巧借深度學習催生素養落地

程麗雲 張新全

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》明確指出：“高中數學教學以發展學生數學核心素養為導向，創設合適的教學情境，啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質．”[1]數學學科核心素養集中體現了數學學科的育人價值，它是學生在接受數學教育中逐漸形成的，以適應個人終身發展及社會需要的一種必備品格和關鍵能力．落實數學學科核心素養已成為當下中學數學教師關注的核心問題和數學教育研究者關注的熱點．數學學科核心素養的落實要具體到數學課堂中，基于深度學習的數學教學深度契合以數學學科核心素養為目標的新課程理念，是落實課改、發展核心素養的有效途徑．因此，教師應在數學課堂教學中引導學生進行深度學習，提升綜合能力、培養高階思維、促進數學學科核心素養落地生根．

1 深度學習的內涵與特征

深度學習也稱深層學習或深層次學習，原是機器學習領域中的一種模式分析方法的統稱．1976年瑞典哥德堡大學研究者Ference Marton和Roger Saljo在基于學習本質的層級理論中首次提出了教育領域的深層次學習概念，2005年國內學者黎加厚將深度學習引入國內．目前關于深層次學習的內涵，學界沒有統一界定，不同學者有不同的理解．基于對學術界影響力較大的觀點進行分析綜合，筆者認為教育中的深度學習是學生在教師指導下，在原有認知結構的基礎上，積極主動地理解知識，批判性地學習新知，并最終能夠遷移應用解決新的實際問題，由此獲得未來必備素養的學習．

依據深度學習的內涵，結合數學學科的特點，本文將數學學科深度學習概括為以下六點特征：

（1）關注學習者主動投入式的學習；

（2）注重學習過程，關注學習體驗；

（3）強調對學習內容的深度加工；

（4）把握數學學科體系與內容的整體結構；

（5）關注對學習過程的構建反思；

（6）強調遷移應用與問題解決．

2 借深度學習促素養落地教學實踐

培養學生的數學學科核心素養從理念走向行動需要從深度學習走向深度教學．本文將學習理論與中學數學課堂教學進行深度融合，以人教A版高中數學教材必修2“直線與平面垂直的判定”為例，通過具體的教學案例對如何在課堂教學中開展深度學習，促進學生數學核心素養發展的課堂教學實踐進行示范，以提升學生的思維和問題解決能力，尋求達成落實數學學科核心素養培養目標的有效路徑．

2.1激活舊知，初成圖示

問題1 我們剛剛完成了空間中直線與平面平行這百花園的游覽，大家都收獲滿滿．請回顧空間中直線與平面有哪幾種位置關系？

師生活動 學生將自己課前梳理的結構展示出來（如圖1），通過小組代表交流，達成共識，形成空間中直線與平面的位置關系．

問題2 類比直線與平面平行的研究思路，你認為對于直線與平面垂直要研究哪些內容？按怎樣的線索展開研究？研究方法是什么？

師生活動 先讓學生嘗試，教師幫助分析，共同完善直線與平面垂直的研究思路（如圖2）．教師引導學生回憶將立體幾何“平面化”的“降維”思想，強化空間位置關系的常用研究方法：空間問題平面化，即降維化歸，得到立體幾何認知的研究內容：“定義—判定—性質—應用”與研究路徑：“實例—抽象—概括—論證”．

設計意圖 通過思維導圖或概念圖的方式對知識點進行梳理、串聯、貫通，使學生對章節的知識脈絡了解得更加清晰，幫助學生從整體角度去建立知識之間的聯系，形成“單元化的知識”，促進學生融會貫通，真正理解知識、掌握知識．首先，借助思維導圖讓學生從整體上認識空間中直線和平面的位置關系；其次，類比直線與平面平行形成直線與平面垂直的研究思路和方法，通過概念圖幫助學生達成結構化意識和思維的意愿，并把數學思想、研究方法貫穿在知識生成過程中．

2.2探究新知，深度加工

2.2.1 實例導入，模型抽象

實例1 “一橋飛南北，天塹變通途．”港珠澳大橋被稱為是“世界七大奇跡之一”，橋墩地基是支撐橋體的重要力量，在水下建造橋墩時，工程師需要精確測量出橋墩與海平面垂直．

實例2 我國擁有世界上規模最大的高鐵網絡．高鐵被譽為“新四大發明之一”，高速鐵路多以高架橋的形式修建，在建造高鐵橋墩時，工程師需要精確監測出高鐵橋墩與地面垂直．

問題3 從以上兩個實例中可以抽象出直線和平面的哪種位置關系？直線與平面垂直在我們的生活中還有許多直觀的感知，試舉例說明．

設計意圖 通過具體的生活實例，讓學生感悟中國特色社會主義制度的優越性，激發民族自豪感，堅定愛國主義情懷，并直觀感知直線與平面垂直的幾何關系，抽象出數學模型，形成猜想，學會用數學的眼光觀察世界，進而培養學生直觀想象和數學抽象等數學核心素養．

