例談初中數學幾何教學中發散性思維的培養

滕莉祥

［摘要］ 發散性思維是創造性思維的核心。在數學課堂中訓練學生的發散性思維，是培養學生創造能力的關鍵。筆者在初中幾何教學中通過訓練學生思維的變通性、流暢性、聯想性、廣闊性來培養學生的發散性思維能力，從而讓學生輕松地掌握數學知識間的內在聯系，更好地認識和理解數學。

［關鍵詞］ 創新能力；發散性思維；幾何教學

一、轉換思維角度，訓練思維的變通性

發散性思維活動的展開需要突破學生固有的思維定式，從多方位及不同的角度去思考問題、解決問題。初中生的抽象思維正處于發展階段，囿于固有思維方式，遇到新問題不能很好地轉化和運用，因此教師要通過訓練學生思維的靈活性和變通性來逐步培養和發展思維變通能力，使學生在數學課堂中逐漸形成具有多角度、全方位的思維視角和思維習慣。在執教蘇教版八年級下冊幾何復習課時設計了這樣一道題：

如圖1，在正方形ABCD中，E，F分別是邊AD，DC上的點，且AF⊥BE，求證：AF=BE。

變式：如圖2，在正方形ABCD中，M，N，P，Q分別是邊AB，BC，CD，DA上的點，且MP⊥NQ。那么MP與NQ是否相等？并說明理由。

多數學生都可以快速地完成第一小問，因為這是通法。要證AF=BE，只需把這兩條線段對應放到△DAF和△ABE中，通過尋找證明三角形全等的條件：∠BAE=∠ADF；∠ABE=∠DAF；AB=AD，證明△ABE≌△DAF即可解決。緊接著，在課堂教學過程中引出該題變式圖2，保持垂直條件不變，使點M，P，N，Q與正方形的四個頂點不重合。此時，教師適時介入，學生們想到了多種方法：

法一：如圖3，過點A作AF∥MP交CD于F，過點B作BE∥NQ交AD于E，通過平移線段將圖2的問題轉化為圖1的問題，將未知問題轉化為已解決的問題，充分利用轉化的數學思想方法提升學生的變通能力。

法二：如圖4，類比第一小題構造直角三角形，分別過Q作BC的垂線交BC于點E，過P作AB的垂線交AB于點F，類比圖1轉化為證明△NQE≌△MPF來解決。從解題優化的視角來分析，我們發現法一比法二更簡潔方便。

二、一題多變，訓練思維的流暢性

思維的流暢性是創造性思維的又一特征。在解決問題的過程中思維不受阻礙，能融會貫通，在較短的時間內選擇恰當的方法解決問題。為了幫助學生實現這樣的效果，在幾何教學過程中反復進行一題多解、一題多變的訓練，是行之有效的方法。在八年級下冊第九章中心對稱圖形（第一課時）時設計的教學例題：

如圖5，在四邊形P中，點E，F在BD上且BE=DF，若四邊形ABCD是平行四邊形，求證：四邊形AECF是平行四邊形。

本題考查平行四邊形的性質和判定，判定四邊形AECF是平行四邊形的方法有很多。法一：根據平行四邊形的性質證明△ABE≌△CDF，得AE=FC，∠BEA=∠DFC，推出AE∥FC。利用AE平行且等于FC判定四邊形AECF是平行四邊形。法二：根據平行四邊形性質證明△ABE≌△CDF和△ADF≌△CBE，從而推出AE=FC，AF=CE。利用兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形判定。法三：由全等證明AE∥FC，AF∥CE判定平行四邊形。法四：連接對角線AC，利用對角線AC，EF互相平分來判定。

在一題多解的教學過程中，教師要善于引導學生總結和提煉解題方法，優化方法尋找最優解。在接下來的教學過程中，筆者又繼續設計了如下變式：

變式1：在四邊形ABCD中，點E，F在BD上且BE=DF，若四邊形AECF是平行四邊形，則四邊形ABCD是平行四邊形嗎？

變式2：如果在原條件基礎上增加AB=AD，那么四邊形AECF是什么圖形？

變式3：在原條件基礎上增加什么條件可使四邊形AECF變成一個矩形？

變式1改變條件和結論繼續鞏固平行四邊形的判定方法，深刻理解直接條件和間接條件間的相互轉化，變式2和變式3通過強化條件鞏固矩形和菱形的判定和性質，理解平行四邊形、矩形、菱形間的內在聯系。通過這樣的變式訓練，層層遞進，環環相扣，緊緊圍繞一個例題展開把平行四邊形的性質和判定、矩形菱形的性質判定呈現出來，既鞏固數學知識又鍛煉思維能力，使學生思維流暢性得到發展。通過訓練，讓學生不斷地探索解題的捷徑，培養發散性思維能力。

