“做數(shù)學(xué)”素材的內(nèi)涵、特征與開發(fā)

范韋莉

［摘 要］小學(xué)中的“做數(shù)學(xué)”是指學(xué)生利用各種媒介、工具、材料，通過手腦協(xié)同作用的行為理解知識、探究規(guī)律、解決問題。學(xué)習(xí)素材的開發(fā)是“做數(shù)學(xué)”較好地融入課堂教學(xué)的基礎(chǔ)。文章通過在學(xué)習(xí)素材的內(nèi)涵、特征與開發(fā)等方面進(jìn)行研究，幫助教師提升教學(xué)質(zhì)量，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］做數(shù)學(xué)；素材；內(nèi)涵；特征；開發(fā)

［中圖分類號］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2023）35-0085-03

“做數(shù)學(xué)”是一種具身認(rèn)知，其價值已被廣泛認(rèn)可。“做數(shù)學(xué)”較好融入課堂教學(xué)的基礎(chǔ)是對“做數(shù)學(xué)”素材的開發(fā)。素材的選擇不僅關(guān)系到學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣、動機(jī)及對數(shù)學(xué)的理解，而且直接影響他們學(xué)習(xí)潛能的發(fā)揮，決定著學(xué)習(xí)活動能否生動活潑、富有個性。在基于“做數(shù)學(xué)”進(jìn)行素材開發(fā)時，要重點思考素材開發(fā)的價值、目標(biāo)以及路徑，也就是明確“為何開發(fā)”“開發(fā)時要注意什么”，更要解決“如何開發(fā)”的根本問題。

一、“做數(shù)學(xué)”素材的內(nèi)涵解讀

1.對“做數(shù)學(xué)”的理解

“做數(shù)學(xué)”是以陶行知“教學(xué)做合一”的教育思想為基礎(chǔ)，同時融合了“Hands-on”學(xué)習(xí)理念、杜威的“從做中學(xué)”理念、弗賴登塔爾的再創(chuàng)造思想以及具身認(rèn)知理論的學(xué)習(xí)方式。匹茲堡大學(xué)在QUASAR研究項目成果中提出，“做數(shù)學(xué)”是高認(rèn)知水平層次的任務(wù)，它要求學(xué)生探索和理解數(shù)學(xué)觀念、過程和關(guān)系的本質(zhì)，在多種表達(dá)形式之間建立聯(lián)系。在小學(xué)階段，“做數(shù)學(xué)”是指學(xué)生利用各種媒介、工具、材料，通過手腦協(xié)同作用的行為理解知識、探究規(guī)律、解決問題。“做數(shù)學(xué)”具體包括三個要素。

（1）“做”是關(guān)鍵

學(xué)生應(yīng)在學(xué)習(xí)任務(wù)或問題情境中，調(diào)動各種感官參與數(shù)學(xué)認(rèn)知活動，通過觀察、操作、實驗、猜想、計算、推理、歸納及遷移等獲得對抽象數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)原理的直接體驗。

（2）“思”是核心

學(xué)生在經(jīng)歷“做思共生”的建構(gòu)活動中，認(rèn)識“做數(shù)學(xué)”的價值，產(chǎn)生有質(zhì)量的對話，經(jīng)歷思維的重組，從而掌握解決問題的一般步驟，掌握基本的數(shù)學(xué)方法和創(chuàng)新的學(xué)習(xí)策略。

（3）“創(chuàng)”是目標(biāo)

經(jīng)過充分學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠自主探索未知的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，能運用數(shù)學(xué)的工具、原理、方法和模型解釋現(xiàn)實生活中的問題，能發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)事實或關(guān)聯(lián)，能創(chuàng)造性地解決各種問題。

2.對“做數(shù)學(xué)”素材的理解

從課程的角度看，“做數(shù)學(xué)”素材其實就是一種課程資源。數(shù)學(xué)課程資源是在數(shù)學(xué)課程設(shè)計、實施和評價的過程中各種可利用的顯性的素材、隱性的素材、所需要的條件，以及在此過程中生成的各種可加以利用的資源。因此，“做數(shù)學(xué)”素材既包括實物、學(xué)具、計算器等工具，也包括問題、習(xí)題、情境等材料。

