轉臺-陀螺飛輪標定系統誤差靈敏度分析方法

趙昱宇，李冠璁，崔家山，王雨瀟

(1.中國民航大學 電子信息與自動化學院，天津 300300；2.西安電子科技大學 空間科學與技術學院，西安 710126)

1 引言

陀螺飛輪是一種新型姿態控制執行與測量一體化裝置，它具有高集成度、低成本的優點，在微小航天器中具有廣闊的應用前景[1-2]。作為姿態敏感器，盡管陀螺飛輪與傳統機械陀螺儀有相似之處，但為兼顧姿控力矩輸出，陀螺飛輪的轉子尺寸、質量和轉動慣量比傳統陀螺儀放大近千倍[3-4]。在系統結構偏差和環境干擾等因素的影響下，相比于傳統陀螺儀，作用于陀螺飛輪的干擾力矩也大幅增加，其漂移誤差更為顯著，誤差模型中所包含的誤差項也更為復雜[5]。

為使陀螺飛輪實現較高精度的姿態測量，通常利用轉臺進行多位置標定試驗，以實現漂移誤差的標定與補償[6]。受伺服控制精度、加工制造與裝配工藝水平等的限制，標定系統不可避免受到多種誤差因素的影響[7]。相比于傳統陀螺儀，標定系統的多種誤差因素會給陀螺飛輪的標定精度帶來更為顯著、不容忽視的影響。因此，有必要研究多種誤差因素對轉臺-陀螺飛輪標定系統的影響，通過誤差建模與誤差靈敏度分析，為陀螺飛輪標定精度的提升提供有效指導。

在轉臺誤差對傳統慣性儀器標定精度的影響分析方面已有較多研究成果，文獻[8-9]分別分析了典型轉臺誤差因素對MEMS陀螺和激光陀螺標定精度的影響；文獻[10-11]主要探討了轉臺不正交度、定位精度等因素對慣性測量單元標定精度的影響；文獻[12]則針對液浮陀螺儀提出了一種降低轉臺誤差影響的標定策略。上述研究成果為標定試驗設計、標定精度提升提供了理論支撐，但它們多局限于單個誤差因素或部分誤差因素的討論，缺少對誤差因素的全面分析和對多誤差因素共同作用下誤差傳遞機理和誤差靈敏度的討論。此外，現有文獻多在已知待標定參數量級的前提下給出定量分析結果，相關方法和結論往往推廣性較差。而陀螺飛輪作為一種新型慣性儀器，為保證其標定精度，文獻[6,13]從多元回歸數據處理的角度分別對標定方案和標定參數解算進行了研究，其他相關研究成果較少。

因此，本文綜合考慮轉臺自身的定位誤差、軸線回轉誤差、垂直度誤差、相交度誤差、以及轉臺與陀螺飛輪間的安裝誤差等因素的影響，研究多誤差因素作用下的誤差傳遞機理。針對標定系統誤差因素較多、誤差傳遞模型非線性、誤差變化范圍較大的問題，給出全局誤差靈敏度分析方法，以實現關鍵誤差因素的辨識，為標定系統誤差指標的確定、標定試驗的優化設計等提供理論支撐。

2 陀螺飛輪標定原理

陀螺飛輪是一種適用于微小航天器的新型姿態測控一體化裝置，其結構如圖1所示[2]。結構非理想因素、外部環境等會導致干擾力矩作用于陀螺飛輪轉子，從而引起漂移誤差。為實現較高精度的姿態測量，需要進行多位置試驗對其漂移誤差進行標定，以實現漂移誤差的補償，含有補償項的測量方程可簡化描述為[5]

圖1 陀螺飛輪結構示意圖

(1)

式(1)中: ωbx,ωby為外部輸入角速度；Tcx,Tcy為兩軸控制力矩；方程中其余項表示漂移誤差，其ax,ay,az分別為沿陀螺飛輪三軸的加速度分量，dx(·),dy(·)分別代表陀螺飛輪兩敏感軸的漂移誤差系數，其下標表示該誤差項與加速度的相關性。

