追求算理一致性的“小數(shù)除法”單元整體設(shè)計(jì)與實(shí)踐

朱曙光　王國(guó)建

［摘 要］單元整體設(shè)計(jì)是優(yōu)化單元知識(shí)的教與學(xué)的過(guò)程，是課程整合的基本形式之一。通過(guò)對(duì)“小數(shù)除法”這一單元內(nèi)容進(jìn)行縱橫分析，并在此基礎(chǔ)上建立單元內(nèi)外知識(shí)之間的聯(lián)系，從而對(duì)單元的課時(shí)內(nèi)容進(jìn)行更為合理的布局，進(jìn)而在教學(xué)中實(shí)現(xiàn)單元教學(xué)目標(biāo)，凸顯算理的一致性。

［關(guān)鍵詞］算理；一致性；小數(shù)除法；整體設(shè)計(jì)

［中圖分類(lèi)號(hào)］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A［文章編號(hào)］ 1007-9068（2023）35-0036-03

“小數(shù)除法”是人教版教材五年級(jí)上冊(cè)第三單元的教學(xué)內(nèi)容，其中，掌握小數(shù)除法的算法和算理是本單元教學(xué)的重點(diǎn)。筆者從單元整體的角度出發(fā)，提煉核心概念，對(duì)單元的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整體性設(shè)計(jì)，溝通小數(shù)除法與整數(shù)除法之間的聯(lián)系，打通單元內(nèi)部知識(shí)的脈絡(luò)，進(jìn)而讓學(xué)生感悟算理的一致性。

一、橫縱分析，整體構(gòu)建單元知識(shí)體系

1.橫向分析——找準(zhǔn)各課時(shí)之間的聯(lián)系

在同一個(gè)教學(xué)單元中，各個(gè)課時(shí)的知識(shí)內(nèi)容之間存在著密切的聯(lián)系，這些知識(shí)點(diǎn)相互銜接，共同組成一條知識(shí)鏈。

學(xué)習(xí)小數(shù)除法的前提是掌握整數(shù)除法和小數(shù)的意義?！靶?shù)除法”整個(gè)單元以“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”為起始課，“一個(gè)數(shù)除以小數(shù)”是“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”的變式，其他內(nèi)容則是這兩種除法的商的多種情形與應(yīng)用。可見(jiàn)，掌握小數(shù)除法的算法和算理是本單元的重點(diǎn)。小數(shù)除法的算理和算法與整數(shù)除法大致相同，唯一不同的是小數(shù)除法需要考慮小數(shù)點(diǎn)。因此，本單元教學(xué)的核心要義是將整數(shù)除法的算理和算法遷移到小數(shù)除法中。

2.縱向分析——明確單元的地位與作用

教師梳理與對(duì)比所有相關(guān)的單元，厘清教學(xué)的前后順序，尋找知識(shí)的發(fā)展脈絡(luò)，了解本單元在整個(gè)知識(shí)體系中的作用。這有助于教師明確本單元的教學(xué)目標(biāo)與重難點(diǎn)，明確之前的教學(xué)內(nèi)容對(duì)開(kāi)展本單元教學(xué)的影響。同時(shí)，教師需要明確本單元的知識(shí)應(yīng)該掌握到什么程度，才能有序推動(dòng)整個(gè)知識(shí)體系的構(gòu)建。筆者對(duì)小學(xué)階段與“小數(shù)除法”相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行了梳理（見(jiàn)表1）。

從表1中可以看出，“表內(nèi)除法（一）”是學(xué)生學(xué)習(xí)小數(shù)除法的起點(diǎn)，小數(shù)除法的學(xué)習(xí)建立在整數(shù)除法的基礎(chǔ)上。因此，對(duì)整數(shù)除法算法和算理的掌握情況將直接影響小數(shù)除法的學(xué)習(xí)。

二、合理布局，重新構(gòu)建單元教學(xué)內(nèi)容

1.基于核心概念，確定單元教學(xué)目標(biāo)

“一個(gè)數(shù)除以小數(shù)”是基于“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”的遷移，而“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”是基于“整數(shù)除法”的遷移，歸根結(jié)底，“一個(gè)數(shù)除以小數(shù)”是基于“整數(shù)除法”的遷移。由此，筆者確立了“小數(shù)除法”的單元與課時(shí)核心概念（見(jiàn)表2）。

基于以上分析，筆者從知識(shí)技能、意義理解、思想方法和情感態(tài)度四個(gè)方面來(lái)描述單元教學(xué)目標(biāo)（見(jiàn)表3）。