二、小學(xué)“做數(shù)學(xué)”素材的基本特征

為了使學(xué)生對“做數(shù)學(xué)”產(chǎn)生濃厚的興趣，教師應(yīng)首先考慮素材的現(xiàn)實性、趣味性和挑戰(zhàn)性；此外，素材還應(yīng)與學(xué)生的生活經(jīng)驗、活動經(jīng)驗緊密相關(guān)，且要適合嵌入數(shù)學(xué)問題情境，方便設(shè)置探究路徑和空間。具體而言，“做數(shù)學(xué)”素材應(yīng)具有以下基本特征。

1.多元化

“做數(shù)學(xué)”要求學(xué)生借助學(xué)具（如小棒、七巧板、紙片等）或調(diào)動身體（實驗、實踐），以動腦、動手、動口的方式解決問題，從而完成從數(shù)學(xué)操作向數(shù)學(xué)思維建構(gòu)的升華過程。為豐富建構(gòu)過程，教師應(yīng)為學(xué)生提供多元的學(xué)習(xí)素材，如小棒、七巧板、紙片等實物素材，習(xí)題、問題等文本素材，既可以是常規(guī)素材，也可以是非常規(guī)素材，既可以是實物等操作類素材，也可以是題組、問題等思辨類素材。

例如，圍繞“長方體和正方體”內(nèi)容，筆者開發(fā)了“表面涂色的立方體”活動，提供給學(xué)生的素材是問題“一個大長方體，表面涂色后切開成若干塊相同的小正方體，其中三面涂色的小正方體有6塊，這樣的長方體長什么樣？”。

在此之前的學(xué)習(xí)中，學(xué)生接觸到的此類切立方體問題中，三面涂色的小正方體都在大長方體的頂點處，大長方體有8個頂點，因此三面涂色的小正方體有8個。然而，上述提供的素材中三面涂色的小正方體卻只有6個，這與學(xué)生已有認(rèn)知發(fā)生了沖突。這種沖突會引發(fā)學(xué)生的思考，當(dāng)原有的經(jīng)驗無法解決問題時，學(xué)生會借助小正方體這一直觀的幾何模型，通過動手操作、空間想象等方式來擺脫思維定式，將解決問題的過程具體、形象地表達(dá)出來。

2.開放性

提供給學(xué)生的“做數(shù)學(xué)”素材應(yīng)區(qū)別于標(biāo)準(zhǔn)化習(xí)題，要具有更強(qiáng)的開放性，是學(xué)生實踐的直接經(jīng)驗和書本的間接經(jīng)驗整合的結(jié)果。學(xué)生在面對這類素材時，可能會有些擔(dān)心，因為素材本身沒有提供明顯的解決問題的途徑，也沒有可以直接得到答案的用于解決整個問題的步驟。因此，學(xué)生需要運用已有的知識進(jìn)行深入探究。這種學(xué)習(xí)過程曲折且結(jié)果具有多樣性的素材能夠激發(fā)學(xué)生的探究欲望，為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供有力的支撐。

例如，圍繞“用列舉的方法解決問題”內(nèi)容，筆者開發(fā)了開放性問題“怎樣圍面積最大”，設(shè)計了層層遞進(jìn)的素材鏈：①王叔叔用12個1米長的柵欄在空地上圍一個長方形花圃，怎樣圍面積最大？②王叔叔用12個1米長的柵欄圍一個一面靠墻的長方形花圃，怎樣圍面積最大？③如果花圃兩面靠墻呢？學(xué)生要想成功解決這些問題，必須在不斷變化的任務(wù)情境中推理驗證，最終得出一般化的結(jié)論。

3.思考力

在“做數(shù)學(xué)”的過程中，學(xué)生應(yīng)探索和理解數(shù)學(xué)觀念、過程和關(guān)系的本質(zhì)，以深入知識內(nèi)核進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，其重點在于學(xué)生應(yīng)具備獨立或者在適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)下找到內(nèi)隱的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的能力。換言之，“做數(shù)學(xué)”素材，應(yīng)彰顯數(shù)學(xué)本質(zhì)、內(nèi)蘊思考力，促進(jìn)學(xué)生積極思考。因此，教師要加工好適合學(xué)生開展“做數(shù)學(xué)”的學(xué)習(xí)素材，這既能幫助學(xué)生獲得對知識的深刻認(rèn)識，掌握處理新材料、新問題、新情境的方法，又能讓學(xué)生感受到自我知識的局限性，隨著一波三折具有反轉(zhuǎn)活動的徑深，進(jìn)入良性的學(xué)習(xí)循環(huán)。

