函數零點問題中參數范圍的解法探究

賀鳳梅

(新疆伊犁鞏留縣高級中學 835400)

1 問題呈現

題目(新疆維吾爾自治區2022年普通高考第二次適應性檢測理科卷第10題)若函數f(x)=x3-ax2+ex-lnx有兩個零點，則a的取值范圍為( ).

2 總體分析

本題題設簡潔，將函數、導數、零點等知識有機結合起來，多層次、多角度地考查了學生的數學思維和核心素養，同時考查了學生利用導數解決問題的能力，對邏輯推理、數學運算等提出了較高的要求.本題解法多樣，可以直接利用參變分離法求解；也可以利用分離函數法解答，利用導數的幾何意義，即切線的斜率求解入手，再從相切逆推至函數圖象相交的情況，進而求出參數的取值范圍；可以根據零點個數，分類討論細化解題，求出a的范圍；作為選擇題，還可以借助題設和選項的特點，利用排除法得出正確答案.但每種方法操作均不容易，在解題過程中會碰到一些障礙.下面具體分享一下，希望能幫助學生找到解決這類問題的突破口.

3 試題解答

視角1 分離參數，構造函數.

解法1 因為x>0，所以函數f(x)=x3-ax2+ex-lnx有兩個零點等價于f(x)=0有兩個正根.

分離參數,得

令h(x)=x3-ex+2lnx-1，則

從而h(x)在(0,+∞)上單調遞增，

①

又當x→0時，

由洛必達法則知g(x)→+∞；

②

當x→+∞時，

則g(x)→+∞.

②

故選B.

下列關于函數f(x)=(2x-x2)ex的判斷正確的是( ).

(1)f(x)>0的解集是{x|0

(3)f(x)沒有最小值，也沒有最大值.

為了降低①的風險，我們有新的處理方式如下：

解法2 結合解法1，

下同解法1.

評注此種處理方法需要較高的觀察能力和配湊思維，值得我們思考和借鑒，提高解題能力.導數中有的零點是較難處理的，需要很多代數技巧作支撐，也要充分利用零點解題，尤其是隱零點，它可以幫助我們化超越函數為基本初等函數，還可能起到降次的作用，整體代換后還可能達到消元的目的.

視角2 分裂原函數，構造新函數.

解法3 令f(x)=x3-ax2+ex-lnx=0(x>0)，

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令φ(x)=2x3-1+lnx，

所以φ(x)=2x3-1+lnx在(0,+∞)上單調遞增，

當x∈(0，x0)時，g′(x)<0，

當x∈(x0，+∞)時，g′(x)>0，

所以g(x)在(x0，+∞)上單調遞增.

整理,得切線斜率

整理,得t3+2lnt-et-1=0.

③

代入直線y=ax-e中，得

故選B.

解法4 由x3-ax2+ex-lnx=0(x>0),得

同理可解.

評注解法4和解法3有異曲同工之妙，本質是兩個函數圖象整體平移，不再贅述，感興趣的同仁可以自行試驗一下.事實上，構造函數沒有特殊的要求，關鍵在于新函數易于研究，直觀形象就好.這一點對學生來說是一個挑戰，形異質同解法會帶來解題創新思路，對學生的能力提升大有裨益.

當然我們也可以直接轉化為函數f(x)=x3-ax2+ex-lnx的圖象與x軸交點的個數，分類討論求出參數a的范圍，此法求解原則上可行，但運算量較大.討論中要保證分類的科學性，做到既不重復，又不遺漏，是求解此問題的關鍵，限于篇幅，不再贅述.

視角3 特值驗證，小題速解.

解法5觀察選項與lnx無關，不妨設f(et)=0，則e3t-ae2t+et+1-t=0.

而a=0時，f(x)=x3+ex-lnx，

又ex>lnx，此時f(x)>0，無零點，不符合題意，排除選項D.

故選B.

評注作為選擇題，為了節約考試時間，我們期待小題能小做，速戰速決，所以結合題設及選項的結構特征，巧妙換元，特征值可排除錯誤選項，進而快速找到正確選項.這也需要學生有扎實的功底，在較短時間內發現非正確項的破綻.

4 高考鏈接

題1(2016年全國Ⅱ卷第21題第(1)問)已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有2個零點.求a的取值范圍；

題2 (2017年全國Ⅱ卷第21題第(2)問)已知函數f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.若函數f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.

通過對此題多種解題方法的探究和比較，能很好地提升學生分析問題和解決問題的能力，逐步培養學生的核心素養，提升學習效率，讓學生所學的知識系統化.另外，分離變量、分離函數借助于數形結合是突破此類題的關鍵，尤其是曲線與直線相切地恰當使用.可以說，題目從知識立意、能力立意向價值引領、素養導向的轉變，很好地體現了試題的甄別功能.因此，我們的教學，絕不能夠僅僅停留在刷題的層面，一定要在能力和素養上下功夫.