追求自然的數學教學
——以蘇科版九年級“方差”為例*

吳寶瑩 (江蘇省無錫市惠山區教師發展中心 214174) 陳 敏 (江蘇省錫山高級中學 214174)

2021年11月24日—26日，江蘇省初中數學青年教師基本功大賽在江蘇南通舉行，其中上課的課題是“方差”．筆者作為評委參與了大賽的全過程．選手水平良莠不齊，數學教學有失起碼的自然性與合理性．參加省級青年教師基本功大賽的教師尚且如此，其他教師的教學情況可想而知．鑒于此，下面以蘇科版數學九年級上冊方差為例[1]，談一談追求自然的數學教學．

1 存在的問題

1.1 概念的形成缺乏自然性與合理性

1.2 只是照本宣科地“教教材”

不少教師直接簡單地利用教材提供的例子——質檢部門抽取兩個廠的各10只乒乓球的直徑數據，這兩組數據較多，而且相對來說也較大，較為復雜．教材應用的三個層次是教教材、用教材、寫教材，直接應用教材中的例子，按照教材編排的先后順序照本宣科，只能是教材應用的最低層次“教教材”，教材應用的最高境界是“寫教材”，即“得意忘形”[2]：“得其意”——領悟與把握教材的編寫意圖；“忘其形”——不拘泥于教材內容的編排形式，針對學生的實際情況，創造性地使用教材，個性化地“寫教材”．

1.3 把數學概念教學演變成了程式操作

不少教師很快呈現出“方差”的概念與公式，然后是大量的題目跟進，學生進行程序化訓練.這樣的教學追求的是知識取向，不是數學文化取向，短期的教學效果可能是好的(當天的作業、當周的測試等)，但是，因為學生不清楚為什么要學習方差，不了解方差概念是怎樣一步一步產生的，只是老師告訴了他計算方差的方法步驟，題目訓練多了，充其量，他只能算是一個熟練的操作工，而不會成為一名設計師，這種做法不利于長遠的學生數學核心素養的培養．

1.4 沒有形成數據分析的結構化思想

在課堂總結階段，許多教師大都是一些套話：“你今天學習了什么？”“你有什么收獲？”“你想對老師說些什么？”“你想對同學說些什么？”等等，學生你一言我一語，只是停留在知識的碎片化層面，沒有形成利用數據分析、解決問題的一般性結構化思想．

1.5 概念的拓展理解不夠

數學概念的學習一般要經歷了解—理解—見解“三部曲”[3]：了解就是學生要經歷體會概念的產生、發展過程；理解就是學生要弄明白概念的數學本質與邏輯關系；見解就是學生學習了概念以后的反思與收獲、所受的啟發，甚至是質疑與批判．方差較為清晰地反映了一組數據相對于平均數的平均偏差，是一個被廣泛采用的描述數據離散程度的量，但是，它有什么缺點？又如何改進？提出這些問題，可以引導學生思辨“方差”這個描述數據離散程度的量，形成概念學習的自我見解，進行自我建構，發生深度學習，實現知識的個人意義．

1.6 沒有點破方差的本質及其實際生活指導意義

教師只是從數學統計學意義上說明方差是描述一組數據離散程度的量，自始至終沒有點破方差的本質及其對實際生活的指導意義．事實上，方差的本質是對風險的度量，方差越大，說明這件事波動性越大，而風險，本質上指的就是這種波動性．所以，一個隨機事件的方差越大，可能的結果離期望值越遠，就說明它的風險越大．股票與國債、貨幣基金對比，股票起伏不定，就是方差太大，風險太高了．在實際生活中如何抵抗和利用方差呢？在理財投資領域，一方面“不要把雞蛋放在一個籃子里面”，就是基于方差的考量；另一方面就是本錢越多，投資人承受風險的能力就越強，因為他有資本多次試錯，一旦試對了，就會得到可觀的收益，畢竟數學期望是著眼于長期的，適于長期做，即便試錯了，他也有足夠的實力抵御風險壓力，正如風華正茂的同學們，敢闖敢試，敢于質疑，勇于創新才是青春應有的模樣！

2 追求自然的數學教學的兩個特質

“數學是自然的、數學是合理的、數學是有用的”[4]，數學教師要“理解數學、理解學生、理解教學”．追求自然合理的數學教學就是要理解數學、理解學生、理解教學：理解數學就是要遵循數學理論本身的內在邏輯；理解學生就是遵循學生的認知規律；理解了數學、理解了學生，才能理解數學教學.基于理解數學、理解學生、理解教學的數學教學才是自然合理的數學教學，這種自然合理性一般表現為以下兩個特質：

一是遵循數學理論本身的內在邏輯關系．本節課中，對一組數據進行分析，我們一般既要分析數據的集中趨勢，也要描述數據的離散程度，由于之前學生學習過的平均數、眾數、中位數只能描述數據的集中趨勢，所以對數據離散程度的描述需要另外尋求一個新的數學量．從極差—離差—離差的絕對值的平均值(平均差)—離差的平方的平均值(方差)—標準差，教學活動都是遵循數學理論的內在邏輯關系自然合理地逐步展開．

