例說數學解題中思路受阻的應對策略*

朱福進 (江蘇省無錫市輔仁高級中學 214123)

學習數學離不開解題．數學解題是解題者憑借已有的知識和經驗由問題的條件向問題的結論逐步轉化的思維過程[1]．由于題目信息的復雜性、解題方法的靈活性以及自身的知識缺陷和思維定勢等諸多原因，學生解題的思路常常會出現不同程度的受阻，導致解題誤入歧途甚至難以進行下去．數學教學中，幫助學生認真分析解題思路受阻的具體原因，引導學生針對這個具體的原因制定相應的應對策略，將受阻的思維激活，從而將解題活動引向正確的思維軌道，促進解題獲得成功，在這個過程中，使學生理性思考，優化思維品質，提高解題能力，提升數學素養，值得引起我們的高度關注，需要我們去著力解決．本文就此作一些探討，與同仁們交流，供大家參考．

1 模式識別

在數學學習的過程中，將所積累的知識、方法和經驗進行加工，可以形成一些具有長久保存價值的解決數學問題的基本模式．拿到一個數學問題，審清題意之后，我們首先辨別它屬于哪類基本模式，聯想一個已經解決過的與之類似的問題，以此為索引，在記憶儲存中提取出相應的方法來加以解決，稱為模式識別．

模式識別既是一種重要的數學活動的經驗、一種重要的解題策略，更是一種重要的思維方法，它是化歸與轉化思想的體現，可以化陌生為熟悉，化難為易，化繁為簡.不同類型的問題可以有同一種解題模式，同一類型的問題也可以有不同的解題模式．數學學習中，注意解題模式的積累，學會解題模式的識別和應用，在此基礎上實現解題模式的突破，不但可以讓我們迅速找到數學解題的突破口，還能有效地幫助我們在解題思路受阻時進行思維調控，突破思維障礙．

2 回歸定義

數學概念是現實世界中空間形式和數量關系的本質屬性的概括與反映，它不僅是我們推導定理和公式的依據，也是進行判斷和推理、實現數學解題的金鑰匙．許多數學概念都是以定義的形式給出的，數學學習中，如果對定義的發生、發展過程沒有深刻的體會，認識僅僅停留在表象的概括上，而沒有弄清其龍去脈和內涵外延，那么面對具體的數學問題時，就難以形成正確的思維方向，導致解題活動無法進行下去．這時，“回到定義”中去是一種十分有效的策略，它可以幫助我們成功突破思維障礙，走出解題困境．

案例2若關于x,y的方程m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示橢圓，則實數m的取值范圍是( )．

A．(0,5) B．(1,+∞)

C．(0,1) D．(5,+∞)

由方程表示橢圓，許多學生都會聯想到橢圓的標準方程，因此形成將所給方程變形為橢圓標準方程的形式這一解題思路．但是沿著這樣的思路很難實施下去，化簡了好長時間還是得不出結果，然后懷疑是運算上出錯，回過頭去進行檢查，仍然不得要領，思路在此受阻．

回到定義是為了“掌握那些專業術語后面數學對象間的實際關系”，面對一個數學題，“如果我們只知道概念的定義，別無其他，我們就不得不回到定義”[2]．“回歸定義”實質是重新審視概念并利用概念來打開解題的思路，實現問題的解決．當解題思路受阻時，我們不妨去回顧一下相關概念和定義，利用概念、定義去捕捉題目信息固有的本質屬性，借以激活思維，從而擺脫解題困境，使解題活動能夠沿著正確的方向前進．

3 逆向思考

在數學解題的過程中，我們經常會遇到這樣的情況：按常規的思路進行分析，由題目的條件入手直接求解，不是陷入繁瑣復雜的變形運算的困境，就是無法尋出問題解決的途徑，解題的思路受阻.這時，我們就要善于克服定勢思維的消極影響，及時改變問題思考的角度，調控好解題思維的方向，不妨從反面入手，學會逆向而行，運用好正難則反、以退為進等解題策略，激活受阻的思維，打破解題的僵局，拓寬解題的思路，在靈活運用題設條件和已有的知識、方法和經驗的基礎上，找到合理、簡捷的解題途徑．

有許多數學問題是可以從條件出發，通過正向的思考而求出結論，使問題獲得解決的.這種思路從思維方式上來看具有定向性和聚合性，強化這種思維定勢，在數學解題中有著決定性的作用，值得高度重視并在解題中加以廣泛運用．但是，也有許多問題正面入手困難重重，而改由反面入手卻常常能出奇制勝．數學解題中，如果從正面入手求解繁瑣、難度較大，不妨就打破思維常規，有意去做與習慣思維方向完全相反的探索，進行逆向思考，運用“正難則反”策略，轉化為考慮問題的相反方面：順推不行考慮逆推；直接不行考慮間接解決；探討可能性發生困難時考慮探討不可能性[3]．學會這樣的思考，往往可以有效地沖破解題阻礙、開拓解題思路，使我們茅塞頓開，讓解題絕境逢生．