2.基于橫縱梳理，調(diào)整單元課時(shí)內(nèi)容

根據(jù)對(duì)知識(shí)內(nèi)容的橫縱梳理，筆者對(duì)“小數(shù)除法”的單元教學(xué)進(jìn)行了整體重構(gòu)，將新課教學(xué)分成四個(gè)板塊，分別是“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”“一個(gè)數(shù)除以小數(shù)”“循環(huán)小數(shù)與算式規(guī)律”和“商的選擇與應(yīng)用”。在重構(gòu)后的教學(xué)設(shè)計(jì)中，筆者將原先的“商的近似數(shù)”教學(xué)內(nèi)容調(diào)整至“循環(huán)小數(shù)”和“用計(jì)算器探索規(guī)律”之后，并將這三種求商近似數(shù)的方法整合到同一教學(xué)板塊中。具體構(gòu)思見(jiàn)表4。

這四個(gè)教學(xué)板塊中，第一、第二個(gè)板塊兩種小數(shù)除法是本單元的教學(xué)重點(diǎn)。第三個(gè)板塊是在計(jì)算小數(shù)除法的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探討商的另一種形式——循環(huán)小數(shù)，并探究算式中商的規(guī)律。第四個(gè)板塊是引導(dǎo)學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)根據(jù)實(shí)際情況靈活選擇“四舍五入”法、“進(jìn)一法”或“去尾法”來(lái)處理商。

三、整體設(shè)計(jì)，精準(zhǔn)落實(shí)單元教學(xué)目標(biāo)

1.單元導(dǎo)讀，整體感知基本內(nèi)容

單元導(dǎo)讀可以幫助學(xué)生明確單元學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，理解單元知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)以及它們與之前所學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系。

單元導(dǎo)讀可以這樣安排：

（1）初讀單元內(nèi)容，本單元主要學(xué)習(xí)哪些知識(shí)？

（2）再讀單元內(nèi)容，你覺(jué)得本單元的知識(shí)之間存在怎樣的聯(lián)系？哪幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系最密切？本單元學(xué)習(xí)的內(nèi)容跟之前學(xué)習(xí)的什么內(nèi)容有關(guān)？

“小數(shù)除法”的單元導(dǎo)讀有助于學(xué)生從整體上把握整個(gè)單元的知識(shí)脈絡(luò)與學(xué)習(xí)內(nèi)容，使學(xué)生對(duì)小數(shù)除法的知識(shí)結(jié)構(gòu)形成初步認(rèn)知。

2.分步學(xué)習(xí)，自然建構(gòu)知識(shí)體系

（1）在比較中溝通知識(shí)的“聯(lián)”

“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”是“小數(shù)除法”單元的起始課，它的學(xué)習(xí)以整數(shù)除法為基礎(chǔ)，因此，教師在教學(xué)中應(yīng)以整數(shù)除法為切入口，通過(guò)聯(lián)系整數(shù)除法和小數(shù)除法來(lái)激活學(xué)生的思維，促進(jìn)知識(shí)的正向遷移，實(shí)現(xiàn)前后知識(shí)的自然對(duì)接。這樣，單元的起始課便有了學(xué)習(xí)的著力點(diǎn)。

[例題]王鵬堅(jiān)持晨練，計(jì)劃4周跑步22.4km，他平均每周應(yīng)跑多少千米？

學(xué)生都列出了算式“22.4÷4”，具體計(jì)算時(shí)出現(xiàn)了5種方法（如圖1）。

①22.4km=22400m，22400÷4=5600m=5.6km

②22.4÷4=20÷4+2.4÷4=5+0.6=5.6km

③22.4÷4=5.6? ?④22.4÷4=5.6? ?⑤22.4÷4=5.6

筆者引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這5種方法進(jìn)行三次比較，以便學(xué)生發(fā)現(xiàn)整數(shù)除法和小數(shù)除法之間的聯(lián)系和區(qū)別，實(shí)現(xiàn)算理和算法的遷移，從整體上認(rèn)識(shí)除法運(yùn)算，將除法運(yùn)算的知識(shí)融會(huì)貫通。

比較一：這些方法中哪幾種比較相似？請(qǐng)按照方法的相似性將它們歸類(lèi)。

比較二：觀察方法4和方法5，在一步一步除的時(shí)候，下面到底是寫(xiě)2.4還是24？

比較三：為什么方法5的商有小數(shù)點(diǎn)，方法3的商沒(méi)有？小數(shù)點(diǎn)該怎么點(diǎn)？

新知的學(xué)習(xí)建立在舊知上，通常需要對(duì)舊識(shí)進(jìn)行正向的遷移。轉(zhuǎn)化正是實(shí)現(xiàn)正向遷移的重要方式。轉(zhuǎn)化的實(shí)現(xiàn)需要教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較、辨析，發(fā)現(xiàn)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系。