二是遵循學生的認知規律．上述教學活動的每一步都發生在學生原有的知識結構不能解決新問題的最近發展區和時間節點，引起了認知沖突，問題驅動使得學習逐步深入，符合學生的認知心理、認知習慣與認知規律，有利于學生一般意義的數學探究的經驗獲得與積累．

當然，數學理論本身的內在邏輯關系與學生的認知規律的完美結合，是追求自然的數學教學的最高境界．從教學過程看，本節課應達到“知其然，知其所以然，何以知其所以然”的境界，即不僅知道結論正確，還要知道為什么正確，以及怎么知道結論是正確的．事實上，“何以知其所以然”上升到了學生元認知的認識高度．本節課中，一方面，學生不僅知道方差能較好地描述一組數據的離散程度，而且清楚方差相對于極差、離差、平均差，在描述數據的離散程度方面，為什么更有合理性與優越性(這是遵循數學理論本身的內在邏輯)；另一方面，經過認知沖突、問題驅動逐步深入的學習體驗(這是遵循學生的認知規律)，學生深刻明晰了怎么知道“方差”能較好地描述數據的離散程度，即怎么知道結論是正確的，從元認知層面上完成“何以知其所以然”．

3 追求自然的數學教學的“兩條腿”走路

理解數學就是要遵循數學理論本身的內在邏輯，理解學生就是遵循學生的認知規律.理解了數學、理解了學生，才能理解數學教學，才是自然合理的數學教學，所以追求自然合理的數學教學要“兩條腿”走路：一要吃透課程標準，領悟其意義內涵，深度研究分析教材，準確把握數學理論本身的內在邏輯關系，在此基礎上展開教學；二要了解學生的認知心理、認知習慣、認知特點、認知規律，了解學生的最近發展區，清晰學生已有的認知結構與新的數學理論的差異關系，遵循學生的認知規律展開教學．但很多情況下數學理論本身的內在邏輯關系發展和學生的認知規律并不一致，這就要求教師要兼顧這“兩個遵循”，關鍵是彼此的度的把握，這是難點，也是教學水平之所在．其度如何把握，要隨著教學內容、學生、教學方法等教學因素的變化而變化，做到循序漸進、實事求是，但是始終不變的底線原則是“心中有人”，也就是說，教學活動的一切從學生出發，“心中有人”才能“腳下有路”，才能追求自然合理的數學教學．

4 追求自然的數學教學案例分析

針對這次省級青年教師基本功大賽中“方差”課堂教學的主要問題，兼顧遵循數學理論本身的內在邏輯關系和遵循學生的認知規律，綜合各位教師的現場教學情況，下面給出方差教學的主要環節的設計與實施．

4.1 基本情況分析

(1)學生分析.學生已經學習了平均數、中位數和眾數，了解了它們的各自特點，知道這些量是從不同角度描述一組數據的集中趨勢，知道在不同情況下要選擇不同的量來描述．學生對與實際生產生活有密切聯系的統計分析問題表現出較強的興趣，對一組數據有一定的分析能力，也掌握了初步的分析方法，在對一組數據的集中趨勢描述的基礎上，可以進一步描述其離散程度．

(2)教材分析.“方差”是蘇科版數學九年級上冊第三章《數據的集中趨勢和離散程度》的第四節，前三節學習了平均數、中位數和眾數，這些量從不同角度描述了一組數據的集中趨勢，而方差是刻畫一組數據的離散程度的，是從兩個不同的維度進行數據分析的．方差是繼小學階段學習了“統計初步”后的進一步學習，也為高中階段概率與統計的學習奠定基礎．

(3)教學重、難點.重點：方差概念的產生過程；難點：用“方差”描述一組數據離散程度的自然合理性的理解．

4.2 主要教學過程

·溫故知新

師：為了有效地認識、分析和利用數據，我們前面學習了平均數、中位數和眾數，它們各自是怎么定義的？它們在數據分析方面有什么共同功能？又各有什么特點？

學生回憶三者的概念、特點及其刻畫數據的集中趨勢的共同功能．

設計意圖復習平均數、中位數和眾數的概念，它們都能刻畫數據的集中趨勢，又各有特點，在實際應用中，應根據需要恰當選擇．

·問題情境

師：在實際生產生活中，我們不僅需要描述一組數據的集中趨勢，而且還需要描述一組數據的離散程度，如在射擊比賽選手的選拔中，對某個選手的評估，教練不但要看他的平均水平，還要看他發揮的穩定程度．