2.2.2 新知探究，深度理解

任務1建構直線與平面垂直的定義

教師利用信息技術呈現我國古代計時儀器日晷（如圖3），并向學生介紹其基本結構和計時原理．

問題4 請同學們觀看日晷的圖片，圖中有哪些讓你印象深刻的數學畫面和數學元素？思考晷針與晷盤之間有何種位置關系？

追問 思考在陽光下，隨著時間的變化，晷針及其投影所在直線與晷盤所在平面有何位置關系？晷針所在直線是否與晷盤內所有直線都垂直？請說明理由．

師生活動教師借助GeoGebra軟件對日晷的計時過程進行數學抽象，動態模擬影子試驗（如圖4）．學生通過觀察易得在任意時刻晷針及其投影所在直線與晷盤所在平面均保持垂直．然后，教師引導學生通過平移得到晷針所在直線與晷盤內所有直線都垂直．

設計意圖 結合生活模型創設問題情境，驅動學習，引導學生用數學的眼光看問題，在將實際問題數學化的過程中提升數學抽象能力．

問題5 試用簡潔的語言歸納出直線與平面垂直的定義．

追問 試辨析定義中的“任意”能否替換為：“所有的”“全部”“每一條”“無數條”？

師生活動 教師引導學生歸納概括直線垂直于平面的定義：直線垂直于平面內的任意一條直線，則其與該平面垂直．接著，教師引導學生列舉反例，辨析概念，加深學生對“任意一條”的理解，如圖5．

設計意圖 對其中的重點詞匯做近似替換，加以區分，有助于學生深入理解，并掌握定義的本質．

問題6 為便于研究和表達，還需要建立哪些輔助性的概念？試分別用圖形語言和符號語言表示直線與平面垂直的定義．

追問 運用已學過的邏輯用語我們還能怎么解釋定義？

師生活動 學生探究思考后回答：為研究和表述方便還需要建立垂面，垂足等輔助性概念．接著，教師引導學生借助邏輯用語進一步理解線面垂直的定義，最后，教師出示表1，并解釋相關概念．

設計意圖 數學學習中數學語言的應用是必要的，尤其在立體幾何問題中圖形語言是重要的數學語言．讓學生嘗試圖形語言的表述，加強對數學語言的轉化，同時鞏固直線與平面垂直的定義，培養學生直觀想象的核心素養．

2.2.3 分析綜合，新知整合

任務2 探索直線與平面垂直的判定定理

問題7 古人在制作日晷時，如何準確判斷晷針與晷盤垂直？

追問 定義法是判定直線與平面垂直的一種方法，解決實際問題時易操作嗎？

師生活動 教師通過詢問學生，古人如何判斷晷針是否與晷盤垂直？讓學生感受證明“任意一條”的不可操作性．

設計意圖 合理設置問題情境，既起到了承上啟下的作用，又讓學生體會到尋求線面垂直判定新方法的必要性，更堅定了學生簡化定義中“任意一條”的想法．

問題8 類比線面平行的判定定理，對于直線與平面垂直的判定是否有簡便可行的方法？通過直線與平面內有限條直線垂直能否判定直線與平面垂直？

追問 在前面我們已經學過了平面向量的相關內容，試解釋：直線與平面內的兩條相交直線垂直，則該直線與平面垂直．

師生活動 首先，教師對學生的每一種想法進行辨析，得出關于線面垂直判定定理的猜想．其次，教師引導學生通過實驗探究來證實猜想，教師讓學生取出三角形的紙片，并做以下試驗：過三角形的頂點翻折紙片，得到折痕AD（記作：直線l），將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（紙片底邊與桌面接觸）．引領學生在觀察中比較，在比較中發現，當且僅當折痕AD是BC邊上的高時，且BDC，，不在同一直線上時，翻折之后折痕AD所在直線l與桌面所在平面α形成垂直關系，如圖6所示．否則，不能使AD與桌面垂直．教師借助GeoGebra軟件進行演示，增強學生的直觀體驗，引導學生將線面垂直的判定簡化為直線與平面內兩條相交直線垂直，即：線不在多，相交則行．最終教師引導學生回憶平面內的任意向量都可以用兩個不共線的非零向量表示，以驗證線面垂直判定定理的合理性．

