基于學習進階的高中數學單元復習課教學設計
——以“圓錐曲線”單元為例

黃振東 馮 茹 (江蘇師范大學數學與統計學院 221116)

1 引言

單元復習課是在單元新知識學習結束后，對整個單元學習內容進行的再認識．通過單元復習課，學生在較短的時間內再次完整地經歷單元學習的全過程，進行知識的深層次理解并建構認知結構，歸納和提煉方法策略，深化思想方法認識，發展核心素養．在教學實踐中，單元復習課往往被忽視，成為單一的知識復習課或者習題課，其應有價值未得到體現．

學習進階研究起源于美國科學教育界，現已滲透進各門學科的理論與教學研究，成為教育研究的重要熱點之一，在課程、教學和評價等方面具有豐富的價值．美國國家研究委員會(National Research Council，即NRC)將學習進階定義為描述學生對于某個主題連續的、更加熟練的思考方式，這些思考方式能隨著學生對這個主題的學習和探究依次連續發展[1]．基于學習進階進行單元復習課教學能夠有效改善上述教學實踐問題，發揮單元復習課的應有價值.本文以圓錐曲線為例，進行實踐探究．

2 基于學習進階的教學分析

2.1 整理知識結構

圓錐曲線章節包含橢圓、雙曲線和拋物線三個平行的核心概念．從單元內部知識結構來看，三個核心概念涵蓋的知識內容是同構的，主要包括曲線定義、圖形、標準方程、基本性質等．從知識結構看，橢圓、雙曲線和拋物線在幾何上統一于圓錐曲線的第一定義、在代數上統一于圓錐曲線的第二定義．從知識聯系的角度看，圓錐曲線的學習建立在直線、圓的方程和其他幾何知識學習的基礎之上，并與之在知識銜接、方法運用等方面有復雜的聯系．

2.2 明析進階起點

2.3 確定進階終點

進階終點是根據課程標準等相關文件，以核心概念為中心制定的，對學生學習結果的預期，涵蓋了學生對知識的理解、技能的掌握和思想方法的認識等．在學習內容和學情的基礎上結合課程標準中對圓錐曲線的學習要求，將學習進階終點設為：掌握圓錐曲線的定義、方程等基本概念，建立知識結構，能夠利用以上的知識并結合“直線、圓的方程”等知識解決數學問題和現實問題，深入體會和認識數學思想方法，形成新的認知體系，發展數學運算、直觀想象、邏輯推理、數學建模和數學抽象素養．

3 進階變量與教學設計

進階變量是學生認知發展過程的觀測點，追蹤學生在這些變量上的發展可以了解其整體學習進程[2]．進階終點涵蓋知識與技能變量、思想與方法變量、核心素養變量．其中知識與技能是思想與方法的認識基礎，同時二者又承載著發展核心素養的任務．最終，三者都在問題解決過程中得到具體表現．在此，選擇知識深度模型[3](Depth of Knowledge，簡稱DOK)作為建構學習進階的理論基礎，從問題解決的角度將學生的學習劃分為四個遞進水平，描繪學生在圓錐曲線單元復習課上的進階過程．

3.1 進階水平1：知識復述，簡單應用

DOK的復述、記憶水平要求學生能夠回憶事實、概念和過程，進行簡單的運算和公式應用[3]．學生在此階段回憶和復述圓錐曲線的知識，系統認識知識之間的聯系，對圓錐曲線的知識進行簡單的運用．

問題1我們已經完成了圓錐曲線單元知識的學習，同學們能否有條理地總結所學知識？請大家分小組討論．

目前，我國股票市場正處于快速發展階段，在始于2015年的“股災”還未完全消退的背景下研究中國股票市場與國際股票市場間的相依性問題，對金融市場的風險控制、金融監管以及對投資者投資策略構建等均具有重要的現實意義。

(1)焦點在x軸上的橢圓；

(2)焦點在y軸上的橢圓；

(3)焦點在x軸上的雙曲線；

(4)焦點在y軸上的雙曲線．

設計意圖概念復習和技能訓練是復習課的必要內容．又因是單元復習課，知識的復習和鞏固不應只是簡單的復述和程序化訓練．知識的回憶與基礎的鞏固應當有橫向的拓展．圓錐曲線的知識本身就具有較高的系統性，問題1通過學生總結匯報、教師點評修正的方式，回憶、復述知識，幫助學生從整體視角認識知識，為新知識建構做準備．這即契合進階起點，又是單元復習課的應有之意．問題2和問題3不僅限于公式套用，而是使問題達到復習課應有的難度，并且在其中蘊含數形結合思想中的“以形解數”．經過概念復述和問題解決，學生達到進階水平1，即不僅能復述概念而且能簡單應用．