例如，圍繞“10以內(nèi)數(shù)的分與合”內(nèi)容，筆者開發(fā)了“玩轉(zhuǎn)三角數(shù)圖”活動，將三角數(shù)圖作為素材，讓學(xué)生思考“如何把圓片合理地擺在三角數(shù)圖中？”，并設(shè)計了任務(wù)串：①規(guī)則是什么；②動手?jǐn)[一擺；③說說你的秘訣。當(dāng)學(xué)生能熟練地在三角數(shù)圖中擺放圓片后（三角數(shù)圖及擺放如圖1-1），教師提供了如圖1-2所示的素材，讓學(xué)生思考“為什么剛才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律不適用了？”，隨著學(xué)習(xí)的深入，學(xué)生逐漸能夠探尋到規(guī)則的缺陷，并意識到這與素材本身提供的3個數(shù)的奇偶性有關(guān)，為培養(yǎng)其理性精神奠定了基礎(chǔ)。

三、小學(xué)“做數(shù)學(xué)”素材的開發(fā)路徑

“做數(shù)學(xué)”素材的開發(fā)是通過將素材所承載的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)意識和數(shù)學(xué)情感等元素進(jìn)行整合，把現(xiàn)成的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資源轉(zhuǎn)化為動態(tài)的、適合學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識體系的學(xué)習(xí)內(nèi)容。

1.對教材“動手做”欄目的再組織

（1）欄目分析

“動手做”欄目是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的特色內(nèi)容，通常出現(xiàn)在單元結(jié)束后，是與單元內(nèi)容配套的，全套小學(xué)數(shù)學(xué)教材共安排了37個“動手做”欄目，包含數(shù)據(jù)收集、方案設(shè)計、定期觀察、動手制作、實驗操作、數(shù)學(xué)游戲等。“動手做”欄目中的活動，具有較強(qiáng)的操作性和實踐性，有助于學(xué)生在觀察、操作、實驗的過程中感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，增強(qiáng)實踐意識和動手能力；具有較強(qiáng)的探索性和啟發(fā)性，有助于學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”的過程中發(fā)現(xiàn)和提出問題，感悟數(shù)學(xué)的豐富內(nèi)涵。

然而，有時這個欄目的教學(xué)僅止于學(xué)生文本閱讀層面，雖然學(xué)生對這部分內(nèi)容很感興趣，但缺乏教師的有效指導(dǎo)和學(xué)生之間的互動交流。因此，在研讀教材的過程中，教師應(yīng)聯(lián)系單元整體內(nèi)容以領(lǐng)會教材編寫意圖，對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行合理組織、適度拓展。

（2）欄目使用

深挖素材內(nèi)涵。教材就像一根杠桿，教師對待教材的態(tài)度以及研讀開發(fā)教材的能力就是杠桿的支點，“支點”離學(xué)生越近，教師在教學(xué)活動中付出的價值就越高。因此，教師要理解教材的深層意義，充分挖掘教材的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，從而更好地引導(dǎo)學(xué)生掌握知識、發(fā)展能力。

適度改造素材。根據(jù)學(xué)生情況和教學(xué)需求，教師需要對教材所提供的素材進(jìn)行有選擇、有目的地取舍、開發(fā)和利用。具體地說，就是從整合、拓展和結(jié)構(gòu)化的視角對素材進(jìn)行重組和補充，對知識脈絡(luò)進(jìn)行聯(lián)結(jié)和延伸，對學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行梳理和重構(gòu)。

創(chuàng)新素材使用。教師要對素材實施動態(tài)層面的創(chuàng)新加工，以引導(dǎo)學(xué)生通過“做數(shù)學(xué)”的方式參與到數(shù)學(xué)活動中，使素材本身成為展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識形成過程并促進(jìn)學(xué)生探究的媒介。這樣，可以拉長學(xué)生的探究過程，讓學(xué)生更易掌握知識。

例如，蘇教版教材四年級下冊有一則“動手做”，把一幅圖平均分成4份后打亂，要求學(xué)生經(jīng)過若干次平移和旋轉(zhuǎn)，把圖案恢復(fù)成原本的樣子。