（2）在轉(zhuǎn)化中凸顯知識(shí)的“通”

將已學(xué)的單元知識(shí)遷移到新授單元的知識(shí)學(xué)習(xí)中，讓學(xué)生感受知識(shí)間的相通性，不僅有助于學(xué)生鞏固舊知識(shí)，還有助于學(xué)生更好地理解新知識(shí)，從而更靈活地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)。

[例題]奶奶編“中國(guó)結(jié)”，編一個(gè)要用0.85m絲繩。用7.65m絲繩可以編幾個(gè)“中國(guó)結(jié)”？

筆者首先組織學(xué)生圍繞“7.65÷0.85與我們學(xué)過(guò)的小數(shù)除法有什么不同”這一問(wèn)題展開(kāi)探究和交流。然后，闡述小數(shù)除法的基本方法，將除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法轉(zhuǎn)化為除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法，即利用商不變的性質(zhì)將“7.65÷0.85”轉(zhuǎn)化為“765÷85”。最后，讓學(xué)生根據(jù)除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法的算法進(jìn)行計(jì)算。通過(guò)轉(zhuǎn)化讓學(xué)生體會(huì)到兩種小數(shù)除法之間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的自然過(guò)渡，從而幫助學(xué)生更全面地理解和掌握小數(shù)除法的計(jì)算方法。

（3）在銜接中體現(xiàn)知識(shí)的“順”

在單元教學(xué)中，教師應(yīng)將單元內(nèi)的知識(shí)串成一條知識(shí)鏈，從一個(gè)知識(shí)點(diǎn)過(guò)渡到另一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)應(yīng)自然，體現(xiàn)單元知識(shí)點(diǎn)銜接的順暢性。

[例題]爸爸要給王鵬買(mǎi)羽毛球，羽毛球一筒19.4元，有12個(gè)。

（1）每個(gè)羽毛球大約多少錢(qián)？

（2）爸爸帶了115元錢(qián)，可以買(mǎi)多少筒？

（3）王鵬將用過(guò)的羽毛球放回球筒中，65個(gè)羽毛球要幾個(gè)球筒才能裝完？

“商的近似數(shù)”的教學(xué)內(nèi)容涉及循環(huán)小數(shù)，因此筆者將此內(nèi)容的學(xué)習(xí)調(diào)整到“循環(huán)小數(shù)”之后。在這一課的教學(xué)中，筆者出示上述例題讓學(xué)生列式計(jì)算。學(xué)生計(jì)算第（1）題后發(fā)現(xiàn)商是一個(gè)循環(huán)小數(shù)，筆者順勢(shì)提問(wèn)：“在現(xiàn)實(shí)生活中，錢(qián)數(shù)可以是循環(huán)小數(shù)嗎？”學(xué)生馬上意識(shí)到，題目問(wèn)的是“大約多少錢(qián)”，要用“四舍五入”法求商的近似數(shù)。在學(xué)生掌握了用“四舍五入”法求商的近似數(shù)之后，筆者繼續(xù)提問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生思考和探討不同情況下求商的近似數(shù)的方法。

在“雙新”背景之下，對(duì)單元整體教學(xué)進(jìn)行研究是大勢(shì)所趨。無(wú)論單元知識(shí)屬于哪一個(gè)知識(shí)體系，單元整體設(shè)計(jì)中對(duì)教材處理的基本原則都是提煉核心問(wèn)題、確定整體目標(biāo)、關(guān)注前后內(nèi)容、確定單元課時(shí)，在知識(shí)與知識(shí)的關(guān)聯(lián)中凸顯數(shù)學(xué)原理的一致性與整體性。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 張丹.數(shù)與代數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的內(nèi)容主線(xiàn)和教學(xué)建議[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2010（7）：45-82.

[2] 邵漢民.重構(gòu)順序分解難點(diǎn)：“角的度量”單元整體重構(gòu)與預(yù)學(xué)作業(yè)的設(shè)計(jì)[J].教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2017（Z2）：40-43.

[3] 邵漢民.“預(yù)學(xué)后教”策略下關(guān)注“聯(lián)系”的期末復(fù)習(xí)：以“小數(shù)乘、除法”復(fù)習(xí)為例[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2015（1）：54-58.

[4] 人民教育編輯部.教學(xué)大道：寫(xiě)給小學(xué)數(shù)學(xué)教師[M].北京：高等教育出版社，2010.