導(dǎo)數(shù)問題解決中的應(yīng)用價值與常見錯誤，并給出相應(yīng)的教學(xué)建議.

2 應(yīng)用價值

2.1 有助于探索導(dǎo)數(shù)問題解決的思路和方向

由于高中導(dǎo)數(shù)問題是微積分部分內(nèi)容的下放，相關(guān)試題往往是以微積分知識為背景編制的.因此，高觀點有助于高效、快捷地探索導(dǎo)數(shù)問題解決的思路和方向，甚至可以由此獲得問題的結(jié)論，在解題過程中只需要加上嚴格的推理論證即可.

例1(2021年八省適應(yīng)性考試題22(2))已知函數(shù)g(x)=ex+sinx+cosx-ax-2，若g(x)≥0，求a的值.

本題的參考答案給出：當(dāng)a<2和a>2時，g(x)≥0不恒成立，且a=2時，g(x)≥0恒成立，從而a=2.但不少教師和學(xué)生都產(chǎn)生疑惑：為什么以a=2作為討論的分界點？這一解題方向是如何獲取的？接下來的分析思路又是怎樣的？下面從高觀點的角度分析：

由此得到例1的答案應(yīng)為a=2.解決思路為：當(dāng)a=2時，證明g(x)≥0恒成立；當(dāng)a<2時，在x<0部分找矛盾區(qū)間(使得g(x)<0)；當(dāng)a>2時，在x>0部分找矛盾區(qū)間，進而解決此題.倘若不借助于高觀點指引問題解決的方向和思路，本題參數(shù)a的討論分界點難以找到，而且每種情形下的求解思路也難以獲取，最終導(dǎo)致問題解決缺乏方向性.

例2(2014年福建理科題20(3))證明：對任意給定的正數(shù)c，總存在x0，使得當(dāng)x∈(x0,+∞)時，恒有cex>x2.

由此可見，將高觀點運用到導(dǎo)數(shù)問題解決有助于探索問題解決的思路和方向，得到初步結(jié)論，再應(yīng)用中學(xué)知識嚴謹?shù)亟鉀Q問題.

2.2 有助于挖掘中學(xué)數(shù)學(xué)問題的背景與原理

導(dǎo)數(shù)問題往往存在高等數(shù)學(xué)背景，運用高觀點看高中數(shù)學(xué)問題有助于挖掘問題的背景及原理，探索問題的本質(zhì)，便于問題的變式與推廣.從高觀點的角度看例1可知，其問題背后的原理可以抽象為一個命題：

命題1已知函數(shù)f(x)與其導(dǎo)數(shù)f′(x)均在定義域[x0,+∞)內(nèi)連續(xù)，且f(x0)=0，則“x∈[x0,+∞)時f(x)≥0恒成立”的必要條件為“f′(x0)≥0”.

命題2[3]α>0，對任意給定的正數(shù)c，總存在x0，使得當(dāng)x∈(x0,+∞)時，恒有cex>xα.

命題3 α>0，對任意給定的正數(shù)c，總存在x0，使得當(dāng)x∈(x0,+∞)時，恒有l(wèi)nx

以上借助了高觀點挖掘問題的背景與原理，將問題原理抽象成命題，再將問題本身推廣為更一般的命題.這樣的抽象和推廣既有助于培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、比較、綜合、概括、歸納、類比和發(fā)現(xiàn)能力以及創(chuàng)新精神，又能讓教師洞察問題的本質(zhì)，在教學(xué)中清晰地呈現(xiàn)這類問題的通性通法.

3 常見錯誤

3.1 用高中知識證明高等數(shù)學(xué)知識，導(dǎo)致證明過程缺乏嚴謹性

將高觀點運用到導(dǎo)數(shù)教學(xué)時，部分教師試圖基于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，利用高中知識證明某些高等數(shù)學(xué)定理，特別是教學(xué)生“先證明，再使用”.但這既容易忽視高等數(shù)學(xué)知識體系的系統(tǒng)性和邏輯性，不利于學(xué)生構(gòu)建良好的數(shù)學(xué)知識體系，又可能導(dǎo)致證明過程缺乏嚴謹性.如文[4]是一例僅用高中知識對洛必達法則的不嚴謹證明.

由此可見，試圖用高中知識證明高等數(shù)學(xué)知識容易忽視高等數(shù)學(xué)知識體系的系統(tǒng)性和邏輯性，進而出現(xiàn)證明不嚴謹?shù)那闆r，并且僅依靠高中知識難以察覺這一問題.

