對中學(xué)數(shù)學(xué)教材中“總體”概念定義的再認(rèn)識

杜 瑛

? 江蘇省無錫市青山高級中學(xué)

1 一個常見的數(shù)學(xué)問題

問題(下面均簡稱為“問題”)(多選題)為了解參加運(yùn)動會的2 000名運(yùn)動員的年齡情況,用簡單隨機(jī)抽樣的方法,從中抽取了20名運(yùn)動員的年齡進(jìn)行統(tǒng)計分析.下列說法中正確的有( ).

A.2 000名運(yùn)動員是總體

B.所抽取的20名運(yùn)動員是一個樣本

C.樣本容量為20

D.每個運(yùn)動員被抽到的機(jī)會相等

這是有關(guān)“總體、個體、樣本和樣本容量”的基本概念問題.有教師認(rèn)為答案應(yīng)為選項(xiàng)CD,也有教師認(rèn)為答案應(yīng)為選項(xiàng)ABCD.產(chǎn)生分歧的原因在于所使用的教材中,對“總體”概念的定義不盡相同.

2 中學(xué)數(shù)學(xué)教材對“總體”概念的定義

下面摘舉不同中學(xué)數(shù)學(xué)教材中“總體、個體”的定義,尋找產(chǎn)生分歧的原因.

(1)義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2011版

教材1：(義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)八年級下冊蘇教版2013)

“我們把所考察對象的全體叫做總體(population),把組成總體的每一個考察對象叫做個體(element).”

“例如,為了解某市八年級學(xué)生的體重情況,對該市八年級全體學(xué)生的體重進(jìn)行調(diào)查……該市八年級學(xué)生體重的全體是總體,每個八年級學(xué)生的體重是個體.”

由于該教材對“總體、個體”進(jìn)行舉例,因此有教師認(rèn)為,“問題”中選項(xiàng)A與選項(xiàng)B未指明調(diào)查的具體指標(biāo),是錯誤的.

(2)普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2003版

教材2：(普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修3蘇教版2012)

該教材未給出“總體、個體”的概念,因此教師延用初中的教學(xué)習(xí)慣,認(rèn)為“問題”中選項(xiàng)A,B錯誤.

教材3：(普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修3人教A版2004)

該教材未給出“總體、個體”的概念,但涉及了相關(guān)的問題,一個在引言部分,另一個在復(fù)習(xí)參考題中:

“引言:在食品質(zhì)量檢測中,為了了解某批袋裝牛奶(總體)的細(xì)菌超標(biāo)情況.”

“參考題：為了了解某地參加計算機(jī)水平測試的5 000名學(xué)生的成績,從中抽取了200名學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計分析.在這個問題中,5 000名學(xué)生的成績的全體是( ).

A.總體

B.個體

C.從總體中抽取的一個樣本

D.樣本的容量.”

據(jù)此題,有教師認(rèn)為,“總體”應(yīng)包含調(diào)查對象的指標(biāo).因此,“問題”中選項(xiàng)A,B錯誤;也有一些教師認(rèn)為,引言說明“某批次的袋裝牛奶”是總體,不用加“細(xì)菌含量”這一指標(biāo).因此,“問題”中選項(xiàng)A,B正確.

(3)普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2017年版

教材4：(普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊蘇教版2020)

“我們把考察對象(某一指標(biāo)的數(shù)據(jù))的全體叫做總體(population),把組成總體的每一個考察對象叫做個體(subject).”

教材只給出了定義,但沒有設(shè)置相關(guān)的例子說明.因此教師延用初中的教學(xué)習(xí)慣,認(rèn)為選項(xiàng)A,B錯誤.

教材5：(普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊人教A版2019)

“我們把調(diào)查對象的全體稱為總體(population),組成總體的每一個調(diào)查對象稱為個體(individual).為了強(qiáng)調(diào)調(diào)查目的,也可以把調(diào)查對象的某些指標(biāo)的全體作為總體,每一個調(diào)查對象的相應(yīng)指標(biāo)作為個體.”

該教材中設(shè)計了一個練習(xí)和一個研究問題,對“總體、個體”的概念進(jìn)行說明:

練習(xí)在以下調(diào)查中,總體、個體各是什么?

(1)調(diào)查一個班級學(xué)生每周的體育鍛煉時間;

(2)調(diào)查一個地區(qū)結(jié)核病的發(fā)病率;

(3)調(diào)查一批炮彈的殺傷半徑;

(4)調(diào)查一個水庫所有魚中草魚所占的比例.

教師參考書答案:(1)總體是“這個班級的全體學(xué)生”,個體是“這個班級的每一個學(xué)生”,或總體是“這個班級全體學(xué)生每周的體育鍛煉時間”,個體是“這個班級每一個學(xué)生每周的體育鍛煉時間”…….

該教材給出的問題2:樹人中學(xué)在“全國愛眼日”前,……了解一下全校2 174名學(xué)生中視力不低于5.0的學(xué)生所占的比例……在這個問題中,全校學(xué)生構(gòu)成調(diào)查的總體,每一位學(xué)生是個體,學(xué)生的視力是考察的變量.”

根據(jù)教材的定義和相關(guān)問題示范,我們既可以把“調(diào)查對象的全體作為總體”,也可以把“調(diào)查對象的某些指標(biāo)的全體”作為總體,因此有教師認(rèn)為,“問題”中選項(xiàng)A,B正確.

