解三角形的最值問題

馬揚博 王楨宇

(北京市第一七一中學(xué) 100013)

1 試題呈現(xiàn)

圖1

2 試題解析

思路1 向量法.

結(jié)合圖形，構(gòu)造向量表達式，平方可以將向量運算轉(zhuǎn)化為模長運算，得到三角形邊的關(guān)系，通過均值不等式求解即可.

解法1向量圖形運算.

得b2+c2+bc=36.

又因為b2+c2≥2bc,

所以bc≤12,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等號.

解法2 向量圖形運算.

兩式平方相減，得

即2bc=36-a2.

所以b2+c2=bc+a2.

代入a2可得b2+c2+bc=36，后同解法1.

解法3極化恒等式.

所以a2=36-2bc.

后同解法2.

極化恒等式是將向量點積運算轉(zhuǎn)化為三角形邊長運算的重要課本結(jié)論，尤其是本題這種涉及中線長的問題，通過該式可以快速建立運算表達式.

思路2 以角為紐帶聯(lián)系邊長.

解法4 互補的角.

設(shè)∠ADC=θ,∠ADB=φ，

且cosθ+cosφ=0，

所以2b2+2c2=36+a2.

所以b2+c2=bc+a2.

化簡可得b2+c2+bc=36，后同解法1.

互補兩角的正弦值相等，余弦值相反在解三角形中是很常用的，比如證明“角分線性質(zhì)”時就可以用該方法.問題如下：

已知：a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，AD是∠A的平分線.

同學(xué)們快來試試吧.

解法5 算兩次.

所以2b2+2c2=36+a2.后同解法2.

△ABC與△ADC內(nèi)都有∠C，分別在兩個三角形中應(yīng)用余弦定理，以∠C為紐帶聯(lián)系邊長關(guān)系屬于“算兩次”的思想.該方法適用于有兩個不同的三角形共用其中的邊或角的情況，既可以通過角算兩次，也可以通過邊算兩次.

思路3 利用教科書結(jié)論直接尋找邊長關(guān)系.

人教A版教科書必修二第39頁例2證明了“平行四邊形對角線平方和等于四條邊平方和”.本題可以“倍長中線”構(gòu)造一個ABEC，再利用上面結(jié)論解答.

圖2

解法6如圖2，延長AD至點E使AE=2AD.

由上述課本結(jié)論得

2AB2+2AC2=AE2+BC2.

即2b2+2c2=36+a2，后同解法4.

該課本結(jié)論，證明簡單、應(yīng)用方便，其變形形式即為“中線長定理”.人教A版教科書必修第二冊53頁15題給出了該公式：

△ABC的三邊分別為a，b，c，邊BC，CA，AB上的中線分別記為ma，mb，mc，利用余弦定理證明

證明略.

思路4 坐標(biāo)法.

由AD=3，

所以x1x2≤6，

當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時取等號.

綜上所述，本題在△ABC是等腰三角形時取到最大值，解題方法眾多，但也可以看出，向量方法明顯是更為行之有效的，可能這就是教科書沒有把解三角形的知識放在必修一中，而是放在必修二的向量章節(jié)中的原因吧.

四種解題思路也是處理解三角形問題的常用方法，另外，同學(xué)們還要關(guān)注教科書中的常用結(jié)論，寶藏多多，等待大家挖掘.