對與圓錐曲線切線有關的一個定值的證明

劉大鵬

(遼寧省黑山縣第一高級中學 121400)

引理2 自拋物線y2=2px(p>0)外一點P(x0,y0)引拋物線的兩條切線的方程為

1 對與雙曲線切線有關的一個定值的證明

證明因為切線l1,l2的方程分別為

根據引理1，過點A(x′,y′)的切線方程為

=0.

聯立直線DE的方程和雙曲線的方程，

所以結論成立.

所以雙曲線上的點(x0,y0)滿足

圖1

證明記過點A的兩條切線分別與雙曲線相切于D，E兩點，設A(x′,y′),D(x1,y1),E(x2,y2),F(x0,y0),因為點A在直線l上，所以點A的極線DE必過直線l的極點，坐標記為(m，n).

因為a2(y0-y1)-x0(x1y0-x0y1)

a2(y0-y2)-x0(x2y0-x0y2)

a2(y0-y1)(my0-nx0)-a2(y0-n)(x1y0-x0y1)

a2(y0-y2)(my0-nx0)-a2(y0-n)(x2y0-x0y2)

因為雙曲線上的點(x0,y0)滿足

聯立直線DE的方程和雙曲線方程

消去y,得

2 對與拋物線切線有關的一個定值的證明

引理4 過點A(x′,y′)作拋物線y2=2px的切線l1,l2,切點為D(x1,y1),E(x2,y2),則有

[yy1-p(x+x1)][yy2-p(x+x2)]

=[yy′-p(x+x′)]2-(y′2-2px′)(y2-2px).

拋物線上的點(x0,y0)滿足

[y0y1-p(x0+x1)][y0y2-p(x0+x2)]

=[y0y′-p(x0+x′)]2.

證明因為切線l1,l2的方程分別為

y1y=p(x+x1),y2y=p(x+x2)，

根據引理2，過點A(x′,y′)的切線方程為

[y′y-p(x+x′)]2=(y′2-2px′)(y2-2px).

設[y′y-p(x+x′)]2-(y′2-2px′)(y2-2px)=μ[y1y-p(x+x1)][y2y-p(x+x2)]，其中μ為常數，等式兩端的x項系數相等，得

2py′2-2p2x′=p2(x1+x2)μ.

聯立直線DE的方程和拋物線的方程，

p2x2-(2py′2-2p2x′)x+p2x′2=0.

所以μ=1.

所以結論成立.

圖2

證明記過點A的兩條切線分別與拋物線相切于D，E兩點，設A(x′,y′),D(x1,y1),E(x2,y2),F(x0,y0),因為點A在直線l上，所以點A的極線DE必過直線l的極點，坐標記為(m，n).

所以l的方程為ny=p(x+m),

AB的方程為y1y=p(x+x1),

AC的方程為y2y=p(x+x2),

BC的方程為y0y=p(x+x0).

因為x0y1-x1y0-x0(y0-y1)

x0y2-x2y0-x0(y0-y2)

(y0-n)(x0y1-x1y0)-(y0-y1)(nx0-my0)

(y0-n)(x0y2-x2y0)-(y0-y2)(nx0-my0)

聯立直線DE的方程和拋物線方程

k2(x-m)2+2(kn-p)(x-m)+n2-2pm=0.

由DE方程為y′y=p(x+x′),

3 對與橢圓切線有關的一個定值的證明

橢圓上的點(x0,y0)滿足

引理5和定理3的證明見文[3].