3.2 片面理解高等數(shù)學(xué)定理的條件或結(jié)論，導(dǎo)致邏輯推理缺乏嚴謹性

將高等數(shù)學(xué)知識(特別是定理)應(yīng)用于導(dǎo)數(shù)問題解決，有助于探索解題思路和解決問題(見2.1)，受到了不少師生的青睞.然而高中生難以全面深刻地理解高等數(shù)學(xué)定理的條件或結(jié)論，導(dǎo)致邏輯推理缺乏嚴謹性.比如，不少文章運用拉格朗日中值定理解答2010年遼寧高考導(dǎo)數(shù)題，雖然答案正確，但邏輯推理過程并不嚴謹，見下例[5]：

例3(2010年遼寧理21)已知函數(shù)f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.(1)略；(2)設(shè)a<-1，如果對任意x1,x2∈(0,+∞)，|f(x1)-f(x2)|≥ 4|x1-x2|，求a的取值范圍.

上述解答運用了拉格朗日中值定理，將函數(shù)的割線斜率等價轉(zhuǎn)化為切線斜率，進而求解.事實上，這一轉(zhuǎn)化并非等價.

拉格朗日中值定理表明：對于一個連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù)，任意一條割線都能找到一條與其斜率相等的切線，但其逆命題不為真，即對任何一條切線，未必能找到一條與其斜率相等的割線.比如g(x)=x3在x=0處的切線斜率為0，但它不存在斜率為0的割線.因此上述解答中“f(x)的割線斜率的絕對值大于或等于4”是“切線斜率的絕對值大于或等于4”的必要條件，但未必充分，由此得到的答案可能會出現(xiàn)漏解的情況，如例4(分析留給讀者).

以上兩例表明，片面理解拉格朗日中值定理、洛必達法則等高等數(shù)學(xué)定理的條件或結(jié)論，容易導(dǎo)致問題解決的邏輯推理缺乏嚴謹性.

3.3 機械運用高等數(shù)學(xué)定理解決問題，導(dǎo)致解題方法失效

部分學(xué)生運用洛必達法則、拉格朗日中值定理等高等數(shù)學(xué)定理解決導(dǎo)數(shù)問題后，體會到了高觀點的便捷性，屢試不爽，從而在日后遇到類似的問題時反復(fù)考慮運用相應(yīng)的定理去解決問題，過度“迷信”高觀點，弱化了對通性通法的掌握.

從這一案例看出學(xué)生機械地應(yīng)用拉格朗日中值定理去解決問題，并未認真地弄清問題、分析問題和解決問題；方法失效后，也未采取通性通法去解決，這便顯得本末倒置了.

4 教學(xué)建議

4.1 借助高觀點暴露導(dǎo)數(shù)問題解決的思維過程，剖析問題本質(zhì)

對于具有高等數(shù)學(xué)背景的導(dǎo)數(shù)問題，單靠高中知識難以窺其全貌.因此，在解題教學(xué)中教師可以從高觀點的視角暴露問題解決的思維過程，探索問題的深層結(jié)構(gòu)，剖析問題本質(zhì)，并適當(dāng)?shù)貙栴}進行變式與推廣(如2.2節(jié))，這是高觀點對解題思維“第二過程”的暴露起到居高臨下的作用的體現(xiàn)[6]，也有助于滲透問題解決的一般性策略與提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)[7].

4.2 采用“原理—例子法”引入高等數(shù)學(xué)定理，促使學(xué)生全面理解條件與結(jié)論

運用高觀點進行高等數(shù)學(xué)定理教學(xué)時，教學(xué)對象通常為認知水平較高的學(xué)生，適合采用“原理—例子法”[7]，即通過豐富的正例和反例幫助學(xué)生全面理解定理的條件與結(jié)論.比如：在講解拉格朗日中值定理時，為了促進學(xué)生理解并非任意一條切線都存在與之斜率相等的割線，可以提供若干反例，如f(x)=x3；同時讓學(xué)生進行變式練習(xí)(如例4)，形成產(chǎn)生式[8].

4.3 回歸高觀點的本質(zhì)，強調(diào)思想方法，不追求嚴格的證明

對于高中生而言，嚴格證明高等數(shù)學(xué)定理需要足夠多的觀念和較高的認知水平，往往難以接受或獨立完成，并且容易出現(xiàn)難以察覺的錯誤.因此，教師應(yīng)當(dāng)把握“高觀點”的內(nèi)涵，強調(diào)現(xiàn)代數(shù)學(xué)與經(jīng)典高等數(shù)學(xué)的知識、思想和方法，不需嚴格證明.如通過對例4的剖析讓學(xué)生感受極限的思想；又如，通過對2017版新課標(biāo)案例34(迭代計算問題)的探究，體會現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的不同迭代方法——“牛頓切線法”“牛頓割線法”與“二分法”.