在地面測試環境中可以利用兩軸轉臺提供精確的位置基準，陀螺飛輪作為轉臺負載，通過夾具固裝于轉臺內環，轉臺與陀螺飛輪的初始安裝示意圖由圖2給出。

圖2 轉臺與陀螺飛輪安裝示意圖

通過將轉臺按照標定路徑轉動到多個位置，可以使陀螺飛輪在不同位置敏感不同的重力加速度和地球自轉角速度分量，從而根據測量方程建立如式(2)所示的多元回歸模型，合理設計標定位置可使式(2)滿足有解條件，則可通過解算式(2)實現對漂移誤差系數的標定：

yg=Agβg+eg

(2)

式(2)所示的多元回歸模型中，βg為待標定的誤差參數向量，eg為觀測誤差向量，而系數矩陣Ag和觀測向量yg中的各元素則由重力加速度和地球自轉角速度在各標定位置的投影分量決定。

可見，重力加速度分量和地球自轉角速度分量是陀螺飛輪的標定基準量，它們在不同標定位置的取值取決于轉臺通過內外環旋轉而提供的不同姿態。實際系統受多種誤差因素的影響，在標定試驗中，陀螺飛輪三軸的實際指向必然與理想值間存在偏差，使得標定基準量存在誤差，從而影響陀螺飛輪的標定精度。因此，為有針對性地提升標定精度，第2節考慮標定系統的多種誤差來源，建立誤差傳遞模型，以獲得多誤差因素與標定基準量誤差之間的映射關系。

3 標定系統誤差建模

3.1 標定系統誤差來源

轉臺-陀螺飛輪標定系統的誤差來源包括：轉臺定位誤差、轉臺軸系回轉誤差、轉臺垂直度誤差、轉臺相交度誤差以及陀螺飛輪安裝誤差。為便于后續進行誤差描述和建模，將上述誤差因素總結如表1所示。

表1 標定系統的誤差因素

3.2 基于多體系統理論的誤差模型推導

將轉臺-陀螺飛輪標定系統視為多剛體系統，基于多體系統理論對其誤差模型進行推導。

為便于誤差描述和建模，定義如下坐標系：基座坐標系F0:O0X0Y0Z0，外環坐標系F1:O1X1Y1Z1，內環參考坐標系F2:O2X2Y2Z2，內環坐標系F3:O3X3Y3Z3，以及負載坐標系F4:O4X4Y4Z4。坐標系F0,F1,F3,F4分別與轉臺基座、轉臺外環、轉臺內環、陀螺飛輪固連，F1的x軸與轉臺外環軸線方向一致，F3的z軸與轉臺內環軸線方向一致。坐標系F2與F1間的變換體現轉臺內外環軸間的垂直度和相交度誤差。設轉臺外環軸和內環軸的期望轉角分別為φ1和φ2，標定系統的誤差因素如表1所述，則相鄰坐標系間的相對運動關系如圖3所示。

圖3 相鄰坐標系之間的運動關系

根據多體運動學理論，相鄰兩坐標系Fi→Fi+1的相對位姿變換關系可用齊次變換矩陣表示，記作iTi+1。則基座坐標系與外環坐標系間的變換關系為

(3)

外環坐標系與內環參考坐標系間的變換關系為

(4)

內環參考坐標系與內環坐標系間的變換關系為

(5)

內環坐標系與負載坐標系間的變換關系為

(6)

定義Td,Tt分別為理想情況下和多誤差因素作用下陀螺飛輪相對于慣性坐標系的位姿變換矩陣，則

(7)

(8)

考慮多位置標定試驗中，轉臺負載端的姿態誤差會影響陀螺飛輪三軸敏感的地球自轉角速度和重力加速度分量，因此，定義Rd,Rt分別表示理想情況和多誤差源作用下陀螺飛輪相對于慣性坐標系的姿態變換矩陣，則有

Rd(φ)=M·Td·MT

(9)

Rt(φ,χ)=M·Tt·MT

(10)

χ=[Δφy1,Δφz2,Δαx1,Δαz1,Δαx2,Δαy2,

Δεx,Δεy,Δθx,Δθy,Δθz]T

注：χ中不包含轉臺相交度誤差Δη，這是由于Δη只影響轉臺負載端的位置而不影響姿態，因此可不考慮其對標定精度的影響。

在多位置標定試驗中，假設理想情況下陀螺飛輪的初始指向為北-西-天。記ωe為地球自轉角速度，λ為試驗地點緯度。在理想情況下，投影在陀螺飛輪各軸的重力加速度分量和地球自轉角速度分量只與轉臺轉角φ相關，即

