例談二元齊次方程條件下最值求解策略

張志剛

(山東省寧陽縣復圣中學 271400)

二元齊次方程條件下的二元函數最值問題作為熱門題型，頻頻出現在高考、競賽、高校強基計劃測試等考試中.該類問題綜合性強、方法靈活、變化多端，要求考生具備較高的邏輯推理、數學運算、數學抽象等核心素養.本文按照二元齊次方程條件的結構特征，將此類試題梳理細化為各種具體題型，再研究各種題型相應的最優或通用的解法，以幫助學生快速甄別題型，按圖索驥，選擇合適的解題策略.

1 已知直線型條件ax+by=c，求f(x,y)的最值

例2(2020年新高考全國Ⅰ卷第11題)已知a>0，b>0，且a+b=1，則( ).

分析通過觀察可以發現，盡管四個選項中表達式的結構類型(如二次多項式、指數式、對數式、根式)不盡相同，但本質上都是在共同的二元一次方程約束條件a+b=1下，探求二元函數的最值問題，于是可以考慮上述構造等差數列的方法.

2 已知(ax+by)(cx+dy)=e，求f(x,y)的最值

例3 (浙江省2020年3月“超級全能生”聯考(B)第10題)已知實數x,y,滿足x2-4xy-5y2=5，則x2+2y2的最小值為____.

解析由x2-4xy-5y2=5，得

(x-5y)(x+y)=5.

聯立上述兩式，解得

代入x2+2y2，得

例4 (2017年清華大學中學生標準學術能力測試第12題)已知實數x，y滿足5x2-y2-4xy=5，則2x2+y2的最小值是____.

解析由5x2-y2-4xy=5，得

(x-y)(5x+y)=5.

聯立上述兩式，

代入2x2+y2，得

3 已知圓型條件(x-a)2+(y-b)2=r2，求f(x,y)的最值

例5 (2020屆高考浙江省寧波市高三上學期期末)已知45x2-12xy+52y2=20，求3x2+4y2的范圍.

解析因為45x2-12xy+52y2=20，

代入3x2+4y2，得

事實上，上述三角代換法也適用于“圓面型”條件下的二元最值問題.

例6 (2020年清華大學強基計劃測試第1題)已知x2+y2≤1，則x2+xy-y2的取值范圍為____.

4 已知橢圓型條件求f(x,y)的最值

代入目標函數式f(x,y)，將二元最值問題轉化為關于θ的一元函數最值問題.

例7(2009年華南理工大學自主招生測試第3題)已知a,b∈R，a2+2b2=6，則a+b的最小值為____.

所以a+b的最小值為-3.

可設x=4+2cosθ，y=3sinθ(0≤θ<π)，

5 已知雙曲線型條件求f(x,y)的最值.

例10 (2008年南京大學自主招生測試第5題)已知實數a,b滿足2b2-a2=4，則|a-2b|的最小值是____.

下同例9.

通過以上各例可以看出，二元齊次方程條件下的二元函數最值問題意蘊豐富，包含函數、方程、不等式、三角代換、解析幾何等高中數學主干知識，綜合應用函數與方程、轉化與化歸、數形結合、分類討論、配方法、換元法、構造法、放縮法、判別式法等數學思想方法，通過多種手段實現消元、降冪、化繁為簡之目的.減元思想是貫穿其中的一條主線.教學過程中，要認真剖析題設條件和結論的結構特征和屬性，及時提取數學模型，從代數消元、三角代換、不等式放縮、幾何意義等視角尋求解題突破口，提升學生的邏輯推理、數學抽象、數學運算、直觀想象等核心素養.