縝密思維 嚴(yán)謹(jǐn)答題
——以一道判斷三角形形狀的問題為例

林國紅

(廣東省佛山市樂從中學(xué) 528315)

數(shù)學(xué)的靈活與嚴(yán)謹(jǐn)，時刻體現(xiàn)在知識的運用和解決問題中，若輕視數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，往往在解決數(shù)學(xué)問題時，會導(dǎo)致解答的過程失之嚴(yán)密完整，而產(chǎn)生遺漏甚至錯誤的結(jié)果.下面以一道判斷三角形形狀的問題為例，說明數(shù)學(xué)解答嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹匾?

1 試題呈現(xiàn)

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

2 兩個錯解

圖1

即b(b+c)(c+a-b)=a(a+c)(b+c-a).

化簡整理,得(a-b)(a2+b2-c2)=0.

故可得a=b或a2+b2=c2.

所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，故選C.

兩式相減，得cosA-cosB=sinB-sinA.

即sinA+cosA=sinB+cosB.

兩邊平方，得1+2sinAcosA=1+2sinBcosB.

即sin2A=sin2B.

從而得2A=2B或2A=π-2B.

所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，故選C.

3 錯因分析

上述兩個解答粗看思路清晰，過程詳盡，似乎正確，但其實兩個解答的過程不嚴(yán)謹(jǐn)，所得的結(jié)論是錯誤的！錯誤的原因是由于利用題目兩個條件的輪換對稱性，導(dǎo)致擴大了解集的范圍，從而得出錯誤的結(jié)論.

4 正確的解法探究

所以△ABC是直角三角形，故選B.

若A=B-C，則B=A+C>|C-A|，與B=|C-A|矛盾，所以A=C-B.

于是由A+B+C=π，得C-B+B+C=π.

所以△ABC是直角三角形，故選B.

兩式相加，得

2(1-sinC)2=2-2sin(A+B)=2-2sinC.

化簡整理，得sinC(sinC-1)=0.

所以△ABC是直角三角形，故選B.

5 兩個錯解的進一步探究

實際上，錯解1與錯解2的推理過程并沒有錯，只是解答不嚴(yán)謹(jǐn)，還沒做完，下面將錯解1的解答過程補充完整(錯解2也可以參照補充完整).

化簡,得2a2=c2.即a2+b2=2a2=c2.

故a=b時，△ABC為等腰直角三角形.

(2)當(dāng)a2+b2=c2時，△ABC是直角三角形.

綜合(1)(2)，可知△ABC是直角三角形，故選B.

圖2

從而有a2+b2=2a2=c2.

故a=b時，△ABC為等腰直角三角形.

(2)當(dāng)a2+b2=c2時，△ABC是直角三角形.

綜合(1)(2)，可知△ABC是直角三角形，故選B.

嚴(yán)謹(jǐn)性是數(shù)學(xué)學(xué)科的基本特點，它不僅要求數(shù)學(xué)結(jié)論的敘述必須精煉、準(zhǔn)確，而且對結(jié)論的推理論證要求既嚴(yán)格又周密，所以在解題過程中要著重因果關(guān)系、條件和結(jié)論的聯(lián)系,縝密思考，注意解答的嚴(yán)謹(jǐn)性，做到不重不漏，經(jīng)得起推敲.