3.2 進階水平2：知識應用，概念整合

DOK的概念、應用水平要求學生運用知識進行更多的智力運算，以解決較為復雜的問題[3].在此過程中使知識結構更具系統性和結構性，是概念整合與知識應用的關鍵階段．

(3)已知點F是拋物線y2=4x的焦點，M,N是拋物線上的點，若線段MN的中點到y軸的距離為5，求MF+NF的值．

追問3 聯系前幾個問題的結論，能否從這一角度重新定義圓錐曲線呢？

設計意圖問題4強調圓錐曲線知識的靈活運用，加深對圓錐曲線定義的認識，鞏固知識結構．問題5從具體問題出發，逐步抽象，將圓錐曲線統一于第二定義，其間的三個追問幫助學生發現隱含內容，推進知識發現的進程．這樣的問題設計，運用之前學習的“點距”“軌跡方程”的求解方法和“以數解形”思想，提高知識運用能力的同時，使原有的知識結構得到強化并更加立體化，學生的學習水平達到進階水平2．

3.3 進階水平3：提煉方法，體系建構

DOK的策略水平要求學生能夠進行推理、解釋，需要更高的思維能力[3]．一方面，應當更進一步聯系相關知識，建立直線、圓和圓錐曲線的知識結構；另一方面，還應探究解決圓錐曲線相關問題的一般方法．因此，本階段應兼顧新舊知識整合和方法探究．

問題7已知圓C:(x-x0)2+(y-y0)2=1的圓心在直線bx-ay+4a=0上，若雙曲線的右支與圓C不相交，求雙曲線離心率的取值范圍．

問題8點P是拋物線C1:y2=2px(p>0)上一動點，M,N是y軸上動點，圓C2:(x-2)2+y2=4是△PMN的外切圓，求△PMN面積的最小值．

設計意圖問題6～問題8在難度上有了較大的提升，這種提升是對DOK策略水平兩個方面要求的具體表現．首先，涵蓋的知識面擴大．問題中聯系直線與圓的知識，在問題解決過程中需要學生對知識進行綜合、靈活的運用．其次，思想方法的提煉．數形結合思想在問題中綜合運用，并形成解決該類問題的一般方法——函數法．在這一階段，學生在綜合運用知識和感受數學思想、提煉數學方法的過程中，提升數學技能，從方法的角度統一對直線、圓和圓錐曲線的認識，建立新認知結構，達到進階水平3．

3.4 進階水平4：拓展探究，素養提升

DOK的拓展性思維水平要求學生能夠進行有效的數學探究[3]，在此過程中進行更為復雜的推理和思考，并聯系相關知識設計方案解決問題．

問題9當圓錐曲線的焦點不在坐標軸上時，如何列出圓錐曲線的方程？

追問 方程形如x2=2py的拋物線與二次函數圖象一致，雙曲線是否也有形似的函數圖象？如何驗證反比例函數圖象是雙曲線呢？

問題10經過三十余年的發展，我國突破國外技術封鎖，獨立自主建造了中國空間站——天宮空間站，我們的航天員陳冬、劉洋、蔡旭哲于2022年6月5日成功進入天和核心艙，并將按計劃開展相關工作．空間站的在軌高度為400～450 km，假設其運行軌跡近似為橢圓，我們能否確定其焦點，并建立合適的坐標系以確定其軌跡方程？

追問 對于任意的一段曲線，能否判定它是否是圓錐曲線的一種？如果是，如何求出其對應方程？

設計意圖問題9及追問是圓錐曲線一般問題的拓展，從平移的圓錐曲線到旋轉的圓錐曲線的圖象和方程，激發學生探究和思考．問題10以現實問題為基礎引導學生進行深入探究，使學生感受數學的現實價值，其間融入愛國主義教育，激發學生民族自豪感．這一階段聯系相關知識，前三個階段的知識、方法也在這一探究過程中得到綜合體現，學生的認知結構、能力和素養得到進一步綜合發展和提高，數學情感和價值觀得到提升．

4 總結與反思

學習進階以其特有的價值正成為教育領域的研究熱點之一[4]．在本節課中，依據DOK理論，選取解決問題所需的認知復雜度作為進階變量，將核心素養發展作為主要目標，形成了以問題解決為主線，以認知結構建構和思想方法認識為兩條輔線的進階路徑．

具體來看，在進階水平1至水平3，通過解決一系列的問題，學生的知識結構得到完善并逐步形成認知體系，知識的運用能力得到提升，對數學思想方法的認識進一步深入，數學運算、邏輯推理等核心素養的發展目標始終貫穿其中．在進階水平4，通過拓展題和探究題使學生的知識、能力和方法得到綜合運用，形成認知體系，推動數學素養進一步提升的同時培養數學情感和價值觀．

最后，應指出的是，將學習進階應用于實踐教學中還應注意進階的過程性和進階路徑的不唯一性．因此，本文教學設計中的問題可作為研究的案例，具體教學中可視學生的學習情況進行適當的增刪，教學課時也可適當安排增減．