淺談動點(diǎn)軌跡之隱圓問題

張曉會

(廣東省中山市第一中學(xué) 528400)

下面以近兩年的中考題為例，淺談動點(diǎn)軌跡的隱圓問題.

1 緊扣定義，直接作圓

例1(2020廣東)有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最小時撲捉．把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內(nèi)的線或點(diǎn)，模型如圖1，∠ABC=90°，點(diǎn)M，N分別在射線BA，BC上，MN長度始終保持不變，MN=4，E為MN的中點(diǎn)，點(diǎn)D到BA，BC的距離分別為4和2．在此滑動過程中，貓與老鼠的距離DE的最小值為____．

圖1 圖2

變式練習(xí)1例1中條件不變，求點(diǎn)E的運(yùn)動路徑的長度.

2 定弦定角，勾勒定圓

例2(2021廣東)在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=3，點(diǎn)D為平面上一個動點(diǎn)，∠ADB=45°，則線段CD長度的最小值為____.

圖3 圖4 圖5 圖6

變式練習(xí)2 例2中條件不變，求線段CD長度的最大值為____.

變式練習(xí)3 已知點(diǎn)E在等邊ΔABC內(nèi)部運(yùn)動，∠AEB=150°，若AB=1，則點(diǎn)E的運(yùn)動路徑長度為____.

圖7 圖8 圖9

變式練習(xí)4 已知AB=3，C為平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足∠ACB=120°，則點(diǎn)C到AB的最大距離為____.

知識拓展由特殊到一般，可將變式練習(xí)4中的條件放寬為：已知線段AB=a,動點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足∠APB=α，則可構(gòu)造出P點(diǎn)運(yùn)動軌跡所在的圓弧(記圓心為O)，圓心O在AB的垂直平分線上， 圓心角∠AOB=2α(比如，α=90°時如圖10；α=45°時如圖5；α=150°時如圖7)，然后可求出點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡長度，以及相應(yīng)線段的最值問題.不難發(fā)現(xiàn)：當(dāng)α為直角時，動點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡是一個圓(如圖10)；當(dāng)α為銳角時，動點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡是兩段對稱的優(yōu)弧(如圖11)；當(dāng)α為鈍角時，動點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡是兩段對稱的劣弧(如圖12).

圖10 圖11 圖12

3 活用對角，呈現(xiàn)共圓

例3如圖13所示，△ABC中，AH是高，AT是角平分線，且TD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，TE⊥AC，垂足為點(diǎn)E.求證：∠AHD=∠AHE.

圖13 圖14

解析由已知結(jié)合四邊形內(nèi)角和可得∠BAC+∠DTE=180°，即有四邊形ADTE對角互補(bǔ)，所以A,D,T,E四點(diǎn)共圓，且AT是直徑，進(jìn)而得出H也在此圓上，如圖14，原問題即轉(zhuǎn)化為證兩個圓周角相等.

圖15 圖16

4 定長等角，巧用隱圓

例4如圖17，在△ABC中，AB=AC，任意延長CA到點(diǎn)P，再延長AB到點(diǎn)Q，使AP=BQ，求證：△ABC的外心O與A、P、Q四點(diǎn)共圓.

圖17 圖18

解析由已知可得PC=AQ，如圖18，連接OA，OC,OP,OQ,有OA=OC，所以∠OCA=∠OAC=∠QAO,進(jìn)而可證△OCP≌△OAQ，所以∠CPO=∠AQO，而∠CPO與∠AQO均為固定線段AO所對的角，所以O(shè)與A、P、Q四點(diǎn)共圓.

變式練習(xí)6 如圖19，點(diǎn)O是△ABC的外心，∠BAC=60°，BD和CE是△ABC的高且交于點(diǎn)H，在BD上截取BM=CH.(1)求證：∠BOC=∠BHC；(2)求證：△BOM≌△COH.

圖19 圖20

解析(1)由圓的性質(zhì)有∠BOC=2∠BAC=120°，由四邊形內(nèi)角和有 ∠BHC=∠EHD=360°-∠AEC-∠ADB-∠BAC=120°，所以∠BOC=∠BHC.

(2)類似于例4，∠BOC與∠BHC均為固定線段BC所對的角，且∠BOC=∠BHC，所以B、C、H、O四點(diǎn)共圓(如圖20)，因此∠OBH=∠OCH，所以△BOM≌△COH(SAS).

5 抽絲剝繭，回歸根本

與動點(diǎn)隱圓軌跡相關(guān)的證明題還有很多，也有不少題目的解題方法比較巧妙，這里不一一列舉.通過以上幾個中考題以及變式的分析，不難發(fā)現(xiàn)動點(diǎn)軌跡的隱圓問題，從本質(zhì)上來講，就是對與圓的定義以及相關(guān)性質(zhì)的靈活運(yùn)用，可以將其歸納為四類：(1)從定義出發(fā)，定點(diǎn)、定長得定圓弧；(2)從弦與圓心角、圓周角性質(zhì)出發(fā)：定弦定角得定圓弧；(3)四邊形內(nèi)對角分別互補(bǔ)，則該四邊形的四個頂點(diǎn)共圓；(4)同一固定線段所對的角相等，則該線段兩個端點(diǎn)和其所對等角的頂點(diǎn)共圓.

動點(diǎn)對學(xué)生的綜合能力要求比較高，題目中 “不動”的條件尤為重要，需要學(xué)生以此為出發(fā)點(diǎn)，快速地在自己的知識體系中檢索出與之相關(guān)的知識點(diǎn)，進(jìn)行發(fā)散思維，并快速推導(dǎo)出相應(yīng)結(jié)論.所以在平時教學(xué)中，教師要有意識地引導(dǎo)學(xué)生加深對課本定義以及性質(zhì)的理解，要注重知識的生成過程，強(qiáng)化學(xué)生對于性質(zhì)、定理的靈活運(yùn)用，并在學(xué)生熟練掌握的基礎(chǔ)上，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維和基本的構(gòu)圖能力.