整合資源 突出本質 自然生成
——以“三角函數的概念”的教學為例

曾庚平 (廣東省佛山市禪城區教育發展中心教學研究室 528000)

隨著《普通高中數學課程標準(2017年版)》的頒布和實施，不同版本的教材紛紛亮相并投入使用，教材的對比研究成為一個熱點.為了順利推進新課程改革，落實課標理念，教師應該廣泛研讀和比較不同版本的教材以及新舊教材，把握變化，取長補短，有效整合，創造性地使用教材，讓課堂教學能夠更加聚焦數學知識的本質，讓學生能夠經歷知識自然而然的發生、發展過程.本文基于教材資源整合談談“三角函數的概念”的教學設計與思考.

1 教材比較分析

“三角函數”是繼冪函數、指數函數和對數函數后研究的又一類基本初等函數，人教版實驗教材和2019年A版教材(以下分別簡稱舊教材和新教材)的編寫變化極為顯著.舊教材從學生熟悉的銳角情形出發，分析了用終邊上任意點坐標的比值表示銳角三角函數的合理性，接著采用最簡單的情形——用終邊與單位圓交點的坐標表示銳角三角函數，再將這種單位圓的定義推廣到任意角，建立三角函數的概念.最后，教材給出了例題“已知角α的終邊經過點P0(-3,-4)，求角α的正弦、余弦和正切值”，并在邊白呈現用終邊上任意點的坐標表示三角函數[1].新教材從現實背景——“周而復始”的變化現象出發，經過理想化、簡單化，化歸為“如何刻畫單位圓上作逆時針旋轉運動的點的位置”，分析其中蘊含的變量間的對應關系，再用一般函數概念分析，得到“單位圓定義”.接著探究這樣的定義方式與初中已經學過的銳角三角函數定義的關系.最后再以例題的形式證明了用終邊上任意點表示三角函數[2].從概念本質看，新舊教材都是先用單位圓定義三角函數，再對概念進行推廣；從知識產生的背景看，新教材從現實問題出發，抽象概括三角函數模型，更能突出函數是刻畫現實世界變化的重要模型，且研究路徑與冪函數、指數函數和對數函數基本一致.

北師大版教材將正弦函數和余弦函數的概念及其性質、正切函數分開在兩節呈現，正、余弦函數的概念建構過程與人教版舊教材類似[3].這種方式將同一背景下產生的三個函數割裂開來，對于學生整體把握三類函數，后續統一研究誘導公式等內容帶來不便.湘教版教材類比銳角三角函數的概念，直接用坐標比定義三角函數，并保留三角函數線，在介紹三角函數線中給出單位圓定義三角函數[4].這種定義方式對“取終邊上任意一點得到的坐標比是相同的”沒有進行嚴格證明，教材中僅分析了銳角情形，對一般情形沒有說明.

2 教學目標設計

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》指出借助單位圓理解三角函數(正弦、余弦、正切)的定義，掌握三角函數的背景和概念，在教學提示中指出：三角函數的教學，應發揮單位圓的作用，引導學生結合實際情境，借助單位圓的直觀，探索三角函數的有關性質[5].基于教材比較分析和課標要求，制定以下的教學目標：

(1)知道三角函數是刻畫現實世界中“周而復始”變化規律的數學模型，在經歷“周期現象——圓周運動——單位圓上點的旋轉運動”的抽象活動中，獲得研究對象，確定要研究的問題：單位圓上點P以A為起點作逆時針方向旋轉，如何刻畫點P的位置變化情況.

(2)在分析單位圓上點的旋轉中涉及的變量及其相互關系過程中，抽象對應關系，建立三角函數的概念，發展數學抽象、直觀想象素養.知道一般函數概念中的對應法則既可以以代數運算為媒介，也可以以幾何圖形為媒介，加深對函數本質的認識.

(3)能從單位圓上點的坐標定義出發建立銳角三角函數與任意角三角函數的關系，能將三角函數的單位圓定義推廣到終邊上任意點(不與原點重合)的定義，體會數學知識的推廣必須與原有知識相容的原則，發展邏輯推理、數學運算素養.