[axayaz]=[0 0 -g]·Rd(φ)

(11)

[ωexωey] =[ωecosλ 0 ωesinλ]·Rdφ)·Mω

(12)

而當標定系統受多種誤差因素影響時，重力加速度和地球自轉角速度分量不但與轉臺轉角φ相關，還與誤差參數χ相關，即

(14)

根據式(11)～式(14)，轉臺-陀螺飛輪標定系統中的多種誤差因素共同引起的標定基準量誤差為

[ΔaxΔayΔaz] =[0 0 -g]·ΔR(φ,χ})

(15)

[ΔωexΔωey]=[ωecosλ 0 ωesinλ]·ΔR(φ,χ})·Mω

(16)

式中：ΔR(φ,χ})=Rt(φ,χ})-Rd(φ)表示轉臺負載端的姿態誤差矩陣。

將式(3)～式(10)代入式(15)～式(16)中，可計算多種因素共同作用所引起的標定基準量誤差，式(15)～式(16)為轉臺-陀螺飛輪標定系統的誤差傳遞模型。該誤差傳遞模型綜合考慮了標定系統的多種誤差因素，且以標定基準量誤差作為終端輸出誤差有效避免了模型中包含待標定參數，這一模型具有更好的適用性與推廣性。

4 標定系統誤差靈敏度分析方法

為充分探討各誤差因素對基準量誤差的影響程度，本節基于誤差傳遞模型進行誤差靈敏度分析。分析結果能夠為關鍵誤差因素的辨別、標定系統誤差指標的確定、標定試驗的優化設計等提供理論依據，對降低標定試驗成本、提升陀螺飛輪的標定精度具有重要意義。

常規誤差靈敏度分析一般采用局部分析方法，即基于微分或差分理論，在固定其余因素的前提下，只改變被研究單個因素的數值，可以得到該因素的靈敏度分析結果[14-15]，這類方法較為簡單、易于計算。然而，考慮轉臺-陀螺飛輪標定系統的標定精度受諸多因素影響，需要在變化范圍內同時對多個誤差因素進行靈敏度分析，且其誤差傳遞模型具有非線性，局部靈敏度分析方法無法給出可靠的分析結果。因此，本文采用一種全局靈敏度分析方法——Sobol法[16-18]以充分探討各個誤差參數對標定基準量誤差的影響程度。

4.1 全局靈敏度

假設待分析模型為Y≡f(X)，X∈Rk為k維輸入向量，X=[X1,…,Xk]。根據Sobol方法，對于平方可積的f(X)，可將其分解為[16]

(17)

式(17)中各加數項之間相互正交，從而能夠對總方差進行分解，得到

(18)

式(18)中總方差V表示所有因素對模型輸出的影響，Vi表示單個因素Xi對輸出的影響，Vij表示Xi和Xj兩因素交互作用對輸出的影響，以此類推。輸入參數對輸出的靈敏度可用其對輸出總方差的貢獻量來評價，其中最為常用的靈敏度系數為一階靈敏度和總體靈敏度，它們分別定義為

(19)

(20)

其中：～i表示除Xi外的其他所有因素，Si代表因素Xi單獨作用對總方差的貢獻，未包含Xi與其他因素相關的更高階方差；STi則表示所有來自因素Xi的方差的總貢獻。

4.2 基于Sobol法的標定系統誤差靈敏度分析

根據Sobol方法，所定義的靈敏度系數可通過蒙特卡洛方法進行數值計算，在此基礎上，給出轉臺-陀螺飛輪標定系統的誤差靈敏度分析算法如下：

算法步驟：

1) 確定采樣樣本數N，誤差因素個數k，轉臺內外環轉角φ，待分析模型f(χ)∈{Δax,Δay,Δaz,Δωex,Δωey}；

2) 在誤差參數空間Θχ內進行蒙特卡洛隨機采樣，生成N×k維采樣矩陣A和重采樣矩陣B；

3) 初始化i=1；

5) 根據下式計算第i個誤差因素的靈敏度系數：

6) 若i

根據給出的分析算法，設定采樣樣本數N=1 000，對式(15)～式(16)所描述的標定系統誤差傳遞模型進行靈敏度分析?？紤]工程實際，本文在如下誤差參數空間內：

Θχ={χ∈R11∶?χi∈[-2′,2′]}

分析11個誤差因素對5個標定基準量的影響。

如誤差傳遞模型所示，標定基準量誤差隨轉臺轉角φ1、φ2變化而變化，在每一轉角位置應用上述算法可得到一組誤差靈敏度分析結果。為從整體上討論各個誤差因素的影響程度，將不同轉角位置的誤差靈敏度取平均值，分析結果如圖4所示。