3 大學(xué)數(shù)學(xué)教材對“總體”概念的定義

從高等教育教材中溯源,可以更加明晰中學(xué)數(shù)學(xué)教材編寫者的用意,從而更加明確中學(xué)數(shù)學(xué)知識的教學(xué)方向.

教材6：〔大學(xué)數(shù)學(xué)立體化教材概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二版(中國人民大學(xué)出版社2006)〕

“把具有一定共性的研究對象的全體稱為總體(或母體),其大小與范圍隨具體研究與考察的目的而定.把構(gòu)成總體的每一個成員(或元素)稱為個體.

“例如,研究某燈泡廠生產(chǎn)的一批燈泡的質(zhì)量,則該批燈泡的全體構(gòu)成了一個總體,其中每一個燈泡就是一個個體.

“在數(shù)理統(tǒng)計中我們所關(guān)心的并非是每個個體的所有特征,而僅僅是它的一項(xiàng)或幾項(xiàng)數(shù)量指標(biāo).代表總體的指標(biāo)是一個隨機(jī)變量,總體中每個個體是隨機(jī)變量的一個取值,從而總體對應(yīng)于一個隨機(jī)變量.對總體的研究就相當(dāng)于對這個隨機(jī)變量的研究.后面將不區(qū)分總體與相應(yīng)的隨機(jī)變量.

“定義1:統(tǒng)計學(xué)中稱隨機(jī)變量(或向量)X為總體,并把隨機(jī)變量(或向量)的分布稱為總體分布.”

由于數(shù)理統(tǒng)計研究的是隨機(jī)變量,代表總體的指標(biāo)也是一個隨機(jī)變量,因此“不區(qū)分總體與相應(yīng)的隨機(jī)變量”,為了研究目標(biāo)更明確,從而對總體用“隨機(jī)變量”進(jìn)行定義.總體既可以是“這批燈泡”,也可以是“這批燈泡的質(zhì)量”.因此,人教A版2019年教材的描述接近這個定義.

人教A版2004年教材雖沒有給出“總體、個體”的概念,但從“引言”中對總體的描述,也能看出教材編寫者對這個概念的認(rèn)識與人教A版2019年教材一致.該教材復(fù)習(xí)參考題中的練習(xí)題,與這個認(rèn)識不矛盾.“5 000名學(xué)生的成績的全體”是總體,沒有說“5 000名學(xué)生”不是總體.蘇教版義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)八年級下冊中,雖用了“該市八年級學(xué)生體重的全體為總體”的示范性描述,但沒有說“該市八年級學(xué)生為總體”的描述是錯誤的.

在蘇教版的兩版教材中,一版未給出這個概念的描述,另一版雖給出了描述但未設(shè)置相關(guān)的題目,并且認(rèn)為“把考察對象(某一指標(biāo)的數(shù)據(jù))的全體叫做總體”.教材將“某一指標(biāo)的數(shù)據(jù)”用小括號標(biāo)出,說明總體既可以是“考察對象的全體”,也可以是“考察對象某一指標(biāo)的數(shù)據(jù)的全體”.

4 一些粗淺的想法

4.1 要仔細(xì)研讀教材和課程標(biāo)準(zhǔn)

我們正處于新課程改革初期,要仔細(xì)研讀教材和課程標(biāo)準(zhǔn),明確新舊教材在育人理念、教學(xué)要求、內(nèi)容安排、概念描述上的差異.只有摒棄經(jīng)驗(yàn)主義,更新教學(xué)方式,改進(jìn)育人理念,提高知識素養(yǎng),才能適應(yīng)新的課堂.

4.2 從學(xué)業(yè)要求的角度,關(guān)注知識的學(xué)習(xí)目標(biāo)

教學(xué)應(yīng)關(guān)注學(xué)業(yè)要求的落實(shí).例如,《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》有關(guān)“統(tǒng)計”的學(xué)業(yè)要求是“選擇恰當(dāng)?shù)某闃臃椒ǐ@取樣本數(shù)據(jù),并從中提取需要的數(shù)字特征推斷總體.能夠正確運(yùn)用數(shù)據(jù)分析的方法解決簡單的實(shí)際問題.理解統(tǒng)計推斷結(jié)果的或然性,正確運(yùn)用統(tǒng)計結(jié)果解釋實(shí)際問題”[1].因此,在“統(tǒng)計”的教學(xué)中,應(yīng)該關(guān)注抽樣方法設(shè)計、數(shù)據(jù)整理和分析、樣本對總體的估計方法、統(tǒng)計結(jié)果的準(zhǔn)確性分析和應(yīng)用等方面的問題.對于那些意義不大的問題,不要咬文嚼字,更不要本末倒置,如此才能讓教學(xué)更有價值,才能真正促進(jìn)學(xué)生素養(yǎng)目標(biāo)的達(dá)成.

4.3 避免分歧的最好方法是教考一致

教師對“問題”的分歧不僅是“總體”的定義,更是對“教考分離”的擔(dān)憂.“總體”這個概念的理解并不困難,對這個概念的認(rèn)識不需特別深刻,無論使用哪版教材,只要在統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)下教學(xué),即命題者和教學(xué)者的認(rèn)知一致即可.