3 教學過程設計

3.1 創設情境，提出問題

引導語 我們知道現實世界中有許多循環往復、周而復始的變化，如四季交替、月亮圓缺、潮汐現象、物體做簡諧運動時的位移變化、摩天輪轉動等，這些變化規律稱為周期性.函數是刻畫現實生活中運動變化現象的數學模型，我們學過的冪函數、指數函數、對數函數能刻畫這些周期性變化嗎？

設計意圖從現實情境中引出課題：建立刻畫周期性變化的函數模型.提出問題引發學生的認知沖突：發現冪、指、對函數都沒有周期性變化的規律，無法刻畫周期性變化現象，讓學生感悟學習新知識的必要性.

問題1圓周運動是一種常見的周期性變化現象，不失一般性，先研究單位圓上點的運動.如圖1，單位圓⊙O上的點P以A為起點做逆時針方向的旋轉，哪些量能夠刻畫點P的位置變化情況？

圖1 圖2

追問根據研究函數的經驗，我們要利用直角坐標系，如何建系？

師生活動 學生獨立思考、回答.為了研究方便，以單位圓的圓心O為原點，以射線OA為x軸的非負半軸，建立直角坐標系，如圖2.教師展示點P做圓周運動的動畫，引導觀察思考，發現在點P運動過程中，由OP逆時針旋轉而成的角α、弧長、弦長、P的坐標都可以描述點P的位置變化.其中弧長、弦長，旋轉的角本質上是一致的，并且角α便于描述點P旋轉超過一周的情況，所以本節課研究用角α和點P坐標刻畫點P的位置變化.

設計意圖讓學生經歷從現實情境中抽象出要研究的問題的過程，獲得研究對象，發展數學抽象素養.

3.2 分析問題，抽象概念

師生活動 由學生求出點P的坐標，教師引導學生總結求坐標的方法.

追問任意給定角α，它的終邊與單位圓的交點P的坐標能唯一確定嗎？為什么？

師生活動 學生思考并回答，教師用幾何畫板向學生演示角α改變時點P坐標的變化情況，引導學生歸納總結出任意給定角α都能唯一確定點P的坐標.

設計意圖從特殊到一般，從具體情境中歸納角α與點P的坐標的對應關系，為抽象三角函數的概念作鋪墊.

問題3“任意給定角α都能唯一確定點P的坐標”與前面學習的哪個概念的表述類似，你能詳細分析嗎？

師生活動 生1：描述方式與“函數的概念”相似.

師：其中蘊含了哪些變量之間的對應關系？

生2：任意給定角α即任意給定一個實數，點P的橫坐標和縱坐標都唯一確定，得到兩個對應關系,

f：實數α(弧度制)對應于點P的縱坐標y，

g：實數α(弧度制)對應于點P的橫坐標x.

師：生2說得很好！實際上這告訴我們，x和y都是α的函數.還能建立其它對應關系嗎？

師：學生4考慮得很仔細.由此，我們得到第三個對應關系,

在單位圓上的點P作逆時針方向的旋轉這個背景中，我們得到三個對應關系，這三個對應關系確定了三個函數.

設α是一個任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點P(x,y)，

(1)點P的縱坐標y叫做α的正弦函數，記作 sinα，即y=sinα；

(2)點P的橫坐標x叫做α的余弦函數，記作cosα，即x=cosα；

我們將正弦函數、余弦函數和正切函數統稱為三角函數.

問題4三角函數的自變量是什么？定義域是什么？如何理解三角函數的對應法則？

師生活動 學生獨立思考后填寫下列表格：

三角函數自變量定義域y=sin αx=cos αyx=tan α(x≠0)

設計意圖梳理三角函數的定義域、對應法則，有助于學生把握三角函數的本質，體會三角函數的對應法則是根據幾何圖形來確定的，感悟三角函數與冪函數、指數函數和對數函數的聯系與區別，同時加深對一般函數概念的理解.

3.3 建立聯系，辨析內涵

師生活動 教師帶領學生畫出圖形(圖3)，回顧初中銳角三角函數的定義，結合平面幾何的知識，分析解決問題的思路.

