基于學生思維訓練的解題教學策略探究

田秀權 (江蘇省常州市第一中學 213003)

1 問題提出

2022年新高考數學I卷堅持了“從能力立意到素養導向”的改革方向，但很多考生反映很不適應.學生的不適應從某個角度反映了高中數學教學還沒很好地適應高考的要求，還沒有把“立德樹人，發展素養”的教育教學目標很好落地．解題教學是高三數學復習的主要課堂形式，對發展學生素養有著不可或缺的作用，如何在解題教學中提升學生能力，發展學生素養？基于學生認知水平、思維特點，致力于培養學生思維的解題教學是關鍵，脫離了學生思維訓練的解題教學好比無源之水、無本之木，缺少活力和生命力！

2 基于學生思維訓練的解題教學實施策略

解題教學不是簡單的“告知”，而應該是在學生已有認知基礎上有意義的建構，是發展學生思維的過程．部分教師過于強調“教師示范+學生模仿”，而對解題過程中隱性的思維活動缺少必要的關注和打磨，其作用充其量是幫助學生完善“題型庫”，未能起到培養學生思維、提升學生數學素養等應有的教學功能．關于“基于學生思維訓練的解題教學實施策略”，筆者在平時的解題教學中不斷思考、摸索、實踐，現談幾點感悟，供大家參考．

2.1 要“歸類”講評，也要變式拓展

試卷(作業)講評時，教師常以知識或思想方法為主線進行歸類講評，這樣更有利于學生鞏固知識、提煉方法、感悟思想，但僅僅如此，學生的思維還是難以深入，高階思維的形成更是空中樓閣；而基于學生思維的受阻點、能力的遷移點，進行縱向深入的變式拓展，則有益于方法的遷移、問題本質的挖掘和學生思維能力的提升．

案例1函數f(x)=x2-2x-4在區間[t,t+1]上的最小值g(t)的表達式為．

此為一輪復習時二次函數的作業里出現的一道題，筆者設計了如下3個變式拓展：

變式1 函數f(x)=x2-2x-4在區間[t,t+1]上的最大值g(t)的表達式為．

教學片斷(由于篇幅限制，僅摘錄“變式2”的教學實錄)

圖1

師：很好，分類清晰、討論精準，這是研究分段函數的基本方法．

師：變式1的解法可概括為函數值大小與“點軸距”(點到對稱軸距離)大小的轉化，對你們有啟發嗎？(學生思考)

師：是嗎？(故意拉長語氣)

師：如何調整？

師：大家覺得怎樣？

(學生小聲討論，有的頻頻點頭，有的若有所思)

生3：我有疑惑，函數圖象為什么有對稱性？

師：是?。∥液湍阌型瑯拥囊苫?，誰能幫助我們一下呢？

師：生2，你能解釋嗎？

生2：我只是感覺對稱，具體也說不清.

生4：因為y=x2-2x-4與y=x2-5對應的拋物線“開口”大小一樣，故兩拋物線可相互平移得到；又因為y=x2-2x-4(x>1)與y=x2-5(x<0)對應圖象是拋物線的一半，所以圖象是對稱的！

(學生小聲討論，頻頻點頭)

師：很好，問題解決了！(解法)還可以再改進嗎？

生5：在①式的基礎上，只需再增加限制條件

教學思考基于學生思維訓練的變式拓展，要關注變式的系統性、層次性以及思維性，以變式引導學生思考，在拓展中感知問題本質，在解法對比中優化思維品質！

2.2 要科學預設，也要動態生成

葉瀾教授講：課堂應是向未知方向挺進的旅程，隨時都可能發現意外的通道和美麗的圖景，而不是一切都必須遵循固定路線而沒有激情的行程．課堂上學生學習不是預約的，而是學生與教師及同伴思維碰撞、心靈溝通、情感融合的動態過程．課前的“精雕細琢”、科學預設固然重要，但僅僅如此，解題教學必有“以本為本、脫離學生”之嫌！解題教學還應重視學生“原生態”思維，“順藤摸瓜”，積極促進知識、思想、方法的動態生成．

案例2已知函數f(x)=elnx-ax(a∈R)．(1)討論函數f(x)的單調性；(略)

(2)當a=e時，求證：xf(x)≤ex-2ex．

教學片斷

師：是很復雜！那么導致復雜做不下去的原因可能是什么呢？

生2：可能是構造的函數不恰當．

師：有可能！大家再試試！

師：漂亮！變形后式子特點更明顯，放縮也恰到好處！

教學思考數學課堂是一個充滿活力的生命體，預設與生成之間的平衡與突破是個永恒的主題.預設體現對教學目標的把握，生成體現對學生的理解和尊重，預設體現教學的計劃性，生成體現教學的動態與開放．我們必須正視，并以積極、開放、包容的心態去接受和駕馭課堂上的意外插曲，收獲的往往是學生思維的自然流淌．

2.3 要講通性通法，也要講巧解特法

數學解題中，把適用面廣、推理明晰、易被大多數人理解和掌握的解題方法稱為通法；而把適用面窄、運算簡、過程短且較難理解和掌握的方法稱為特法或巧法．通法深刻、穩重、邏輯性強、思維脈絡清晰；“巧法”則靈活、巧變、直覺性強、思維層次高．兩者相互聯系，辯證統一．解題教學時要兩者兼顧.調查顯示，相當部分的教師過于重“通法”而輕“巧法”，這樣的教學對學生思維的靈活性、發散性、創造性的培養必定是缺失的．

A.當k=0時，f(x)是R上的減函數

D.若k=-1，則存在實數a，b，使得g(x)=f(x+a)+b為奇函數

教學片斷(限于篇幅，僅摘錄選項D的教學實錄)

師：(通法)從定義視角，解法如下．

師：若函數圖象中心對稱，那么函數的定義域、值域和對稱中心有什么關系？

生1：定義域關于對稱中心的橫坐標對稱，值域關于對稱中心的縱坐標對稱.

