導體棒與電容器充放電問題及拓展比較

單文忠

(廣東省深圳市第七高級中學 518104)

含電容器電路問題一直是高考的熱點和難點，原因是在恒定電路時含電容器的支路為斷路，但電容器在充放電時，其電路又是通路.如果電容器與導體棒構成回路，導體棒運動與電容器的充放電相關，解答這類問題需要學生有較高的物理水平，也很能反映學生的物理素養(yǎng).下面筆者從兩個方面以解題形式對此類問題進行深入探討.

1 電容器放電

1.1 對單根導體棒放電

題1如圖1所示為一“電磁槍”，它有一軌距為l、電阻可以忽略的水平導軌，導軌另一端與一個電容為C、所充電壓為U0的電容器相連接，該裝置的電感可以忽略，整個裝置放入均勻的豎直的磁感應強度為B的磁場中，一根無摩擦的質量為m、電阻為R的導體棒垂直軌道放在導軌上，將開關翻轉到b，求導體棒獲得的最大速度vm及這個“電磁槍”的最大效率.

圖1

由于沒有機械能損耗，導體棒會一直勻速運動下去；若軌道與導體棒間有摩擦，則有機械能損失，導體棒最終一定會靜止.若軌道與導體棒間光滑，在電容和導體棒間接一電阻，情況如何？請分析2022全國高考甲卷一道選擇題.

1.2 對電阻與導體棒放電

題2(2022年全國甲卷)如圖2所示，兩根相互平行的光滑長直金屬導軌固定在水平絕緣桌面上，在導軌的左端接入電容為C的電容器和阻值為R的電阻.質量為m、阻值也為R的導體棒MN靜止于導軌上，與導軌垂直，且接觸良好，導軌電阻忽略不計，整個系統(tǒng)處于方向豎直向下的勻強磁場中.開始時，電容器所帶的電荷量為Q，合上開關S后( ).

圖2

B.導體棒MN向右先加速、后勻速運動

C.導體棒MN速度最大時所受的安培力也最大

D.電阻R上產生的焦耳熱大于導體棒MN上產生的焦耳熱

電容器與MN及R構成回路，且一直處于通路形式.當u>Blv時，導體棒受安培力向右且做加速運動，當u=Blv時，導體棒的速度最大，此時導體棒MN上電流瞬時值為零，安培力為零，故答案C錯；當u

在MN加速度階段，由于MN反電動勢存在且導體棒的電阻與電阻R阻值相同，則MN上電流小于電阻R上的電流，電阻R消耗電能大于MN上消耗的電能(即ER>EMN)，故加速過程中，QR>QMN；當MN減速到為零的過程中，電容器的電流和導體棒的電流都流經電阻R形成各自的回路，因此可知此時也是電阻R的電流大，綜上分析可知全過程中電阻R上的熱量大于導體棒上的熱量，故D正確.

上述兩例均為電容器放電使導體棒受安培力而運動的情形，若導體棒受外力做切割磁感線運動，反過來對電容器充電情景如何？請分析以下兩題.

2 電容器充電

2.1 導體棒對電容器充電

題3( 2013年高考新課標Ⅰ卷)如圖3，兩條平行導軌所在平面與水平地面夾角為θ，間距為L，導體上端接有一平行板電容器，電容為C，導軌處于勻強磁場中，磁感應強度大小為B，方向垂直于導軌平面.在導軌上放置質量為m的金屬棒，棒可沿導軌下滑，且在下滑過程中保持與導軌垂直并良好接觸.已知金屬棒與導軌之間的動摩擦因素為μ，重力加速度大小為g，忽略所有電阻，讓金屬棒從導軌上端由靜止開始下滑，求：

圖3

(1)電容器極板上積累的電荷量與金屬棒速度大小的關系；

(2)金屬棒的速度大小隨時間變化的關系.

析與解(1)在金屬棒沿斜面向下運動時，電容器處于充電狀態(tài)，其極板上積累的電荷隨金屬棒的兩端的電壓升高而增多.

故積累的電荷量與速度的關系為：

Q=CU=CBLv

(2)分析題意，假定金屬棒做加速度為a的勻加速下滑運動，據(jù)牛頓第二定律有：

而ΔQ=CΔU=CBLΔv

若把電容器換成電阻或電感線圈，導體棒的最終運動狀態(tài)又如何？請看下題的拓展比較.

2.2 導體棒與電阻、電感線圈構成回路

題4一個磁感應強度為B的勻強磁場，垂直于一軌距為l的導軌平面，軌道平面與水平面有α的傾角.一根無摩擦的導體棒，質量為m，橫跨在兩根金屬導軌上，如圖4所示，若開關依次接通1、2，使阻值為R(其余電阻均不計)、電感為L的元件與棒構成電路，當從靜止放開導體棒后，求棒的穩(wěn)定運動狀態(tài).

圖4

析與解導體棒受一恒力作用，產生動生電動勢，這樣的“電源”與電阻、電感線圈構成電路，在不同的電路條件下會產生不同的效應， 棒的穩(wěn)定狀態(tài)也就不同.

題3是金屬棒在磁場中由于受力運動產生電動勢而對電容器充電，導致金屬棒中有電流而受到安培力作用，看似安培力為變力，實則為恒力，金屬棒做的是勻加速直線運動， 題4是把電容器換成電阻和電感線圈，則導體棒的穩(wěn)定狀態(tài)截然不同.對于物理試題，題設情景差之毫厘則答案謬以千里，所以我們做題時要對試題有敬畏之心，千萬不可操之過急.