圖3

設計意圖建立任意角三角函數概念與初中銳角三角函數概念的聯系，體會新舊知識之間的相容性，也為下一環節的三角函數概念的推廣作好鋪墊.通過分析證明過程，培養學生的邏輯推理能力.

3.4 概念推廣，加深理解

問題6如圖4，α是一個任意角，它的終邊上任意一點P(不與原點O重合)的坐標為(x,y)，點P與原點的距離為r，如何表示sinα, cosα,tanα？

圖4

師生活動 學生思考，教師引導學生思考以下問題：

(1)你能依據三角函數的定義作圖表示 sinα,cosα嗎？

(2)為了表示sinα,cosα,tanα，需要求出什么？(終邊與單位圓的交點坐標P0(x0,y0))

(3)如何建立P(x,y)與P0(x0,y0)的關系?

理清思路后，由學生寫出過程.

問題7問題6相當于給出了三角函數的第二個定義，你能給出這個定義并分析這種定義與“單位圓定義”的關系嗎？

師生活動 學生討論、交流、回答，教師進行點撥補充.第二個定義是用終邊上任意點的“坐標比”定義三角函數.第一個定義(“單位圓定義”)類比冪、指、對函數，從現實情境中抽象出來，第二個定義是根據單位圓定義推導出來的，可以看成是第一個定義的推廣；用第一個定義需要確定終邊與單位圓的交點坐標，而第二個定義只需知道終邊上任意一點(除原點O外)即可；第一個定義更簡潔，突出三角函數的本質，第二個定義求解給定角的三角函數值時使用范圍更廣.

設計意圖讓學生體會從特殊到一般的研究思路，培養學生歸納總結概括的能力，培養學生回歸“單位圓定義”思考問題的習慣，加深對三角函數概念的理解.

3.5 課堂小結，布置作業(略)

4 教學反思

4.1 研讀不同教材，有效整合資源

4.2 一般觀念引領，形成研究路徑

所謂一般觀念，是對內容及其反映的數學思想和方法的進一步提煉和概括，是對數學對象的定義方式、幾何性質指什么、代數性質指什么、函數性質指什么、概率性質指什么等問題的一般性回答，是研究數學對象的方法論，對學生學會用數學的方式對事物進行觀察、思考、分析以及發現和提出數學問題等都具有指路明燈的作用[6].在本節課之前，學生已經掌握了函數的一般概念，積累了冪函數、指數函數和對數函數的研究經驗.函數的一般概念是一種基本的工具和語言，在前面的學習中，用這種語言去分析客觀世界的變量關系和變化規律，抽象出了冪、指、對函數.三角函數的研究要充分利用這些已有的經驗，以研究函數的一般觀念形成研究的基本路徑：現實背景——研究對象——對應關系的本質——定義——聯系.當然，我們還要注意冪函數、指數函數和對數函數涉及的常量和變量較少，都能得到具體的解析式，這些解析式都有明確的運算含義，通過代數運算給出對應法則，而三角函數的概念中，單位圓上點的位置變化涉及的量比較多(坐標、角、弧長、弦長)，并且三角函數對應法則是根據幾何圖形確定的，所以需要細致分析，確定研究哪些變量的對應關系，反扣函數概念，明確三角函數的三要素.

4.3 問題引導思考，促進概念生成

問題是數學的心臟，是課堂教學過程中的靈魂.讓思維從問題開始，思維活動又形成新的問題，這種遞進式的問題引導著學生不斷思考，為建構知識、發展思維提供腳手架.教學中所提出的問題要聚焦知識的本質、針對學生思維的最近發展區、有一定的發展性和開放性，才能促進學生思維的發展.通過問題引導學生獨立思考、自主探究、展示交流，將學習的主動權交給學生.問題的設計以主問題+追問，預設問題+生成問題的“問題串”形式呈現.本節課以7個問題引導學生經歷“現實背景——抽象研究對象——分析對應關系——形成定義——建立聯系”的完整過程.通過問題啟發學生歸納概括概念的本質，形成定義.通過問題引導探究單位圓定義與初中銳角三角函數定義的聯系，將單位圓定義進行推廣，逐步加深對概念的理解，體會數學概念推廣的相容性原則，建立概念的多元聯系.