三、善于聯想，訓練思維的聯想性

聯想思維是發散思維的顯著標志。聯想是發散的基礎，培養學生善于聯想的習慣是提升學生發散性思維的重要途徑。通過廣闊思維的訓練，學生的思維可達到一定廣度，通過聯想思維的訓練，學生的思維可達到一定深度。在聯想的過程中，不斷豐富學生的內在世界，提升思維水平。筆者就如何添加輔助線作如下教學嘗試：

已知：如圖6，AB=AE，BC=ED，AF是CD的垂直平分線，求證：∠B=∠E。

根據條件中的垂直平分線聯想垂直平分線定理，自然連接AC，AD（如圖7），得AC=AD，要證明∠B=∠E，只需證明△ABC≌△AED解決問題。突破這道題的關鍵是從已知條件垂直平分聯想到與之相關的定理和知識點，本題中利用定理垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等。初中幾何教學中需要培養學生聯想與關聯的思維，學生對數學定理及定理間的關聯越熟悉，解題的效率就越高。

在幾何教學中，教師可以基于某些特定的關鍵詞激發學生的聯想能力，如聯想相關知識點、相關定理、聯想相似的模型和圖形，聯想曾經見過的類似題目等。通過這樣的聯想訓練，學生對所學內容有了整體把握，使所學的知識點形成一個結構體系，學會融會貫通、舉一反三，促進創新思維的生長和發展。通過不斷開發學生潛能，增強學生的發散思維意識。

四、基于單元整體強化條件，訓練思維的廣闊性

在數學課堂教學過程中，教師應重視從單元整體的視角訓練學生的發散性思維。通過數學單元整體知識點間的系統聯系和條件把握，以問題驅動促進學生的思維發展，強化和弱化某些條件，挖掘題目中條件和結論之間的關系來解決問題。豐富學生的數學思維，培養學生思維的嚴謹性和廣闊性。筆者在執教蘇科版八年級下冊“中心對稱圖形”復習課（第二課時）設計了如下例題：

如圖8，已知任意四邊形ABCD，E，F分別為邊AD，BC的中點，G，H分別為對角線BD，AC的中點，順次連接E，G，F，H，判斷四邊形EGFH的形狀。

仔細分析題干中給出的條件最突出的就是“中點”二字，在一個任意的四邊形中存在多個中點，其指向性明確地引導我們要考慮使用三角形的中位線定理解決問題。該定理從數量和位置兩個角度刻畫兩條線段的關系，在△DAB中，GE平行且等于AB；在△CAB中HF平行且等于AB，推出GE平行且等于HF，因此

證明四邊形EGFH是平行四邊形。接下來，我們通過強化條件關聯整個單元的核心知識點。

強化條件1：當四邊形ABCD具備什么條件時，四邊形EGFH是菱形？關聯點1：從平行四邊形到菱形的路徑有哪些？數量關系：一組鄰邊相等；位置關系：對角線互相垂直。根據已知條件，最后選擇關聯1中的數量關系解決問題。強化條件2：當四邊形ABCD具備什么條件時，四邊形EGFH是矩形？關聯點2：從平行四邊形到矩形的路徑有哪些？數量關系：對角線相等；位置關系：有一個角是直角。根據題目中的已知條件，選擇關聯2中的位置關系解決即當邊AB與邊CD是垂直關系時。強化條件3：當四邊形ABCD具備什么條件，四邊形EGFH是正方形？關聯點3：從平行四邊形到正方形、從矩形到正方形、從菱形到正方形的路徑是什么？也可以理解為強化2與強化3的條件融合。

基于單元整體，強化條件，關聯單元核心知識點，從數量關系和位置關系兩種角度分析思維，始終做到前后一致，邏輯連貫，一以貫之，培養學生思維的嚴謹性和廣闊性，提高學生的學習力和創造力。