以此素材為基礎(chǔ)，教師可以選擇冬奧會吉祥物為素材，開發(fā)“冰墩墩還原記”一課。教師引導(dǎo)學(xué)生回顧平移和旋轉(zhuǎn)的要素之后，設(shè)計闖關(guān)活動。第一關(guān)：將打亂的冰墩墩圖片還原。引導(dǎo)學(xué)生比較不同的還原方法，讓學(xué)生初步學(xué)會用數(shù)學(xué)語言記錄還原的步驟。第二關(guān)：將一分為二的冰墩墩圖片還原。教師鼓勵學(xué)生尋找最少的還原步驟以及思考這樣做的道理。第三關(guān)：獨立還原一分為四的圖片，先想象、再驗證，記錄操作的步驟。完成以上三個活動，學(xué)生不僅需要不斷嘗試與調(diào)整、比較與優(yōu)化，還需要想象與推理。

2.由例到類對習(xí)題深度挖掘

深入思考是“做數(shù)學(xué)”的關(guān)鍵屬性，它將“做數(shù)學(xué)”與淺顯的實踐操作相區(qū)分，這就帶來了開發(fā)素材的另一視角，即教師可以聚焦某個習(xí)題進(jìn)行深入探討，科學(xué)、合理、有序地組織學(xué)生開展探究活動。具體來說，教師可以運用情境背后的線索，改變習(xí)題的條件或結(jié)論，以“做數(shù)學(xué)”為載體將其轉(zhuǎn)化為開放性的探究素材，引導(dǎo)學(xué)生形成“繼續(xù)思考下去”的數(shù)學(xué)思維方式，促進(jìn)學(xué)生對知識之間關(guān)聯(lián)性理解。通過聯(lián)想、類比、推廣、演變，學(xué)生可以在數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)中建立獨特的發(fā)現(xiàn)問題方式和思考路徑。

例如，認(rèn)識完“千以內(nèi)的數(shù)”，學(xué)生遇到一道思考題：“在計數(shù)器上表示212要用5顆算珠，那么用5顆算珠還可以表示哪些三位數(shù)？”為了引導(dǎo)學(xué)生探討用若干顆算珠在計數(shù)器上表示三位數(shù)的問題，筆者以“用若干顆算珠在計數(shù)器上表示三位數(shù)，有多少種方法”為問題引領(lǐng)，開發(fā)了“神奇的組數(shù)問題”一課。

簡單探索后，有學(xué)生提出了“算珠越多，算珠能表示的三位數(shù)的個數(shù)越多”，馬上有學(xué)生反駁“用27顆算珠時，只有1種方法，即每個數(shù)位上都有9顆算珠，只能表示999”，這一觀點引發(fā)了熱烈討論，在新的探究中，有的學(xué)生驗證了用25顆算珠、26顆算珠的情況，覺察“隨著用的算珠變多，組成的三位數(shù)的個數(shù)可能先變多再多少”，并猜想1～27的中間數(shù)14是一個反轉(zhuǎn)數(shù)。為了確認(rèn)這一想法，學(xué)生合作列舉出所有的數(shù)據(jù)。仔細(xì)觀察這些數(shù)據(jù)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，用1～14顆算珠表示時，算珠越多，算珠能表示的三位數(shù)的個數(shù)越多，從14顆算珠開始，算珠越多，算珠能表示的三位數(shù)的個數(shù)越少。

由教材問題延伸的“做數(shù)學(xué)”，過程為“自主感悟—萌生猜想—分析驗證—修正猜想—成功體驗”。在這個過程中，學(xué)生積極猜想，意識到驗證猜想的重要性，并在驗證中完善與修正猜想。

總的來說，開發(fā)“做數(shù)學(xué)”素材必須以基礎(chǔ)性課程的目標(biāo)和要求為基礎(chǔ)，其目標(biāo)是發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，其課程內(nèi)容是對基礎(chǔ)性課程的延伸、補充、拓展和整合。要有效開發(fā)“做數(shù)學(xué)”素材，還需廣大教師繼續(xù)探索和創(chuàng)新。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 中華人民共和國教育部.義務(wù)教學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2] 斯登（Stern，M.K.）.實施初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)案例［M］.李忠如，譯.上海：上海教育出版社，2001.

[3] 章建躍.“做數(shù)學(xué)”的育人價值探討[J].教育研究與評論，2021（3）：27-29.