甲乙兩位射擊選手各射擊5次，其射擊環數分別為3,5,6,7,9；4,5,6,7,8．教練如何選擇？

設計意圖教材提供的例子是質檢部門抽取兩個廠的各10只乒乓球的直徑數據，這兩組數據較多也較大．這里在數據變少、變小的情況下，不妨礙揭示數學問題的本質．

·概念建構

生：經計算后發現，兩組數據的平均數、中位數都一樣，每個數據都只出現了一次，眾數意義也不大！但是，又感覺到數據乙(即選手乙的射擊環數)的波動相對小一些．

師：很好，同學們的數學感覺很敏銳，這是很可貴的！感覺到數據乙的波動相對小一些是不是指數據間的跨度更小一些？

設計意圖學生原有的認知結構解決不了現在的問題了，引起認知沖突，激起學生學習新知解決問題的欲望，學生感覺到數據乙的跨度相對更小一些．所謂數據跨度也就是最大值與最小值的差，極差的概念呼之欲出，另外關于“極”之理解，極者最也．這樣的數學教學，從概念的產生，到概念的理解，兼顧了數學理論本身的內在邏輯關系與學生的認知規律，自然而然．

生：兩組數據的平均數都是6，但數據乙的極差4小于數據甲的極差6，選手乙更穩定一些，選擇乙．

師：另外兩位射擊選手丙和丁各射擊7次，其射擊環數分別為4,5,6,7,8,9,10；4,7,7,7,7,7,10．教練又如何選擇？

設計意圖新的兩組數據的平均數一樣，剛剛學習的極差也一樣，再一次引起認知沖突，解決新問題需要引入新的量，引導學生更深一層的思考．

生：這兩組數據的平均數與極差都一樣，繪制出二者的散點圖，會直觀地會發現，數據丁波動程度小一些．

師：波動程度大與小是不是相對于某個“中間值”而言的？它與每個數據都有關系，散點圖直觀地描述了這兩組數據的波動程度，那如何用數量來描述呢？

生：這個“中間值”我們可以選平均數，計算各組數據中每一個數據與平均數的差．

師：計算出各組數據中每一個數據與平均數的差以后，怎么辦呢？是直接相加嗎？

生：兩組數據的平均數都是7，對數據丙：(4-7)+(5-7)+(6-7)+(7-7)+(8-7)+(9-7)+(10-7)=0；對于數據丁：(4-7)+(7-7)+(7-7)+(7-7)+(7-7)+(7-7)+(10-7)=0，由于相對于平均數波動的正負抵消，兩個計算結果都是0，這個數量與直觀圖的描述不符？！

師：一個數據與平均數的差叫離差，由于離差的正負抵消，掩蓋了數據的離散程度，所以不能用離差描述數據的離散程度．但是，我們要利用離差，又要避免正負抵消，怎么辦呢？

生：計算這些離差的絕對值的和(學生很快地說出)．對數據丙：|4-7|+|5-7|+|6-7|+ |7-7|+|8-7|+|9-7|+|10-7|=12；對數據丁：|4-7|+|7-7|+|7-7|+|7-7|+ |7-7|+|7-7|+|10-7|=6，6<12，這個數量就和直觀圖的描述相符了．

師(追問)：避免正負抵消，除了取絕對值，還有什么辦法？

師(追問)：方差的單位與原始數據的單位有什么改變？怎么辦呢？

學生在體會感悟方差在描述數據離散程度方面的自然合理性的同時，發現方差的單位與原始數據的單位不同，是原始數據單位的平方，于是提出了取方差的算術平方根(很果斷、大膽)．

設計意圖從離差—平均差—方差—標準差，不斷產生認知沖突，邏輯思維循環上升的問題驅動，適時推動學習進展，追求學生的認知規律與數學理論本身的內部邏輯關系的完美結合，自然合理，水到渠成．

·數學運用

學生分析質檢部門抽取兩個廠的各10只乒乓球的直徑數據(教材提供的例子)，判斷哪個廠家生產的乒乓球質量更穩定．

設計意圖通過數據較少的問題情境，成功建構了方差的數學概念后，創造性地使用教材，把教材中的引例后置作為數學運用的例子．由于學生對方差有了自我認知意義，解決新問題就會得心應手．

4.3 教學辨析

為了深入淺出、簡單明了地說明方差概念的產生與發展過程，數據的選取尤為重要．教材中的例子乒乓球直徑數據較多，也較復雜，為了解決這個問題，上述教學過程中采用了射擊選手的射擊環數，這些數據固然很簡單，很容易說明問題，易于學生理解，但是“地氣”不足，是筆者主觀想象產生的，這些數據最好能在簡單明了且能說明問題的前提下，產生于真實的生產生活中，因為畢竟我們學習數學的最終價值，是在新的真實情境下，運用數學的精神、思想、觀點、方法解決實際問題．

4.4 教學結構

圖1 課題研究的四個層次

5 結束語

追求自然的數學教學不可能一蹴而就，它需要一個過程，但是，遵循數學理論的內在邏輯與學生的認知規律應當是我們廣大數學教師矢志不渝的價值追求，每一次上課有一點點向好的改變，都具有重要的現實意義！