根據圖4所示的誤差靈敏度分析結果，對于x軸標定基準量ax和ωex，誤差因素Δαx2,Δθx的靈敏度為10-5量級，其影響可以忽略；而誤差因素Δαy2,Δθy的靈敏度為其余誤差因素的3～5倍，其影響最大。反之，對于y軸標定基準量ay和ωey，Δαy2,Δθy的靈敏度為10-5量級，其影響可以忽略；而Δαx2,Δθx的靈敏度為其余誤差因素的3～5倍，其影響最大。Δφz2,Δαx1,Δαz1,Δεx,Δθz對z軸標定基準量az的靈敏度為10-4～10-5量級，其影響可以忽略；而Δφy1,Δεy的靈敏度為其余誤差因素的4～5倍，其影響最大。綜合上述分析，Δαx2,Δαy2,Δφy1,Δεy,Δθx,Δθy是標定系統的關鍵誤差來源，因此，為兼顧陀螺飛輪的標定精度和試驗成本，可以有針對性地對上述關鍵誤差因素的誤差指標提出更高要求。

注：根據誤差傳遞模型(15)～(16)，χ對同一軸標定基準量的誤差傳遞關系相同，因而各誤差因素對同一軸標定基準量的誤差靈敏度分析結果一致。

如圖4所示，同一誤差因素的一階靈敏度和總體靈敏度值相差不大，兩者之差不超過10-3量級，這表明各誤差因素間的交互作用相對較小。

圖4 誤差靈敏度均值

另外，考慮誤差靈敏度隨轉臺轉角位置的變化而變化，對于上述關鍵誤差因素，有必要進一步探討其誤差靈敏度在轉角空間的分布。根據靈敏度計算結果，Δαy2,Δθy對x軸標定基準量的影響幾乎一致，Δαy2,Δθy對y軸標定基準量的影響幾乎一致，而Δφy1,Δεy對z軸標定基準量的影響也幾乎一致，因此圖5以Δαy2對Δax、Δαx2對Δay、Δφy1對Δaz為例，給出不同轉臺轉角下的誤差靈敏度分布結果。

如圖5(a)和圖5(b)所示，對x軸和y軸標定基準量來說，誤差靈敏度隨兩軸轉角變化呈現周期性變化，因此，在標定試驗設計環節，根據靈敏度分析結果可以合理設計標定位置，以盡量減小誤差因素的影響，這為標定試驗的優化設計提供了理論依據?，F有研究通常將標定試驗設計問題轉化為多目標優化問題進行求解[6]，因此可將誤差靈敏度數值作為優化問題的約束條件之一，以進一步改善標定試驗精度。從圖5(c)可見，Δφy1(及Δεy)在整個轉角空間均對z軸標定基準量產生明顯影響，因而很難通過試驗設計減小其影響，為保證標定精度可有針對性地對Δφy1,Δεy的誤差指標提出更高要求。

圖5 不同轉臺轉角下的誤差靈敏度

5 結論

建立了轉臺-陀螺飛輪標定系統的誤差傳遞模型，誤差傳遞模型考慮了多種誤差因素的共同作用，且為顯式映射形式便于進行定量分析。提出了基于Sobol法的標定系統全局誤差靈敏度分析方法，根據分析結果確定了標定系統的關鍵性誤差因素，實現了誤差溯源。

定量分析結果為進一步提升陀螺飛輪標定精度提供了理論依據，一是合理設計標定試驗位置能夠減小關鍵誤差因素Δαx2,Δαy2,Δθx,Δθy的影響，二是嚴格控制誤差指標要求能夠減小關鍵誤差Δφy1,Δεy的影響。