4 構造圖形

解決數學問題，如果利用所給的信息進行解題分析時不能有效地揭露出隱含的條件，一時難以得出解題的思路，或者在解題的過程中由于信息不足而導致思路受阻，這時不妨嘗試畫一個圖形，有意識地運用數形結合的思想，及時轉換思維的角度，充分挖掘出問題的幾何意義，給條件與結論中的數與式賦以圖形，由數思形，以形助數，把代數式的精確刻畫與幾何圖形的直觀形象有機地聯系起來，借助圖形的直觀活化思維，開辟解決問題的新思路，找到解決問題的新途徑，使得思維的障礙不攻自破，解題過程自然流暢[4]．

下面怎么辦？許多學生感到難以下手了.運用導數，研究函數h(x)在區間[4,0]上的單調性，看似可行，實則運算量大，十分繁瑣，而放棄這一思路又心有不甘，真是進退兩難，從而陷入了解題困境，導致解題無法進行下去．

圖1

本題中，導致學生解題產生困惑的主要原因是缺乏數形結合的意識和運用數形結合的思想方法分析問題、解決問題的能力．數學是研究數量關系與空間形式的科學，數與形兩者本沒有不可逾越的鴻溝．解題經驗告訴我們：在尋找解題思維發生困難時，不妨借助圖形去探索；在解題過程中遇到繁雜運算使人望而生畏時，不妨借助圖形去開辟新路；在需要檢驗結論是否正確時，不妨借助圖形去驗證．這就是“以形助數”．當然，對于具有明顯幾何特征的數學問題，我們也可以通過建立平面直角坐標系，借助代數運算的方法來解決，即“用數解形”．將“數”和“形”有機地結合在一起，常能使解題左右逢源、得心應手．

5 特殊處理

按照辯證唯物主義的觀點，矛盾的普遍性是寓于矛盾的特殊性之中的，人類的認識活動總是在先認識個別的、特殊的事物的基礎之上，通過概括和推理來認識一般事物，得出一般的規律[5]．反映在數學學習上，很多數學問題，其特殊情況與一般情況存在共性，通過對特殊情況的研究，運用特殊化方法將一些不易直接解決的一般性問題轉化成特殊問題求解，常能找出一般問題的規律，得到一般問題的結論，或者獲得解決一般問題的信息，為解決一般問題提供方向，進而打通解題的思路，突破解題的障礙，使解題取得出人意料的效果．

案例5已知無窮數列{an}是等差數列，其前n項和為Sn，是否存在這樣的無窮等差數列{an}，使得對于一切正整數k都有Sk2=(Sk)2成立？若存在，求出所有的這樣的無窮等差數列{an}；若不存在，請說明理由．

這是一道是否存在型問題，具有一定的探索性和開放性.求解這類問題，一般的思路是：假設存在這樣的無窮等差數列{an}，不妨令其首項為a1，公差為d，由等式Sk2=(Sk)2對于一切正整數k都成立，去探求a1和d．

按照這樣的思路，想法是很自然的，但是，為了求a1和d，需要對上面的等式化簡變形，再利用多項式恒等的條件建立a1和d的方程組，通過解方程組來實現問題的解決，運算量很大，過程將十分繁瑣，許多學生特別是運算能力較差的學生望而生畏、深感無奈，致使思路受阻．

我們可以利用辯證思維，注意到一般與特殊的關系，進行特殊化處理：若上述等式對一切正整數k都成立，則當k=1,2時也成立，由此求出a1和d的值，然后再加以檢驗，符合條件的無窮等差數列{an}就找出來了，這樣既暢通了思路，又簡化了運算，從而達到了化繁為簡、變難為易的目的．

唯物辯證法告訴我們：一般和特殊是相互聯系的，一般存在于特殊之中，任何一般都是特殊的一部分．“特殊處理”正是這種辯證思維的具體體現，在數學學習中既是一種重要的思想方法，也是一種常見的解題策略．許多數學問題都可以嘗試運用“特殊處理”的方法來明晰解題方向，尋找解題捷徑，走出解題困局，實現問題的解決．以本題為例，我們通過對正整數取特殊值，找到滿足條件的數列，然后再一一加以驗證，既明確了解題方向，突破了解題阻礙，又簡化了運算及過程，使看似復雜繁難的問題迎刃而解．

幫助學生突破數學解題中的思維障礙，在解題思路受阻時及時轉換思考的視角，有效打破思維的僵局，迅速走出解題的困境，是一項十分重要的工作．在教學過程中，要注意引導學生針對解題障礙的成因差異對癥下藥、優化疏導，幫助學生做好思維調節的工作．不僅要充分暴露學生在解題中產生的種種思路受阻現象，而且應當全面、準確地分析產生思路受阻的原因，介紹排除思維障礙的應對策略，培養學生思維的靈活性、變通性和創造性，使學生學會在接通思路中求流暢，在撥通思路中求敏捷，在拓寬思路中求變通，在拓深思路中求獨創，不斷提高分析問題和解決問題的能力[6].