問題9 試分別用圖形語言和符號語言表示直線與平面垂直的判定定理．

追問 你認為定理的條件由幾部分組成？定理推導過程，體現了數學的哪些思想和方法？

師生活動 經過實驗探究，學生對線面垂直的判定定理有了模糊的認知，教師此時給出嚴謹的定理，并引導學生進行自然語言、圖形語言和符號語言三種語言的轉換，得到線線垂直?線面垂直，體現數學的規范與嚴謹，促進學生對判定定理的理解，為發展邏輯思維能力奠定基礎，教師通過對定理中的關鍵詞及推導過程中體現的數學的思想方法展開剖析，深化學生對定理本質的理解，彰顯數學的結構美．

設計意圖通過“操作實物—數學模型—剖析定理”的過程，使學生能基于認知結構逐步構建新的知識體系，實現難點突破，促進深度理解．線面垂直的判定定理具有抽象性，為使學生深入理解定理的本質，先讓學生操作實物，再借助GeoGebra

軟件的可視化的特點，將實物抽象成數學模型，最后利用三種語言的表達形式刻畫線面垂直的判定定理．

2.2.4 思維迸發，應用遷移

任務3 運用定義和定理，深化理解

求證 兩條平行直線中的一條直線垂直于平面，則另一條直線也垂直于該平面． 師生活動 教師引導學生與學生共同分析論證思路，規范論證過程，學生按題意繪制示意圖，將文字語言轉換為符號語言，歸納出證明線面垂直的又一方法．

設計意圖 在此過程中，學生掌握了證明線面垂直的又一方法，增強了思維的靈活性．

2.2.5 新知同化，素養展現

問題10 如圖7，在四棱錐P-ABCD中，已知側棱PA⊥底面ABCD，且底面ABCD為正方形．求證：CD⊥PD．

問題11 如圖8，長方體ABCD-A1B1C1D1底面ABCD是正方形，點E在AA棱上，證明：BE⊥平面EBC．

師生活動 學生對條件和結論進行分析論證、合理選擇方法，自主解答，教師板書演示解題過程．

設計意圖 考查學生能否靈活運用線面垂直的判定定理，藉此提高學生分析和解決問題的能力．

3 教學反思

指向深度學習的課堂教學改變了孤立、淺層、碎片化的學習方式，實現了關聯整合的學習，強調學生在學習中的主體地位，促進學習朝著本質把握和問題解決的方向發展，從而實現遷移和創新．基于此，本教學設計在課堂實施時取得了較好的效果．首先，主題單元教學，宏觀把握全局．在整體中進行有序的知識整合，建構結構化的知識體系；其次，巧用思維導圖，建構知識體系．遵循知識主線，幫助學生理清思維脈絡，從整體上認識空間中直線和平面的位置關系，促進學生聯系整合，遷移應用和批判反思能力的形成；再者，以問題驅動，培養高階思維．立足于學生最近發展區的問題鏈的設計引發學生深度思考，驅動學生參與交流探究，實現學習過程中的深度互動，讓學生真正參與到直線與平面垂直的判定中，并領悟立體幾何知識的內容主線：“定義—判定—性質—應用”與研究路徑：“實例—抽象—概括—論證”；最后，借助信息技術，促進深度理解．信息技術的恰當運用優化了教學的效果，GeoGebra軟件的使用有效突破了直線與平面垂直這一內容的抽象性和學生已有知識的局限性，使得直線與平面垂直的探究過程能夠豐富地展開．總之，教師在課堂教學中需考慮如何提升學習過程的體驗、互動和創造性，以促進深度學習，從而培養學生的數學核心素養．

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部制定．普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[S]．北京：人民教育出版社，2020

[2]溫佳贏．促進深度學習的高中數學教學策略研究[D]．吉林：東華理工大學，2022

[3]嚴婷．構建深度學習課堂，提升數學核心素養——以“直線與平面垂直”教學為例[J]．中學數學研究，2022（2）：13-16

[4]李洋．構建基于深度學習的高中數學智慧型課堂的策略[J]．牡丹江基于學院學報，2022（10）：112-114

[5]李珍，馬文俊．創設問題情境，關注生成過程，提升核心素養——“直線與平面垂直的判定”教學實踐與思考[J]．中學數學研究，2022（4）：06-09 [6]宋建輝．指向深度學習的高三復習教學策略——以2022年新高考全國Ⅰ卷數學試卷第17題為例[J]．中學數學研究，2023（1）：52-54

（本文系合肥師范學院2023年研究生創新基金項目（2023yjs029）、合肥基礎教育研究院2022年度研究項目（2022YJY47）、2021年度安徽高校自然科學研究重大項目（KJ2021ZD0112）的研究成果之一）