例析高考導數壓軸題中變更主元的幾種視角

魏東升

(福建省廈門雙十中學漳州校區 363107)

函數與導數是培養學生邏輯推理、直觀想象和數學運算等核心素養的主要載體之一，其一直是高考數學考查的重點內容.在處理函數與導數的壓軸題時，對零點的處理往往是一個關鍵環節，有些超越函數(指不滿足任何以多項式作系數的多項式形式的函數，如三角函數、對數函數、反三角函數和指數函數等)的零點確實存在，但無法精確求解，此謂之“隱零點”；有些導數的零點雖然可求，但因含參而需要討論.對于這類問題，常見的處理方式主要有虛設零點、化隱為顯和變更主元三大類.

本文主要探討這類壓軸題中變更主元的幾種處理視角.所謂變更主元，是指有些數學問題中常含變量，在某些情況下若按常規思路確定主元可能會導致問題復雜化，若能針對題目的結構特征人為地突出某個變量的主體地位，將之當作主元構造新的函數，則可達到化繁為簡、化難為易的目的.這種問題解決的思想方法也稱為主元法.

下面結合近幾年的部分高考導數壓軸題來感受這種策略，以供大家參考.

1 變更主元，構超越函數

則g′(a)=lna-ln(2ex).

當a<2ex時，g′(a)<0；

當a>2ex時，g′(a)>0，

所以a=2ex時，g(a)取最小值為

g(2ex)=e2x-2ex.

令h(t)=e2t-2et，則h′(t)=2e2t-2e.

即g(a)≥0.

評注本題常規的一種做法是通過對f(x)進行求導，結合第一問的相關結論發現導函數有隱零點，再虛設零點后進行消“超”代換(指的是把超越函數轉化為普通函數)，得到關于隱零點為自變量的一個雙勾函數，最終利用均值不等式或求導證得.這種方法對學生的能力要求較高，這里采用了重新構造關于變量a的對數超越函數，此法很好地避免了隱零點的出現.

2 變更主元，構冪函數

例2 (2016年全國Ⅲ卷文)設函數f(x)=lnx-x+1．設c>1，證明:當x∈(0,1)時，1+(c-1)x>cx.

證明當x∈(0,1)時，設h(c)=cx-cx+x-1，c>1,

則h′(c)=xcx-1-x=x(cx-1-1)>0.

所以h(c)在[1,+∞)上單調遞增.

所以h(c)>h(1)=0.

所以當c>1，x∈(0,1)時，1+(c-1)x>cx.

評注本題常規的一種做法是通過構造函數g(x)=cx-cx+x-1再進行求導，得到導函數的零點后，再結合前兩問的相關結論對零點的范圍進行放縮，最終利用g(x)的單調性證得.這種方法其實是命題者在“高考要體現選拔功能”的思想引領之下給出的一種證法，這里采用重新構造關于變量c的冪函數，會發現根本不需用到前兩問的結論就使得問題得到完美解決！

3 變更主元,構雙勾函數

證明原不等式等價于證明

因為a<0，

所以原不等式等價于證明

設h(t)=lnt-t+1，

當t<1時，h′(t)>0；

當t>1時，h′(t)<0，

所以h(t)≤h(1)=0．

評注這里的證明思路主要是重新構造關于變量a的雙勾函數，再利用均值不等式實現消參的目的．較之本題的常規做法(即通過直接求導得到f(x)的最值)并沒有優勢，這是因為f′(x)的零點并非是隱零點，它可以直接求出來.這也提醒我們在解題時不要盲目地進行主元的變更，有時變更可以事半功倍，有時卻可能導致事倍功半，所以應該具體問題具體分析．

4 變更主元,構二次函數

所以p(x)≥p(1)=0．

所以q(x)<0．

通過上述幾道真題我們知道，通過變更主元后構造關于新元的超越函數、冪函數、雙勾函數和二次函數等函數進行求解，是處理導數隱零點等問題的常見策略之一．在導數壓軸題的教學過程中，像這樣以專題的形式介紹隱零點問題的處理策略，盡量一次性徹底地解決與其有關的問題，對學生解題水平的提升、邏輯思維的訓練和核心素養的培養，想必都是極好的．