師：能否從這個角度思考呢？

師：很好！這個做法簡單、便捷，幾乎沒什么運算量．

教學思考從思維角度，過于強調通法，易造成思維定勢、思維僵化，通法也就有可能成為“笨法”；從考試角度，通法可能導致“小題大做”．當下的全國高考卷有16道客觀題，特別是多項選擇題，每題有4個選項要逐一考慮，若有很多或全部的“小題大做”，勢必導致時間上的緊迫．因此，通法誠可貴，巧法價亦高！

2.4 要思路分析、過程展示，也要解題反思

波利亞指出：“數學問題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題之后的回顧和反思．”荷蘭著名數學教育家弗賴登塔爾也指出：“反思是數學思維活動的核心和動力．”解題反思不是解題過程的簡單“復盤”，而是反思題目信息的提取、表征的轉化、思維障礙的突破、方法選擇的優劣，在反思中優化思維品質，提升思維能力．

案例4(2020年全國III卷理科第12題)已知55<84，134<85．設a=log53，b=log85，c= log138，則( )．

A.a

C.b

教學片斷(篇幅限制，摘錄難點a和b比較的教學過程)

生1：我嘗試用“作差”比較，但沒做出來．

師：作差比較是基本做法．請問你為什么要用換底公式化簡運算？

生1：把所有對數式化成“同底”.

師：為什么要化成“同底”？

生2：“同底”的對數可以進行運算.

師：什么運算？

生2：加減運算．

師：很好，請繼續思考下去！(學生沉思)

師：漂亮！

師：太精彩了！還有什么想法？

師：再進一步用中間量的話，取什么值？

師：試試看！(學生探究)

師：非常好！接下來請思考以下幾個問題：

反思1 比較b,c，蘊含了怎樣的運算思想方法？

反思2 比較a,b，你在哪兒被“卡”了？

反思3 突破“受阻點”的方法是什么？

反思4 根據a,b,c的結構特點，能否再寫出一個(或幾個)數，且能比較其大小嗎？

(限于篇幅限制，此處的課堂實錄略)

教學思考解題反思是對解題活動的深層次思考，是進一步深化、梳理和提高的過程，是進一步開發解題智力的過程，是一個再發現和再創造的過程．反思解法，可使思維更靈活；反思問題特征，可使思維更廣闊；反思規律，可使思維更深刻；反思條件結論，可使思維更具創造性！

3 基于學生思維訓練的解題教學的思考

3.1 基于學生思維訓練的解題教學要遵循最近發展區原則

維果茨基的最近發展區理論認為，跳一跳能夠得著的知識是最能激發學生學習欲望，也是最能使得數學思維中的態度和品質得到強化、能力和方法得到深化的．學生發展區水平處于“現有發展區→最近發展區→潛在發展區”的動態循環，解題教學唯有明確“現有發展區水平”，找準“最近發展區水平”，才能助學生攀登“潛在發展區水平”．

例如案例1，學生的現有發展區水平是：掌握二次函數圖象的對稱性、單調性，具備數形結合的思想；最近發展區水平有3個層次：(1)拋物線對應的函數值大小與“點軸距”大小的轉化(變式1)；(2)一般軸對稱圖形對應的函數值大小與“點軸距”大小的轉化(變式2)；(3)非軸對稱圖形對應的函數值大小的轉化(變式3)．三個變式，圖形由特殊到一般，抽象性由低到高，難度逐層遞進，最終實現提高學生讀圖能力、優化學生思維品質的目標．

3.2 基于學生思維訓練的解題教學要關注思維品質的辯證統一

一位哲人說過：再好的東西如果“濫用”也是有害的．任何事物都必須辯證地看待，任何方法都必須辯證地運用．共性思維與求異思維，邏輯思維與直覺思維，集中思維與發散思維等，每一種思維品質都“各有千秋”，我們的解題教學不能顧此失彼，而應厘清關系、抓住關鍵、相互滲透、全面培養，讓思維之花在高三數學解題教學課堂上完美綻放！

3.3 基于學生思維訓練的解題教學要突出學生的主體地位

葉瀾教授說：“把課堂還給學生，讓課堂充滿生機．”以思維訓練為應然目標的解題教學，必定是以學生為中心的，教師只是課堂的組織者和促進者．課堂上學生的思考、展示、辨析、討論、反思等活動是課堂的核心環節，教師一方面要舍得給時間讓學生經歷和體驗，另一方面要有提“好問題”的功夫，比如：變式拓展、動態生成、解題反思，等等，學生思維的品質和解題的能力就是在這些活動環節中“潤物無聲”地生長的．